Was war Cantors philosophischer Grund dafür, das Unendliche zu akzeptieren, aber das Infinitesimale abzulehnen?

Hier ist Cantor in seinen eigenen Worten (aus seinem einflussreichen Brief von 1887 an Weierstrass):

"Ich gehe von der Annahme einer linearen Größe ζ aus, die so klein ist, dass ihr Produkt mit n , ζ · n, für jede noch so große endliche ganze Zahl n kleiner als Eins ist, und beweise dann vom Begriff einer linearen Größe und mit mit Hilfe bestimmter Sätze aus der Theorie der transfiniten Zahlen, dass dann ζ · ν kleiner ist als jede noch so kleine endliche Größe, wobei ν eine beliebig große transfinite Ordnungszahl (dh Kardinalzahl oder Art einer wohlgeordneten Menge) von beliebig hoch ist Zahlenklasse. Das bedeutet aber, dass ζ durch keine wirklich unendliche Multiplikation irgendeiner Potenz endlich gemacht werden kann und daher sicherlich kein Element endlicher Größen sein kann. Aber dann widerspricht die gemachte Annahme dem Begriff einer linearen Größe, der so ist, dass jede lineare Größe als integrierter Teil anderer gedacht werden muss,".

Sehen Sie eine moderne Rekonstruktion des Arguments und wie es für Infinitesimals der Nicht-Standard-Analyse fehlschlägt, in Moores Cantorian Argument Against Infinitesimals.

Peano im Jahr 1892 und Russell im Jahr 1903 gaben ihre Variationen über das Thema, aber laut Moore

" In keiner seiner Inkarnationen ist das Argument besonders leicht zu verfolgen, und obwohl es Ähnlichkeiten zwischen den drei Versionen gibt, ist nicht einmal klar, dass es sich tatsächlich um Versionen eines einzigen Arguments handelt ".

In der Passage scheint Cantors Problem zu sein, dass die Infinitesimalzahlen, die traditionell als die „Inversen“ von Unendlichkeiten angesehen werden, nicht die „Inversen“ seiner transfiniten Zahlen sein können, die er in der altehrwürdigen Tradition als die einzig „Wahren“ ansah „Unendlichkeiten. Mit anderen Worten, man kann keine endliche Größe aus Infinitesimalen erzeugen, selbst wenn sie transfinit viele Male verkettet sind. Wie Moore zeigt, liegt dies im Wesentlichen daran, dass Cantors Ordnungszahlen nur wohlgeordnete Verkettungen zulassen.

Gegen Cantors „Begriff einer linearen Größe“, der Infenitesimale ausschließt, ist schwer zu argumentieren, ebenso wie gegen Kants „reine Raumanschauung“, die multiple Parallelen ausschließt. Bei solchen Konzepten jedem das Seine. Aus heutiger Sicht verbindet Cantor Kardinalität mit Maß, aber der moderne Begriff der Größe ist nicht der von Cantor, genauso wie der moderne Begriff der Geometrie nicht von Kant ist. Damals steckten die axiomatische Methode und die Maßtheorie noch in den Kinderschuhen, die nicht-archimedischen Spekulationen von du Bois-Reymond entsprachen nicht Weierstraß' Standards, und Weierstraß' Analyse hatte keine Verwendung für Infinitesimale.

Darüber hinaus hatten Infinitesimals einen schlechten Ruf unter Philosophen, da sie (noch zuvor) von Berkeley's Analyst als " Geister verstorbener Größen " bezeichnet wurden. Cantor wollte sie nicht mit seinen transfiniten Zahlen verwechseln, für deren Anerkennung er damals als respektable mathematische Größen plädierte. Dies widersprach an sich der langjährigen Tradition: dem scholastischen Zahlenbegriff, der von Aristoteles abgeleitet und durch Argumente wie "Vernichtung einer Zahl" gestützt wurde, siehe Wie funktioniert die tatsächliche Unendlichkeit (von Zahlen oder Raum)? Die Ironie besteht darin, wie Dauben schreibt,

„ Cantor verurteilte diese Art von Argumentation … mit der Begründung, es sei ein Irrtum anzunehmen, dass unendliche Zahlen die gleichen arithmetischen Eigenschaften aufweisen müssten wie endliche Zahlen “.

Doch er gab sich der gleichen Art von Argumentation hin, wenn es um die unendlich kleinen Größen ging.

Das Konzept der unendlich kleinen und unendlich großen Zahlen wurde durch die mathematische Domäne der Nichtstandardanalyse formalisiert.

Das rationale Feld (QQ,+,*) bettet sich in den Ring (Omega_QQ,+,*) ein. Elemente der letzteren sind die Äquivalenzklassen von Folgen rationaler Zahlen; Zwei Folgen werden als äquivalent angesehen, wenn ihre Differenz für alle bis auf endlich viele Elemente der Folge Null ist.

Folglich enthält Omega_QQ die Klassen der einzelnen Folgen Small-Omega mit Elementen a_n = 1/n und Big-Omega mit Elementen b_n = n. Small-Omega ist infinitesimal , weil es nicht Null und kleiner als jede feste positive Zahl ist. Während big_omega unendlich ist , weil es größer als jede feste positive Zahl ist.

Cantor lehnte Infinitesimale ab, weil das Produkt eines Infinitesimal mit einem festen, endlichen Nicht-Null-Infinitesimal bleibt. Das archimedische Axiom gilt nicht in Omega_QQ. Daher repräsentieren - nach Cantor - Infinitesimale nicht die Länge irgendeiner Linie; sie sind keine "linearen Zahlen". Darüber hinaus betrachtete Cantor die Multiplikation von Infinitesimalzahlen mit transfiniter Ordinalzahl; aber es bleibt unklar, wie Cantor sich diese Multiplikation vorgestellt hat.

Beachten Sie, dass das Produkt small_omega * big_omega = 1 ist. Daher kann die Multiplikation einer unendlich kleinen mit einer unendlichen Zahl zu einer endlichen Zahl führen.

Unendlichkeiten im Sinne von Cantor sind Kardinalitäten. Es gibt kein kardinales Äquivalent zu Infinitesimalen. Wenn Sie zählen, ist das kleinste Ding außer Null eins.

Ich kenne Cantors eigene Argumentation zu diesem Thema nicht, daher muss ich Ihre ersten beiden Fragen überspringen. Aber moderne Mathematiker sehen die beiden bis auf wenige Ausnahmen in keiner Weise als verwandt an, obwohl es Versuche gab, beide in einem einzigen übergreifenden Ansatz zusammenzufassen.

Sie brauchen ein System mit einem Begriff der Teilung, damit Infinitesimale etwas bedeuten, und im Allgemeinen auch einen Begriff der Kontinuität. Wenn Sie sich nicht auf Kontinuität konzentrieren, beunruhigt Sie die Vorstellung, dass die Division einfach bei Null explodiert, nicht: Sie betrachten sie einfach als eine Funktion mit einem Loch in ihrem Definitionsbereich. Die Differentialrechnung ist der erste Ort, an dem wir uns Gedanken über die reibungslose Handhabung von Funktionen machen, die unendlich genau betrachtet werden.

Es gibt viele Möglichkeiten, Vorstellungen von Unendlichkeit in die reellen Zahlen (oder jedes andere Zahlensystem) einzubetten, um die Differenzierung einfacher zu machen (oder um ihr Äquivalent einzufügen und die Argumentation in der Domäne zu vereinfachen), aber es handelt sich im Grunde genommen um sprachliche Tricks, um die zu codieren Ergebnis eines Prozesses (globale Begrenzung) in ein Wort mit spezifischer Grammatik (einer infinitesimalen Variablen) umzuwandeln, das Sie nicht in Schwierigkeiten bringt, indem es den Annahmen widerspricht, die den Prozess aufhalten. Die Magie, die beweist, dass diese Grammatik klar ist und Ihnen sagt, wie Sie verschiedene Versionen davon für verschiedene Anwendungen ableiten können, wird als Theorem von L̸os bezeichnet und ist der Eckpfeiler eines der Ansätze zur Nichtstandardanalyse.

Diese beiden Ansätze zur Unendlichkeit können also nicht miteinander erklärt werden, überschneiden sich in den Anwendungsbereichen nicht und ergeben sich aus sehr unterschiedlichen Gesichtspunkten. Die Antwort auf die letzte Frage lautet also „auf keinen Fall“. Es gibt kein einzelnes „Unendlich“ in irgendeinem System von Infinitesimalen, das beispielsweise „abzählbar vielen“ entspricht, es gibt viele. Und es gibt keinen Kehrwert von 'kontinuierlich viele', nur von unterschiedlichen Skalen der Unendlichkeit, die nichts mit Zählbarkeit oder Projektion zu tun haben.

Ein Ansatz, der versucht, sie zu einem kohärenteren und globaleren Ansatz für Unendlichkeiten im Allgemeinen zu kombinieren, wird von John Conway in den "Surreal Numbers" vorgeschlagen, der die Interpolation als grundlegende Operation einführt, anstatt sie aus der Division und dem Rest der Arithmetik abzuleiten. und nähert sich Kontinuität über unendliche Teilung, anstatt topologisch durch Vorbilder.

Cantors Grund waren die Bibel und die Schriften des heiligen Augustinus. Beide sprechen über das unendlich Große, aber nicht über das unendlich Kleine. Weiter leugnete Cantor bereits die Existenz von Atomen.

Jede einzelne endliche Kardinalzahl (1 oder 2 oder 3 usw.) ist im göttlichen Intellekt enthalten (aus St. Augustin: De civitate Dei , lib. XII). (Cantor, Brief an I. Jeiler)

Der Herr regiert in Ewigkeit und darüber hinaus, ab Exodus 15,18. Ich denke, dieses „und darüber hinaus“ weist darauf hin, dass Omega nicht das Ende ist, sondern dass etwas darüber hinaus existiert.“ (Cantor, Brief an R. Lipschitz)

Es liegt auf der Hand, dass der Glaube an die Gesamtheit aller Zahlen den Glauben an jemanden erfordert, der diese Ganzheit geschaffen hat. "Cantor ist wahrscheinlich der letzte Exponent der Newtonschen Haltung gegenüber der Religion." (Meschkowski und Nilson (Hrsg.): Georg Cantor Briefe , Springer, Berlin (1991) S. 15)

EDIT: Hier sind weitere Aussagen von Cantor:

Unter einem A.-U. ist dagegen ein Quantum zu verstehen, das zwar nicht veränderlich, sondern Verschmutzung in allen seinen Teilen fest und bestimmt, eine richtige Konstante ist, gleichzeitig aber andrerseits jede endliche Größe derselben Art eine Größe übertrifft. Als Beispiel führe ich die Gesamtheit, den Inbegriff aller endlichen ganzen positiven Zahlen an; this Menge ist ein Ding für sich und bildet, ganz abgesehen von der Folge der dazugehörigen Zahlen, ein in allen Teilen festes, Quantum, ..., das offenbar größer zu ist als endlich jede Anzahl 3. Fußnote 3: Man vgl. die hiermit übereinstimmende Auffassung der ganzen Zahlenreihe als aktual-unendliches Quantum bei S. Augustin (De civitate Dei. lib. XII, cap. 19): Contra eos, qui dicunt ea, quae infinita sunt, nec Dei posse scientia comprehendi. (E. Zermelo (Hrsg.): Georg Cantor Gesammelte Abhandlungen, Springer, Berlin (1932) p. 401)

Indem nun der h. Augustin die totale, intuitive Perzeption der Menge (nu), "quodam ineffabili modo", a parte Dei behauptet, erkennt er gleichzeitig diese Menge formaliter als ein aktual-unendliches Ganzes, als ein Transfinitum an, und wir sind gezwungen, ihm darin zu folgen . loc cit p. 402.

Im Gegensatz zu Augustin findet sich bei Origines eine entschiedene Stellungnahme gegen das Aktual-Unendliche, daß es fast scheinen möchte, er wolle selbst die Unendlichkeit Gottes nicht wissen. loc cit p. 403.

Dies stimmt völlig mit demjenigen überein, was S. Augustin in dem pag. 32 abgedruckten Kapitel seiner Hauptschrift De Civitate Dei, lib. XII, Kap. 19, sagt: "Ita vero suis quisque numerus proprietatibus terminatur, ut nullus eorum par esse cuicumque alteri possit. Ergo et dispares inter se atque diversi sunt, et singuli quique finiti sunt, et omnes infiniti sunt." loc cit p. 419.

Ist es nicht wahr, dass das Unendliche und das Infinitesimale reziprok sind (oder besser gesagt – zwei äquivalente Seiten derselben Sache?

Dies ist eine Möglichkeit, das Infinitesimale und Unendliche intuitiv zu verstehen. Es kann in nicht standardmäßigen Analysen oder in surrealen Conways-Zahlen rigoros gemacht werden. Dies unterscheidet sich stark von der gängigen Art, das Infinitesimale zu verstehen, das über Grenzen geht.

Eine vierte Art, das Infinitesimale zu verstehen, ist synthetisch als Quadratwurzel aus Null. Das ist natürlich überraschend, da wir normalerweise sagen würden, dass die Quadratwurzel von Null einfach Null ist. Die Theorie verwendet jedoch eher intuitionistische als klassische Logik und eröffnet daher einen Raum für die Einführung von Infinitesimalen. Es kommt dem Begriff der Infinitesimale von Newton wohl am nächsten. Philosophisch gesprochen ist es eine Möglichkeit, Hegels Einsicht (zum Zenos-Paradoxon) rigoros zu formulieren, dass ein Infinitesimal etwas ist, das sowohl hier als auch nicht hier ist.