Welche Beziehung besteht zwischen Nicht-Kontextualität und Bells verborgenem Variablenmodell?

Beim Lesen über Kontextualität in der Quantenmechanik stolperte ich über die folgende Aussage (in Peres (2002) , S. 190 oben): In einem zweidimensionalen Hilbert-Raum ist es möglich, versteckte Variablenmodelle (HVMs) zu konstruieren, die alles reproduzieren die Ergebnisse der Quantentheorie . Ich versuche besser zu verstehen, was damit gemeint ist.

Peres verweist den Leser zur Unterstützung der obigen Aussage auf S. 159, wo " Bell's model of hidden variables " beschrieben wird. Dies funktioniert wie folgt:

Wir wollen die möglichen Ergebnisse der Messung eines zweidimensionalen Zustands beschreiben ψ ≡ | ψ ⟩ . Wir stellen fest, dass alle beobachtbaren A kann geschrieben werden als A = N A ⋅ σ mit N A ∈ R 3 Und σ ich die drei Pauli-Matrizen. Die möglichen Ergebnisse, die solchen Observablen im QM entsprechen, wären: ± N A , Wo N A ≡ | N A | . Lassen Sie uns auch definieren C ≡ ψ † A ψ / N A . Wir können dann die experimentellen Ergebnisse der Messung vorhersagen A , indem eine verborgene Hilfsvariable genutzt wird λ , folgendermaßen:

  • Wenn − 1 < λ < − C , dann ist das Ergebnis − N A ;
  • Wenn − C < λ < 1 , dann ist das Ergebnis + N A .

Wir stellen die Vorhersagen von QM wieder her, wenn λ gleichmäßig verteilt ist [ − 1 , 1 ] .

Wie Peres (auf S. 190) betont, sagt dieses Modell die Ergebnisse der Messung einer gegebenen Observable korrekt voraus A . Anschließend beschreibt er (auf S. 190) Mermins Argument für die Nicht-Kontextualität von QM , das darauf beruht, einen Satz von Zwei-Qubit-Observablen zu finden, denen nicht allen ein bestimmter numerischer Wert zugewiesen werden kann. Er bemerkt, dass Mermins Argument die Verwendung eines vierdimensionalen Hilbert-Raums erfordert, während wir wissen, dass wir im zweidimensionalen Fall ein HVM bauen können, um alle Ergebnisse der Quantenmechanik zu reproduzieren, wie im obigen Argument. Hier komme ich ins Grübeln: Vergleicht man hier nicht Äpfel mit Birnen?

So wie ich es verstehe, geht es bei Mermins Argument darum, Messergebnisse zu vergleichen, die auf verschiedenen Basen erhalten wurden. Aber wir tun nichts dergleichen, wenn wir über Bells HVM sprechen. Können wir Bells Argument nicht auf beliebige Dimensionen erweitern? Für jedes gegebene Observable A mit N verschiedene Eigenwerte λ J , verwenden Sie eine gleichmäßig verteilte verborgene Variable λ ∈ [ − “ A “ , “ A “ ] , und sagen, dass das experimentelle Ergebnis die ist J -th wann immer λ ∈ [ λ J , λ J + 1 ] . Wie ist dies dann mit Mermins Argument über die Nicht-Kontextualität in vier Dimensionen vereinbar?

Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich hier den Punkt der Kontextualität vermisse und was Mermins Argument uns sagen soll, also bin ich für jede Klärung dieser Angelegenheit dankbar.

Antworten (2)

können wir Bells Argument nicht auf beliebige Dimensionen erweitern?

Ja, Bells Argument kann erweitert werden, um ein Modell mit verborgenen Variablen für einen Hilbert-Raum mit beliebig vielen Dimensionen zu entwickeln. Es ist ganz einfach, ein kontextabhängiges Modell für verborgene Variablen zu entwickeln!

... aber auch uninteressant. Wir können immer eine Theorie erfinden, die alle experimentellen Ergebnisse perfekt reproduziert, indem wir einfach jedes bekannte Ergebnis als eines der Axiome der Theorie nehmen. Kontextbezogene HV-Modelle sind nicht ganz so lächerlich, aber sie sind immer noch in der Kategorie "uninteressant".

In einem Hilbert-Raum mit vier Dimensionen können wir eine nicht-triviale Observable haben A (nicht proportional zur Identität), die mit beiden pendelt B Und C wenngleich B Und C pendeln nicht miteinander. In Mermins Worten ( https://arxiv.org/abs/1802.10119 ):

Diese stillschweigende Annahme, die eine Hidden-Variables-Theorie einer Observable zuordnen muss A der gleiche Wert ob A wird als Teil der wechselseitig kommutierenden Menge gemessen A , B , C , . . . oder ein zweiter wechselseitig kommutierender Satz A , L , M , . . . auch wenn einige der L , M , . . . scheitern, mit einigen der zu pendeln B , C , . . . , wird von den Philosophen "Nicht-Kontextualität" genannt.

Wir können Bells Argument erweitern, um ein Modell mit verborgenen Variablen in einem vierdimensionalen Hilbert-Raum zu konstruieren, aber nicht eines, das diese Einschränkung respektiert. Nicht-kontextuelle Modelle mit verborgenen Variablen können die Vorhersagen der Quantentheorie nicht reproduzieren, und das ist interessant.

Danke. Um es klar zu sagen, stimmen Sie zu, dass Bells Argument einfach nicht mit dem von Mermin oder allgemeiner mit Kontextualitätsargumenten vergleichbar ist? Bells Argument sagt uns, dass bei Festlegung einer Messbasis die Ausgabewahrscheinlichkeit immer (etwas trivial) über Lang-Lkw reproduzierbar ist – aber dies hat nichts mit den Korrelationen zwischen den Ergebnissen in verschiedenen Messbasen zu tun (und kann sie nicht erklären). Vielleicht liegt es an mir, aber ich finde die Art und Weise, wie dies in dem Buch dargestellt wurde, etwas irreführend: Die Existenz von Sätzen von „seltsam pendelnden“ Betreibern hat nichts mit Lang-Lkw-Modellen à la Bell zu tun
@glS Wenn wir mit "Bells Argument" meinen, wie er ein HV-Modell für den zweidimensionalen Hilbert-Raum (und seine Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen) konstruiert hat, dann ja: Das von diesem Argument (in höheren Dimensionen) erzeugte HV-Modell tut dies nicht respektieren Sie die Nichtkontextualitätsbeschränkung, die Mermin hervorhebt.
@glS Ich bin mir jedoch nicht sicher, ob dies dasselbe ist, wie ein lokales HV-Modell anzurufen . Es gibt verschiedene Nuancen von Beschränkungen, die einem HV-Modell auferlegt werden können. Bells ursprüngliche Ungleichung ging von einem LHV aus, wenn ich mich recht erinnere, aber es ist eine Weile her, seit ich all diese Nuancen durchgepflügt habe, und das geht wahrscheinlich über den Rahmen der vorliegenden Frage hinaus, die nicht nach Bells ursprünglicher Ungleichung fragt.
Die Antwort von @glS Charles Francis lautet: "Kontextualität bedeutet, dass die verborgene Variable nur eine bestimmte Messung oder Klasse von Messungen bestimmt." Ich denke, diese Aussage drückt dasselbe aus, was ich versucht habe, auf andere Weise auszudrücken: Ein kontextbezogenes HV befasst sich nur mit jeder Observablen für sich , nicht damit, wie Observablen zueinander in Beziehung stehen. Aus diesem Grund ist es einfach, kontextbezogene HVs zu konstruieren, und weshalb die Existenz kontextbezogener HVs überhaupt nicht mit der Quantentheorie konkurriert. Sie haben fast keine Vorhersagekraft.
ja dem stimme ich zu. Dieses "kontextbezogene HV-Argument" sagt uns wirklich nicht viel

Ich bin mir nicht sicher, ob Sie den Punkt verfehlen. Wir können ein Modell mit verborgenen Variablen erstellen, um die Ergebnisse der Quantenmechanik für einen zweidimensionalen Hilbert-Raum zu reproduzieren, aber das Kochen-Specker-Theorem zeigt, dass dies für einen Hilbert-Raum mit einer Dimension von mehr als 2 nicht möglich ist (von Neumann betrachtete einen unendlich dimensionalen Hilbert-Raum). ). Der Satz von Gleason kann auch so interpretiert werden, dass das einzige Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem Hilbert-Raum der Dimension mindestens 3 das von der Quantenmechanik gegebene ist, wodurch verborgene Variablen ausgeschlossen werden).

Ich betrachte Kontextualität als Ablenkungsmanöver in diesen Argumenten. Es ist auch ein Ablenkungsmanöver, den Hilbert-Raum der Dimension 2 zu betrachten, da dieser die Quantenmechanik nicht beschreibt. Wann immer Kontextualität eingeführt wird, scheint es, um das Problem zu verwirren, indem das Thema gewechselt wird (der aktuelle Wikipedia-Artikel über Gleasons Theorem ist ein typisches Beispiel; vergleiche mit der Aussage von Gleasons Theorem, die in dieser SE-Antwort zitiert wurde ) .

Kontextualität bedeutet, dass die verborgene Variable nur eine bestimmte Messung oder Klasse von Messungen bestimmt. Sie genügt nicht dem klassischen Determinismus, also der Bestimmung aller möglichen Messergebnisse, nicht nur des Ergebnisses der durchgeführten Messung. Für die Kontextualität reicht es nicht aus zu sagen, dass die verborgene Variable Teile enthält, die entweder den Ort oder den Impuls bestimmen, und dass, da nur eine dieser Messungen durchgeführt werden kann, die andere existiert, aber nicht verwendet wird; Die Konjugation zwischen Position und Impuls besagt, dass bei Durchführung einer Messung die verborgene Variable für die andere Messung nicht existieren kann.

Es macht keinen Unterschied, dass wir praktisch nur eine Messung durchführen können, denn die Quantenlogik beschreibt nicht nur die durchgeführte Messung, sondern auch, was bei nicht durchgeführten Messungen passieren würde . Die Kontextualität würde erfordern, dass verschiedene verborgene Variablen auftauchen und wieder verschwinden, wenn ein Experimentator seine Meinung darüber ändert, welche Messung er durchführen soll. Dies würde unterschiedliche zugrunde liegende Physik implizieren, je nachdem, was ein Physiker tun wird.

Kurz gesagt, wann immer ich Argumente über Kontextualität sehe, finde ich Physiker, die am Determinismus festhalten und nach einer Lücke suchen, die es nicht gibt.

Ich verstehe die Argumente von Kochen-Specker und Gleason nicht wirklich (weshalb ich diese Themen überhaupt durchlese), kann mich also nicht dazu äußern. Wenn ich verstehe, was Sie sagen, stimmen Sie zu, dass Bells Lang-Lkw-Argument nichts mit Kontextualität zu tun hat, sondern um die Korrelationen zwischen den Ergebnissen in verschiedenen Messbasen, ja?
Ja, dem würde ich zustimmen.
Das macht Sinn. Vielen Dank, das hat einiges zur Klärung beigetragen.
@CharlesFrancis "Kontextualität würde erfordern, dass verschiedene versteckte Variablen auftauchen und verschwinden, wenn ein Experimentator seine Meinung darüber ändert, welche Messung er durchführen soll." Gut gesagt (+1)!
Welche Beziehung besteht zwischen Nicht-Kontextualität und Bells verborgenem Variablenmodell?
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