Was ist der Unterschied zwischen einer Ordnungszahl und einer Kardinalzahl?

Es sind zwei unterschiedliche Ansätze, um den Begriff des Unendlichen zu verstehen. (Sie können auch für endliche Mengen verwendet werden, aber in diesem Fall fallen sie zusammen, daher ist es ein bisschen langweilig.) Es gibt auch andere Ansätze, aber sie neigen dazu, abgeleitete Konzepte von mindestens einem von Kardinalität oder Ordinalität zu sein.

Diese beiden Konzepte unterscheiden sich, wenn es um unendliche Sammlungen geht, und veranschaulichen, warum es wichtig ist, zu überlegen, welche Strukturen Sie als unterschiedlich erkennen möchten, damit diese Unterschiede während Ihrer gesamten Analyse erhalten bleiben, wenn Sie Konzepte wie Unendlichkeit in Betracht ziehen möchten Mathematik.

Über Kardinalzahlen und Ordnungszahlen

Kardinäle beschreiben eine Vorstellung von Größe . Das heißt: Wie viele Objekte einer Art gibt es? In dieser Hinsicht sind Kardinalzahlen eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen: 0, 1, 2 usw. Sie sind eine geeignete Art, die Größe einer Menge zu beschreiben. Wie Mozibur angibt, tun wir dies, indem wir Elemente der Menge, die wir messen möchten, mit einer anderen Menge abgleichen. (Das ist genau das, was wir tun, wenn wir zählen: Wenn Sie „eins“, „zwei“, „drei“, „vier“ usw. rezitieren, geben Sie jedem der Gegenstände, die Sie zählen, einen vorübergehenden Namen, der einem Gegenstand entspricht mit dem Namen einer Zahl, um herauszufinden, welche Kardinalzahl die Größe der Menge beschreibt. Bei unendlichen Mengen wenden wir diese Idee auch an, die Elemente einer Menge denen einer Kardinalzahl zuzuordnen.)

Ordinalzahlen beschreiben eine Vorstellung von Sequenz: nicht nur Größe, sondern Reihenfolge. Sie beschreiben eine sehr spezifische Art der Ordnung, die als Brunnenordnung bekannt ist: Die definierende Eigenschaft davon ist, dass sie für jede Sammlung von Gegenständen in eine strenge Ordnung gebracht werden können, wobei einer von ihnen der erste ist. — Beachten Sie, dass diese Eigenschaft nicht für alle geordneten Mengen gilt: Beispielsweise gibt es keine kleinste reelle Zahl im Intervall (0,1] oder unter den negativen ganzen Zahlen {..., -3, -2, -1} ; aber Ordnungen sind eine sehr natürliche Art, sich das Ordnen diskreter Mengen für viele Anwendungen vorzustellen, und neigen dazu, die Vorstellung der Menschen von der Ordnung von Ereignissen mit Ursachen und Wirkungen anzusprechen.

Wenn Sie die endlichen ganzen Zahlen ordnen, erhalten Sie eine Wohlordnung. Wer also die Grundlagen der Mathematik durch Mengenlehre erforschen möchte, verwendet normalerweise die gleiche Konstruktion, um sowohl die endlichen Ordinalzahlen als auch die endlichen Kardinalzahlen zu bilden. Sie sehen vielleicht einige Leute, die Kardinalzahlen mit 1, 2, 3, ... beschreiben und sie von Ordnungszahlen unterscheiden, indem sie die Ordnungszahlen als 1. ^, 2. ^, 3. ^usw. schreiben; die übliche mathematische Konstruktion für beide ist jedoch zu definieren

• 0 := ∅, das ist die leere Menge;

• 1 := {0} = {∅} = 0 ∪ {0};

• 2 := {0,1} = {∅,{∅}} = 1 ∪ {1};

• 3 := {0,1,2} = 2 ∪ {2};

und so weiter. Für jede Ordnungszahl α definieren wir α+1 := α ∪ {α}. Wo Kardinalzahlen die Größe einer Menge ausdrücken, wie z. B. {a,b,c}, beschreiben die Ordnungszahlen den Ordnungstyp einer Sequenz, wie z. B. (a,b,c). Dies wird jedoch nur dann wichtig, wenn Sie unendlich lange Sequenzen haben.

Über die ersten mehrfach unendlichen Ordnungszahlen

Um zu veranschaulichen, welchen Zweck die Ordinalzahlen beim Studium des Unendlichen haben, muss ich Ihnen zunächst einige wenige vorstellen.

Wir ordnen die Ordinalzahlen, indem wir sagen, dass α < β genau dann, wenn α ∈ β. Dies ist wichtig, wenn wir anfangen, über unendliche Ordinalzahlen zu sprechen. Die erste unendliche Ordnungszahl ergibt sich aus der Betrachtung der Menge aller endlichen Ordnungszahlen. Es beschreibt eine Folge von Elementen, die wohlgeordnet sind, aber kein letztes Element haben: (0,1,2,...). Wir nennen diese Ordinalzahl ω. Die nächstgrößere Ordnungszahl definieren wir dann wie zuvor durch ω+1 := ω ∪ {ω}: Diese beschreibt eine Ordnung (0,1,2,...,ω), in der sich unendlich viele Elemente verstecken die Ellipsen, aber wo es kein "Element gibt, das kurz vor ω kommt"; Jede aufeinanderfolgende Sammlung von Elementen, die ω enthält, und einige Elemente, die davor stehen, müssen unendlich viele Elemente haben. Dies ist nur ein Ergebnis der Art und Weise, wie ω definiert wurde. Es ist eine sogenannte Grenzordnungszahl: Es steht am Ende einer unendlichen Folge von Elementen, die zu ihm führen, und setzt eine Kappe auf eine unendliche Teilfolge. Wir erhalten andere Grenzordnungszahlen, indem wir unendlich viele andere Ordnungszahlen darüber stapeln: Wir haben ω+2 := (ω+1) ∪ {ω+1}, und wir können ω+3, ω+4 usw. definieren auf die gleiche Weise, bis wir definieren können

      2ω := {0,1,2,3...,ω,ω+1,ω+2,ω+3,...} = 0 ∪ 1 ∪ 2 ∪ ... ∪ ω ∪ (ω+1 ) ∪ (ω+2) ∪ ...

als die Sammlung aller Ordnungszahlen bis zu ω und dann wieder von ω in Inkrementen erhalten. Dann können wir 2ω+1, 2ω+2 usw. bis 3ω definieren; und so weiter bis ins unendliche. Wir erhalten dann eine weitere Grenzordnungszahl,

      ω ² := 0 ∪ ω ∪ 2ω ∪ 3ω ∪ 4ω ∪ ...

in ähnlicher Weise wie die Grenzordnungszahlen ω, 2ω usw. definiert sind. (Normalerweise würden wir auch 1, 2, 3, ω+1, ω+2, 2ω+1 usw. in die Vereinigung aufnehmen; aber ich versuche nur, die Konstruktion zu skizzieren.) Dies würde uns letztendlich erlauben, zu definieren Ordnungszahlen wie ω ² +3ω+7 durch Wiederholen des gleichen Vorgangs wie zuvor für die Ordnungszahlen 2ω, 3ω usw. .

^{Wir fahren dann damit fort, 2ω 2} als die Grenze aller Ordnungszahlen zu definieren , die durch Addieren von Kombinationen von ω und endlichen ganzen Zahlen zu ω ² erhalten werden ; und dann können wir dazu kommen, 3ω ² und 4ω ² zu definieren ; und schließlich könnten wir auf die Idee kommen, ω ³ als die Grenze aller Ordnungszahlen zu definieren, die Kombinationen von ω ² , ω und endlichen ganzen Zahlen umfassen. Wir können ω ⁴ und ω ⁵ definieren , bis wir schließlich nach unendlich vielen Iterationen dazu bewegt werden, ω ^ω und ω ^ω+1 , ω ^ω+2, ω ^2ω zu definieren , und der Prozess hört nie wirklich auf.

Was all diese Ordinalzahlen tun, ist die Erfassung von Ordnungsvorstellungen. Jede neue Ordinalzahl, die wir definieren, erweitert die vorangegangenen.

Der Grund, warum dies wichtig ist, ist, dass sie überhaupt keinen Größenunterschied erfassen – nach ω haben alle Ordnungszahlen, die ich Ihnen bisher beschrieben habe, genau die gleiche Anzahl von Elementen , wenn wir die Größe von beschreiben eine Menge nach Kardinalität. Die Ordnungszahlen erfassen eindeutig viele Informationen über die Struktur, da es viele Grenzordnungszahlen gibt, die erst nach unendlich langen Folgen aufeinanderfolgender Iterationen auftreten, z. B. kommt 8ω 2 ⁺ 3ω erst nach der gesamten Folge 8ω ² +2ω+1, 8ω ² +2ω+2, 8ω ²+2ω+3, ... aber wenn Sie sich erlauben, über Möglichkeiten nachzudenken, Elemente so zuzuordnen, dass die Reihenfolge der Elemente nicht erhalten bleibt, können Sie die Elemente aller dieser "Polynome" von ω einander zuordnen .

• Beispielsweise können Sie ω = {0,1,2,...} mit ω+1 = {0,1,2,...,ω} abgleichen, indem Sie 0 ⇒ ω, 1 ⇒ 0, 2 ⇒ abgleichen 1 und so weiter.

• ^{Du kannst die Elemente von ω 2} denen von ω zuordnen durch die Formel aω+b ⇒ a+(a+b)(a+b+1)/2.

Kompliziertere Formeln ermöglichen es Ihnen, eine Eins-zu-Eins-Übereinstimmung jeder dieser ersten mehreren unendlichen Ordinalzahlen mit ω zu erzeugen; aber gleichzeitig geben sie eine Vorstellung von Größe, in der es sich anfühlt, als ob sie voneinander verschieden sein sollten. Das heißt, die Ordnungszahlen liefern eine Vorstellung von zusätzlicher Struktur . Sie beschreiben viele verschiedene Arten, wie dieselbe Anzahl von Elementen in verschiedene Arten von Ordnungen gebracht werden kann , die durch die Struktur der Grenzen innerhalb dieser Ordnung beschrieben werden – die Art und Weise, wie unendliche Strecken von Inkrementen zu einem Element kumulieren, das diese Inkremente abschließt.

Was wir mit der Größe meinen, hängt davon ab, was wir von der Struktur erwarten

Unendlichkeiten in der Mathematik sind eine berüchtigte Quelle kontraintuitiver Ergebnisse. Der Grund dafür ist, dass unsere Intuitionen auf Strukturen aufgebaut sind; und die Kardinalität – die primitivste Vorstellung von der „Größe“ einer Sammlung – ignoriert viele Formen der Struktur, die wir für wichtig halten.

• Galileo empörte sich über die Vorstellung, dass der Umfang eines größeren Kreises die gleiche Anzahl von Punkten hatte wie der eines kleineren Kreises . (Er ist vielleicht auch der erste Europäer, der die Tatsache bemerkt, dass unendliche Mengen ganzer Zahlen in eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz mit echten Teilmengen gebracht werden können .) Sein Einwand kann letztendlich darauf reduziert werden, dass er an Maßen interessiert war ; wo Liniensegmente Längen hatten und diskrete Elemente in einer Menge einen endlichen (aber nicht zu vernachlässigenden) Grad zur Größe einer Menge hinzufügten, während Eins-zu-Eins-Korrespondenzen solche Vorstellungen des Maßes des Systems oder der Additivität nicht bewahren von Teilen. (Das berüchtigte Banach-Tarski-Paradoxon ist ein Beispiel für ein solches Ergebnis, das sich aus der fehlenden Erhaltung des Maßes von Subsystemen ergibt.)

• Die meisten Menschen scheuen zunächst die Vorstellung, dass es in der Ebene genauso viele Punkte gibt wie auf einer Geraden. (Die Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen den rationalen Zahlen und den ganzen Zahlen oder zwischen ω ² und ω, wie oben beschrieben, ist vom gleichen Typ.) Dies liegt an einem intuitiven Begriff der Dimension ; Die Ebene hat einfach mehr Dimensionen als die Linie, sodass die Linie nicht nur in die Ebene passt, sondern unendlich oft . Diese geometrische Art von Informationen ist jedoch auch etwas, das ein Eins-zu-eins-Matching nicht berücksichtigen muss.

Dies zeigt, dass Sie bei der Betrachtung der Unendlichkeit – sowie vieler anderer Arten von mathematischen Konzepten – welche Struktur Sie für wichtig halten , das ist die Struktur, die Sie durch die Transformationen erhalten müssen, die Sie berücksichtigen möchten (z ) bestimmt, ob zwei Objekte äquivalent oder verschieden sind. Wenn Sie sich für Konzepte wie Dimension oder Measure interessieren und verlangen, dass sie von allen Funktionen, die Sie in Betracht ziehen, beibehalten werden, können Sie ein kurzes Liniensegment niemals in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung mit einem langen oder mit einem Quadrat bringen. Allerdings, wenn Sie willkürlich zulassenFunktionen, die die von Ihnen geschätzten strukturellen Vorstellungen völlig ignorieren, erhalten Sie möglicherweise Ergebnisse, die Sie überraschend oder sogar widersprüchlich für Ihre Intuition finden. Dies liegt letztendlich daran, dass es einen Konflikt zwischen den Ideen gibt, die Sie berücksichtigen möchten, und der Art und Weise, wie Sie darüber nachdenken.

Eigentlich ist der Unterschied schon bei endlichen Zahlen zu sehen, obwohl sie sich erst in den unendlichen Zahlen wirklich manifestieren.

Bei Kardinälen geht es um die Frage "wie viele". Bei dem Wettkampf sind zum Beispiel zehn Athleten dabei. Ordnungszahlen beziehen sich auf die Reihenfolge. Es gibt den Sieger, dann den zweiten, dann den dritten und so weiter.

Jetzt gibt es für endliche Sets (wie die zehn Athleten oben) im Wesentlichen nur eine Möglichkeit, sie anzuordnen (ignorieren der Auswahl, wer zuerst kommt usw.). Sobald wir jedoch unendlich viele Sets bekommen, ändert sich dies dramatisch.

Betrachten Sie die natürlichen Zahlen. Es gibt eine bestimmte Menge davon, die ℵ ₀ (gesprochen „aleph 0“) genannt wird. Diese Menge hängt natürlich nicht davon ab, wie wir sie arrangieren.

Aber jetzt gibt es viele wesentlich unterschiedliche Möglichkeiten, sie anzuordnen; ja sogar mehr solcher Wege, als es natürliche Zahlen gibt. Jedoch entsprechen nicht alle Möglichkeiten, sie anzuordnen, einer Ordnungszahl; die Ordnungszahlen entsprechen sogenannten Brunnenordnungen, also Ordnungen, bei denen man von jeder Teilmenge noch sagen kann, welche zuerst gekommen ist. Dies ist beispielsweise bei den nach Größe geordneten Ganzzahlen nicht der Fall; Wenn Sie sich die negativen Zahlen ansehen, gibt es keine erste, da immer eine davor steht.

Bei den natürlichen Zahlen ist die offensichtlichste Ordnung die übliche Ordnung: Sie können zB leicht sagen, was die erste Primzahl (2), das erste gemeinsame Vielfache von 12 und 15 (0 — das kommt eindeutig vor 60) ist erste Zahl mit drei Ziffern in Dezimalschreibweise (100) und so weiter.

Die Ordnung der natürlichen Zahlen heißt ω (gesprochen „Omega“).

Beachten Sie, dass dies der gleiche Auftragstyp ist, den Sie erhalten, wenn Sie z. B. jede gerade Zahl durch die folgende ungerade Zahl tauschen, d. h.

1, 0, 2, 1, 3, 2, …

Während die genaue Reihenfolge anders ist, können Sie das Original wiederherstellen, indem Sie einfach die einzelnen Nummern in die für ihre Position geeignete umbenennen. Daher wird diese Ordnung auch durch die Ordnungszahl ω beschrieben.

Aber betrachten Sie jetzt die alternative Anordnung der natürlichen Zahlen, bei der Sie zuerst alle ungeraden Zahlen und dann alle geraden Zahlen nehmen. Das heißt, Ihre Bestellung sieht jetzt so aus

1, 3, 5, 7, …, 0, 2, 4, 6, …

Dies unterscheidet sich wesentlich von der üblichen Ordnung: Während man bei der üblichen Ordnung ausgehend von 0 in endlich vielen Schritten jede beliebige natürliche Zahl erreichen kann, gilt dies jetzt nur noch für die ungeraden Zahlen; Um zu einer geraden Zahl zu gelangen, müssen Sie zunächst die unendlich vielen geraden Zahlen und dann möglicherweise endlich viele weitere Schritte durchlaufen. Und Sie können diesen Unterschied nicht beseitigen, indem Sie die Nummern umbenennen; Tatsache bleibt, dass es Zahlen gibt, denen unendlich viele andere Zahlen vorangehen.

Dies ist jedoch immer noch eine gute Reihenfolge. Sie können immer noch fragen, was in dieser Reihenfolge die erste Primzahl (3), das erste gemeinsame Vielfache von 12 und 15 (immer noch 0) und die erste dreistellige Zahl (101) ist.

Diese Ordnung heißt ω+ω ​​(weil es im Grunde genommen zwei Kopien der natürlichen Zahl sind, die nebeneinander gestellt werden; Ordnungszahl „+“ bedeutet im Grunde Verkettung).

Sie können aber auch einfach ein Element nach rechts verschieben, um beispielsweise nur die 0 zu erhalten

1, 2, 3, 4, 5, …, 0

Das heißt, Sie haben die Reihenfolge der natürlichen Zahlen und dann eine zusätzliche; dies wird durch die Ordnungszahl ω+1 beschrieben.

Und es ist tatsächlich wieder eine Ordnung, wo jetzt die erste Primzahl 2 ist, das erste gemeinsame Vielfache von 12 und 15 60 ist (weil 0 viel später kommt , an der ω-ten Stelle), und die erste dreistellige Zahl ist 100.

Jetzt fragen Sie vielleicht, was 1+ω ist? Nun, setzen Sie die 0 einfach links neben die 1,2,3, …, anstatt rechts. Was bekommst du? Nun, genau die übliche Reihenfolge der natürlichen Zahlen! Also tatsächlich 1+ω = ω ≠ ω+1. Sie haben also die ungewöhnliche Eigenschaft, dass die Addition von Ordnungszahlen nicht kommutativ ist.

Beachten Sie, dass alle diese Beispiele die natürlichen Zahlen verwendet haben, daher haben alle die gleiche Anzahl von Elementen, das heißt die gleiche Kardinalität.

Der Unterschied besteht zwischen Matching (Kardinalität) und Sortierung (Ordnungszahlen):

Zwei Sätze wie {a,b,c} und {A,B,C} können abgeglichen werden. Die alphabetische Reihenfolge ist nicht wichtig. Obwohl Sie die Elemente in jedem Satz zählen können – beide haben drei – sollte dies nicht getan werden. Nehmen Sie zuerst ein beliebiges Element aus dem ersten Satz, sagen Sie 'b' und passen Sie es an eines aus dem zweiten Satz an, sagen Sie 'B'; Machen Sie so weiter, bis einer der Sätze leer ist (oder beide). Wenn die erste Menge vor der zweiten leer ist, dann ist sie kleiner in der Kardinalität usw. In diesem Sinne ist das Abgleichen grundlegender als das Zählen . Tatsächlich ist die Kardinalzahl dieser beiden Mengen 3. Der Grund, warum das Abgleichen wichtiger ist als das Zählen, ist, dass es mit unendlichen Mengen umgehen kann.

Ordnungszahlen beziehen sich darauf, wie Sie ein Set bestellen. Die beiden obigen Sätze haben dieselbe alphabetische Reihenfolge und eine Ordnungszahl, die auch 3 genannt wird.

Die Menge {1,2,3,...} wird normalerweise das griechische Omega in Kleinbuchstaben genannt, das ich w nennen werde.

dann {1,2,3,...;1,2}=w+2 und {1,2,3,...;1,2,3,...;1,2}=w+w +3=2w+3

Die Kardinäle sind unter den Ordnungszahlen dünn besetzt. Zum Beispiel gibt es viele Ordnungen (Ordnungszahlen), die sich auf Aleph-1, den ersten unzählbaren Kardinal, beziehen.