Was sind eigentlich bedeutungslose Symbole?

Was Ihr Professor gesagt hat, ist ein gängiger Ansatz, um zu versuchen, eine mathematische Falle zu vermeiden, die in den Köpfen vieler Studenten auftritt. In solchen Gleichungen spielt das tatsächliche Symbol "x" keine Rolle. Es könnte ein "y" oder ein "z" oder ein Bild von einem Orang-Utan sein. Ich selbst bevorzuge das Wort „willkürlich“ gegenüber „sinnlos“.

Für jemanden, der „es versteht“, erscheint eine Aussage wie „X ist ein bedeutungsloses Symbol“ seltsam. Es ist jedoch sehr einfach für die Schüler, Buchstaben eine Bedeutung zuzuordnen. Dann haben sie Schwierigkeiten, dieselbe Gleichung zu lösen, wenn sie sehen, dass „x“ durch ein „y“ ersetzt wird. Ihr Professor versucht einfach, sie am Pass abzuwehren. ( Ich gebe von Zeit zu Zeit Nachhilfe in Mathematik. Es schmerzt mich immer, wenn ich einem Schüler sage, "löse nach x", und er kann es einfach nicht. Dann schreibe ich genau dieselbe Gleichung, vertausche "x" mit "y" und sage ihnen: " lösen nach y", und sie können es jetzt tun, weil die von meinem Bleistift gezeichneten Formen jetzt die Formen sind, die sie erwarten zu sehen )

Später wird diese Aussage gelockert. Sobald es jeder verstanden hat, können Sie anfangen zu erkennen, dass Variablen oft eine konventionelle Bedeutung haben. Wenn Sie jemanden sehen, der mit einem rechtwinkligen Dreieck rechnet, ist „c“ die Hypotenuse. Wenn sie Physik machen, ist "c" die Lichtgeschwindigkeit. Wenn Ihr Professor die Studenten jedoch nicht gewarnt hat, dass die Symbolwahl in Wirklichkeit willkürlich ist, könnten sie wirklich gestört werden, wenn sie versuchen, Physik auf einem rechtwinkligen Dreieck zu machen, und Lichtgeschwindigkeiten ersetzen, weil sie dasselbe Symbol gesehen haben , "c", in beiden Umgebungen.

Mir gefällt die Verwendung des Wortes bedeutungslos durch Ihren Professor nicht besonders. Die x in Ihrer Formel werden üblicherweise als Variablen bezeichnet. Quines Ansicht war, dass Variablen in der Mathematik durch die Art und Weise, wie wir sie in der Logik verwenden, angemessen erfasst werden, dh als eine Art abstrakter Platzhalter, ähnlich einem Pronomen in einer natürlichen Sprache. Variablen werden explizit oder implizit quantifiziert, und der Quantifizierer kann existentiell sein, was bedeutet, dass der Ausdruck für einen bestimmten Wert gilt, oder universell, was bedeutet, dass der Ausdruck für alle Werte gilt.

Ihre x's sind nicht bedeutungsloser als das Pronomen "who" in den folgenden Sätzen:

There is someone who is ahead of me in the queue.(Eine existenziell quantifizierte Aussage, die für einen bestimmten Wert von „wer“ „gelöst“ werden kann.)

He who hesitates is lost.(Eine universell quantifizierte Aussage, die für alle „wer“ gilt.)

Quines Ausführungen sind in zwei Abhandlungen zu finden: „Variables Explained Away“ in Proceedings of the American Philosophical Society, Vol. 104, Nr. 3 (15. Juni 1960), S. 343-347; und "The Variable" in Ways of Paradox und anderen Essays.

Philosophisch gesehen war der Professor offensichtlich kausal – es gibt offensichtlich kein „bedeutungsloses Symbol“, da ein „ Symbol“ per Definition „ein Ding, das etwas anderes darstellt oder dafür steht, insbesondere ein materielles Objekt, das etwas Abstraktes darstellt“. Hier ist x ein Symbol, das für etwas steht, die Frage ist dann, wofür es steht?

In dieser abstrakten Umgebung wird x als Indeterminante bezeichnet , ohne besonderen Wert (im Gegensatz zu x als Variable , also einer zu lösenden unbekannten Größe).

Was er wahrscheinlich sagen wollte, ist, dass x als Indeterminante keinen bestimmten Wert hat, aber der Punkt ist, dass dies ein Polynom in einer Variablen ist. Dieses Polynom könnte genauso gut (wie es oft der Fall ist) in t ausgedrückt werden , aber es unterscheidet sich von einem Polynom in zwei Variablen.

Um die Frage zu beantworten, ob das Ding x existiert – das tut es eindeutig, aber es ist schwer zu sagen, was dieses Ding ist, außer eine zirkuläre Definition als das Ding zu verwenden, das es uns ermöglicht, über abstrakte Polynome zu sprechen.

Ich denke, gemeint ist, dass x keine Variable ist, sondern reine Syntax. Es ist genauso, als würden Mathematiker komplexe Zahlen als geordnete Paare (x, y) reeller Zahlen definieren und sie dann als x + yi schreiben, wobei das „+“ und „i“ reine Syntax sind. (Die spätere Notation ist gelockert, um beispielsweise i anstelle von 0 + 1i zuzulassen, begründet mit Theoremen, die zeigen, dass bei korrekter Definition der Symbole das syntaktische "+" dasselbe Ergebnis liefert wie die Operation +.)

In diesem Fall bedeutet dies, dass x ^ 2 - 3 nur eine Sammlung von Koeffizienten ist (-3, 0, 1), und verschiedene solcher Sammlungen können gemäß verschiedenen Regeln addiert und multipliziert werden.

Die allgemeine Idee, denke ich, ist, von Polynomen als Funktionen ('geben Sie mir x und ich gebe Ihnen eine Zahl') zu Polynomen als Objekten überzugehen. Aber das lässt sich konkretisieren. Angenommen, Sie betrachten Polynome über der Gruppe Z/2Z, in denen es genau zwei Zahlen gibt, 0 ("gerade") und 1 ("ungerade") mit 0 + 0 = 1, 0 + 1 = 1 = 1 + 0 , und 1 + 1 = 0. Beachten Sie nun, dass jeder Wert, den Sie für x wählen, x^2 + x + 1 gleich 1 ist. Aber als Polynome über einem unbestimmten ("bedeutungslosen Symbol") x, 1 und x^2 + x + 1 sind unterschiedlich (weil die Listen (1) und (1, 1, 1) unterschiedlich sind).

Wenn der Professor sagt, dass x ein "bedeutungsloses Symbol" ist, was genau ist damit gemeint?

Es bedeutet nur, dass Sie sich ein Polynom "a + bx + cx^2 + ... + dx^n" als das geordnete Tupel (a,b,c,...,d) und das "x" vorstellen können. und "+" und Exponentiationsnotation sind nicht Teil des Polynoms, sondern lediglich dazu da, einen suggestiven Begriff zu geben. Die Koeffizienten des Polynoms sind dann einfach {a,b,c,...,d}, und Sie können ganz einfach Addition und Multiplikation von Polynomen mit Koeffizienten aus demselben Ring definieren. Nach dieser Definition enthält das Polynom selbst nicht einmal, welches Symbol als Unbestimmt verwendet wird, obwohl wir "x" zur Beschreibung des Polynoms verwenden. Zum Beispiel haben wir, dass das Produkt von (1,1) und (1,-1) (1,0,-1) ist. Dies wird herkömmlicherweise beschrieben, indem man sagt, dass (1+x) * (1-x) = 1-x^2.

Aber das Obige ist nicht die einzige verwendete Definition von Polynomen. In der Algebra ist es üblich, über Polynome zu sprechen, als ob sie die tatsächlichen Zeichenketten wären, die aufgeschrieben wurden, einschließlich der „Potenzen“ von „x“ und „+“. Es gibt einige subtile Denkfehler, die sich einschleichen können, wenn man solche „intuitiven“ Vorstellungen von Polynomen verwendet. Und es überrascht nicht, dass es schwierig sein wird, diesen Begriff richtig zu formalisieren, ohne auf die frühere Definition zurückzugehen. Zum Beispiel können wir uns „vorstellen“, dass „1 + xy + x^2 + y^3“ sowohl in „x“ als auch in „y“ ein Polynom ist, aber ist es ein Polynom in „x“ allein oder nur in „y“. ?

Beachten Sie, dass die formale Definition eines univariaten Polynoms als Tupel auf multivariate Polynome erweitert werden kann, indem Sie eine Potenzreihe mit k-Variaten über R als Funktion von N ^ k bis R definieren und dann ein Polynom mit k-Variaten über R als definieren eine Potenzreihe mit k-Variablen, die null ist, außer bei endlich vielen Eingabe-Index-Tupeln. Beachten Sie, dass ein bivariates Polynom über R als ein univariates Polynom über univariate Polynome über R angesehen werden kann, genauso wie Funktionen curryed werden können .

Bedeutet dies, dass das Symbol x keine „metasprachliche“ Interpretation hat?

Die Antwort Ihres Professors ist also eigentlich nicht präzise genug, um festzustellen, ob er die rein strenge Definition verwendet. Es gibt eine dritte mögliche Definition, bei der ein Polynom eine Funktion der Form ( x ↦ a + b * x + c * x^2 + ... + d * x^n ) ist, wobei "+" und "*" kann überladen werden und "x^k" ist nur eine Kurzform für das k-fache Produkt von "x". Eine solche Funktion ist undefiniert oder stürzt ab, wenn eine Eingabe x gegeben wird, für die eine der Multiplikationen oder Additionen nicht definiert ist. In diesem Sinne ist "x" nicht wirklich bedeutungslos, sondern tatsächlich ein Parametername. Natürlich kann man einen anderen Parameternamen verwenden (solange er nicht anderweitig verwendet wird), ohne die Bedeutung zu ändern. Der Nachteil dieses Ansatzes ist, dass er bei all der Überladung sehr schwer zu formalisieren ist,

Es ist tatsächlich nicht allzu schwer, die formale Definition zu verwenden, um diesen Begriff zu erfassen, über die Bewertungsabbildung auf univariaten Polynomen über R (wobei R ein Ring ist), die jedes solche Polynom p und Objekt x in R auf den Wert ( a + b * x + c * x^2 + ... + d * x^n ). Ähnlich für multivariate Polynome. Die einzige Sache ist, dass wir immer diese Bewertungskarte verwenden müssen, um ein Polynom auf irgendein Objekt „anzuwenden“. Die Leute bilden natürlich die Abkürzung "p(x)" für den obigen Wert, obwohl dies der formalen Definition widerspricht! (Nach der formalen Definition wäre p(1) der Koeffizient des linearen Terms, aber nach der bequemen Kurzform wäre p(1) die Summe aller Koeffizienten!)

Macht es Sinn zu sagen, dass "Symbole unabhängig von Bedeutung oder Interpretation sind"?

Wie ich hoffe, der Rest meiner Antwort hat gezeigt, hat es eigentlich nicht viel mit Polynomen und den Aussagen Ihres Professors zu tun. Abgesehen davon ist es in der Tat vernünftig zu sagen, dass Symbole nur Symbole und ohne Bedeutung sind, es sei denn, Sie interpretieren sie. In der mathematischen Logik definieren wir eine Interpretation sogar ausdrücklich als eine Funktion auf Zeichenketten, die eine Karte ihrer „Bedeutungen“ sein soll.

Kann es ein Symbol geben, das keine „Interpretation“ oder „Bedeutung“ hat? Mit anderen Worten, was ist der ontologische Status von Symbolen?

Wählen Sie eine beliebige Sammlung von 100 Pixeln in einem 100*100-Quadrat, und diese Sammlung bildet ein Symbol. Welche Bedeutung hat es? Nun, Sie könnten den Leuten sagen, dass Sie es verwenden möchten, um etwas zu bezeichnen, in diesem Fall hat es eine Bedeutung für jeden, der Ihre Entscheidung akzeptiert. Ebenso können wir sagen, dass die Antwort auf Ihre Frage "Nein" lautet. weil ich jedes beliebige Symbol so interpretieren kann, dass es bedeutet, was ich will, und es wird diese Bedeutung für mich haben.

Tatsächlich ist es sinnlos zu fragen, ob eine Zeichenkette (an sich) Bedeutung hat, einfach weil ihr jede Bedeutung gegeben werden kann. Was eine bestimmte Interpretation nützlich macht, ist, wenn sie einheitlich auf eine ganze Sammlung von Zeichenfolgen angewendet werden kann (z. B. Semantik erster Ordnung über eine Struktur erster Ordnung, die auf Sätze erster Ordnung angewendet wird) und nicht triviale Eigenschaften hat (wie Solidität und Vollständigkeit). ).

In Ihrem Beispiel ist "x" eine Unbestimmte des Polynoms, das ist seine Bedeutung. Normalerweise schreibt man "X" (groß). Der Ausdruck „sinnloses Symbol“ ist irreführend.

Sie können x durch einen beliebigen Wert ersetzen. Dann wird auch das Polynom zu einem bestimmten Wert ausgewertet unter der Annahme, dass Sie den Wert der Konstanten a_i kennen.

Bemerkung . Dank der Antwort von @Kames Kingsbery habe ich auf "unbestimmt" geändert.

Nur eine kurze Antwort: x ist kein bedeutungsloses Symbol, sondern ein bedeutungsloses Zeichen, das auf ein anderes Zeichen zeigt, dessen Verbindungen logisch standardisiert sind. Wenn das x für ein anderes Objekt stünde, würde es zu einem bedeutungsvollen Symbol. Natürlich gehört das Problem, das Sie aufwerfen, zum Zweig der Logik, der als Philosophie der Mathematik bezeichnet wird, und Mathematiker selbst sind normalerweise keine Philosophen, sodass sie möglicherweise nicht darauf vorbereitet sind, philosophische Fragen zu beantworten, und ihre Kommunikation mit Studenten spiegelt dies wider. Eine ontologische Frage zur Mathematik oder zur wesentlichen Realität aller deduktiven Logiksysteme im Allgemeinen zu stellen, ist ein bisschen so, als würde man fragen, ob die konkrete Realität (von einem göttlichen Wesen geschaffen) im Wesentlichen logisch oder im Wesentlichen irrational ist, aber teilweise von uns im Kurs rationalisiert wird unserer Aktivitäten.