Was sind die Erhaltungsladungen im Zusammenhang mit den Virasoro-Generatoren?

Der Generator von Übersetzungen entlang$\tau$, die lange Koordinate des Zylinders, ist$L_0$(oder vielleicht$L_0-a$für einige konstant$a$in der alten kovarianten Quantisierung, aber ich werde die alte kovariante Quantisierung hier nicht diskutieren). Dieser Generator wird als Generator der Skalierung der radialen Richtung neu interpretiert,$r\to r\cdot \exp(\Delta \tau)$.

Nun, Ladungen unter diesen konserviert$L_0$-generierte Übersetzungen von$\tau$sind diejenigen, die mit pendeln$L_0$. Deutlich,$L_0$ist der einzige Generator der Virasoro-Algebra, der in diesem Sinne erhalten bleibt, weil er mit kommutiert$L_0$. Andere gehorchen

$$[L_m,L_0] = m L_m$$ Der Kommutator ist ungleich Null, also pendeln sie nicht. Diese $L_m$Operatoren sind "Eigenzustände" unter $L_0$mit dem Eigenwert ungleich Null $m$was garantiert, dass keine Kombination von ihnen mit pendeln kann $L_0$. $L_0$Messen der Gesamtenergie am Zylinder – oder der Dimension des eingesetzten Operators $r=0$in der radialen Quantisierung – bleibt erhalten, weil es mit sich selbst kommutiert.

Natürlich kann es Symmetriegeneratoren außerhalb der Virasoro-Algebra geben, mit denen kommutiert wird$L_0$, zum Beispiel Generatoren von Raumzeit-Isometrien, heterotisch$SO(32)$oder$E_8\times E_8$, usw.

Wenn Sie mehr Ladungen innerhalb der Virasoro-Algebra erwartet haben, die erhalten bleiben sollten, nun, es ist nicht ganz klar, warum Sie das getan haben. ;-) Aber wenn es etwas damit zu tun hat, dass eine beliebige Form der Kontur von Integralen das gleiche Ergebnis liefert, ist das in Ordnung, aber das ist die Holomorphizität, die in der Virasoro-Algebra bereits "vollständig eingepreist" ist.

Die Unabhängigkeit des Konturintegrals von der detaillierten Form der Kontur ist gleichbedeutend mit der Tatsache, dass das Integral über eine Kontur verläuft, die den Ursprung umkreist$r=0$nullmal verschwindet. Also alle Integrale/Ladungen, die solchen Konturen entsprechen, die den Ursprung vermeiden (zum Beispiel Dinge wie$\oint T(z) dz$über solchen Konturen) werden nicht nur konserviert; sie sind null. Sie sind also keine unabhängigen Betreiber. Beachten Sie, dass der Nullvektor (oder Operator) nicht unabhängig von sich selbst ist. ;-) Wir sprechen überhaupt nicht über "sie" (all diese Nullen). Wenn sie nur Null sein können, existieren sie nicht. Sie speichern keine Informationen: Ihre Messung liefert garantiert Ergebnisse$0$Es ist also nicht erforderlich, sie zu messen. Es wird nur über Operatoren gesprochen, die einige Eigenwerte ungleich Null haben$L_0$ist die einzige erhaltene in der Virasoro-Algebra.

Der Generator$L_0$ist äquivalent zum Integral von$T(z)z$über eine Kontur, die den Ursprung enthält, und das ist die richtige Potenz von$z$das nimmt die Rückstände auf. Die anderen Generatoren sind Integrale von$T_z$mal andere Potenzen von$z$so wählen sie effektiv die Koeffizienten anderer Singularitäten aus$1/z^n$in der Nähe des Ursprungs. All diese Anschuldigungen sind also mit einem einzigartigen Verhalten in der Nähe verbunden$z=0$. Wenn alle Dinge im Flugzeug regelmäßig sind, einschließlich$z=0$, dann sind alle Ladungen gleich Null.