Was wäre die Mindestgröße eines Planeten, auf dem ein Mensch herumlaufen könnte, ohne im offenen Raum herauszufallen?

Beginnen wir einfach mit der kosmischen Geschwindigkeit, vorausgesetzt, Sie möchten nicht vollständig entkommen.

$v \le \sqrt{\frac{2GM}{r}}$, wobei M die Masse des Planeten und r der Abstand zum Massenmittelpunkt ist. Wir gehen von einem kugelförmigen Planeten aus. Wir kennen die durchschnittliche Dichte$\rho$unseres Planeten Erde und da Sie wahrscheinlich auf dem neuen Planeten leben wollen, gehen wir davon aus, dass er die gleiche Dichte hat. Wir können dann M in unserer vorherigen Formel durch ersetzen$\rho \frac{4}{3}\pi r^3$Stecken Sie ein und lösen Sie nach r, um zu erhalten

$r \ge \sqrt{\frac{3v^2}{8 G \rho}}$/ Setzen Sie die Zahlen ein.$\rho=5515kg/m^3$ist die durchschnittliche Dichte unseres Planeten Erde und die Gravitationskonstante. Nehmen wir an, du spielst Basketball wie ich, zum Dunk müsste ich mit einer Geschwindigkeit von abspringen$4m/s$laut meinem Dunk-Rechner. Dies ist die maximale Geschwindigkeit, mit der Sie springen, wenn Sie auf dem neuen Planeten Basketball spielen.

So bekommen wir

$r \ge 6446.4m$.

Das hat Spaß gemacht, nur zufällige Annahmen und Berechnungen anzustellen: DI wurde nicht konkret, aber das sollte Ihnen trotzdem bei Ihren Hausaufgaben helfen.

Für den Laufteil würde ich einfach annehmen, dass Ihre durchschnittliche Gehgeschwindigkeit kleiner als die erste kosmische Geschwindigkeit sein sollte, oder Sie werden einfach um den Planeten fallen. Beginnen Sie dort und gehen Sie zurück, wie ich es oben getan habe.

Das Problem liegt in Ihrer Annahme, dass "wir in den offenen Weltraum fallen", es sei denn, der Planet ist groß genug.

Selbst wenn es überhaupt keinen Planeten gäbe, würden wir nicht fallen. Im offenen Weltraum bleibt man einfach, wo man ist – es sei denn, man wird von einem Stern oder Planeten beeinflusst. Mit anderen Worten, Sie werden immer langsam auf irgendetwas zutreiben.

Jetzt ist die Schwerkraft der Erde so groß, dass wir uns bewegen müssen$11km/s$(oder$40,000km/h$), um seiner Schwerkraft zu entkommen. Um der Sonne zu entkommen, müsste Ihre Geschwindigkeit sein$618 km/s$. Wenn der Körper kleiner wird, wird auch die Fluchtgeschwindigkeit kleiner – aber das wird sie nie$0$. Das heißt, wenn Sie auf einem kleinen Asteroiden stehen, können Sie ihm möglicherweise durch einen Sprung entkommen. Auf einem noch kleineren kannst du dich vielleicht mit deinem kleinen Finger wegdrücken – aber du brauchst immer etwas Geschwindigkeit, um zu entkommen. Unter Verwendung der Gleichungen qacwnfq q können Sie die Größe des Asteroiden berechnen, die erforderlich ist, um Sie daran zu hindern, mit Schrittgeschwindigkeit zu entkommen (ca$5km/h$oder$1.4m/s$). Der Radius stellt sich auf ca. ein$1.4km$.

Aber du „fällst NIE einfach ab“.

Die Erde hat eine durchschnittliche Dichte von etwa 5500 kg/m^3. Für einen kleinen Planeten wäre die Dichte überall ziemlich ähnlich. Daher ist die Schwerkraft, die Sie auf einem Planeten mit Erddichte erfahren würden: Ihre Masse * 5500 * 4/3pi * r^3 / r^2 * 6,6723 * 10^-11

Dies entspricht ungefähr 1,456 * 10^-6 * Ihrer Masse * Radius des kleinen Planeten. (Ich weiß, wenn du die Multiplikation überprüfst, geht es nicht, das liegt daran, dass die vereinfachte Gleichung, die ich aufgeschrieben habe, genauer ist)

Dies setzt auch voraus, dass sich Ihre gesamte Masse auf Ihre Füße konzentriert. Dies ist nicht wahr, aber die Gesamtgleichungen bleiben gleich. Wir könnten versuchen, die Kraft auf jedem Querschnitt Ihres Körpers kombiniert mit der Querschnittsdichte zu integrieren. Diese Aussage zeigt, wie kompliziert es wäre, die Kraft genau zu finden. Stattdessen könnten wir einfach davon ausgehen, dass Ihre Masse auf halber Höhe Ihres Körpers konzentriert ist.

Unsere neue Gleichung lautet also: 1,456 * 10^-6 * Ihre Masse * Radius des Miniplaneten in die dritte Potenz / (Radius des Miniplaneten + die Hälfte Ihrer Höhe) im Quadrat

Ein ausgezeichneter Artikel darüber, wie es sich anfühlen würde, auf einem Miniplaneten herumzulaufen, darauf zu stehen und zu springen, finden Sie unter folgendem Link:

http://what-if.xkcd.com/68/

Wenn der Radius vergrößert wurde, würden Sie eine stärkere Schwerkraft, aber weniger Gezeitenkräfte spüren. Wenn der Radius verringert wurde, würden Sie eine schwächere Schwerkraft, aber mehr Gezeitenkräfte spüren. Obwohl die beteiligten Gezeitenkräfte gering sein mögen, würde es sich anfühlen, als würden Sie auf einem Ball liegen oder mit dem Kopf in der Nähe der Mitte eines Karussells liegen.

Die Fluchtgeschwindigkeit für einen Planeten wird mit der Formel sqrt(2GM/r) ermittelt. Ein durchschnittlicher Mensch kann mit einer Geschwindigkeit von 0,153 m/s nach oben springen. Um also von einem Miniplaneten mit Erddichte abzuspringen, müsste der Planet einen Radius von weniger als 87,33 m haben. Ein interessanter Punkt, der in dem Artikel erwähnt wird, ist, dass ein Objekt der Anziehungskraft eines Planeten entgeht, wenn sich das Objekt mit Fluchtgeschwindigkeit in eine beliebige Richtung bewegt, vorausgesetzt, es bewegt sich nicht auf den Planeten zu. Ein durchschnittlicher Mensch kann mit 5,6 m/s laufen. Ein Miniplanet müsste also einen kleineren Radius als 3193,81 m haben, um von ihm abzulaufen. Um einen Miniplaneten einfach zu verlassen, müsste er einen Radius von weniger als 798,45 m haben.