Welche davon ist die zeitumgekehrte Wellenfunktion, ψ∗(x,t)ψ∗(x,t)\psi^{\ast }\left( x,t\right) oder ψ∗(x,− t)ψ∗(x,−t)\psi^{\ast}\left( x,-t\right) ? [Duplikat]

Wenn die Wellenfunktion ψ ( X , T ) ist eine Lösung des spinlosen zeitunabhängigen Schr Ö ¨ Dinger-Gleichung,

ich ℏ ∂ ∂ T ψ ( X , T ) = [ − ℏ 2 2 M ∇ 2 + v ( R ) ] ψ ( X , T )
Dann, ψ ∗ ( X , − T ) ist auch die Lösung
ich ℏ ∂ ∂ T ψ ∗ ( X , − T ) = [ − ℏ 2 2 M ∇ 2 + v ( R ) ] ψ ∗ ( X , − T )
und kann als zeitumgekehrte Wellenfunktion von definiert werden ψ ( X , T )

ψ R ( X , T ) = ψ ∗ ( X , − T )

In vielen Diskussionen über den zeitumgekehrten Betrieb wird jedoch die zeitumgekehrte Wellenfunktion verwendet ψ R ( X , T ) erhält man durch Anwendung des Zeitumkehroperators K , die das komplexe Konjugat der Wellenfunktion ist,

ψ R ( X , T ) = K ψ ( X , T ) = ψ ∗ ( X , T )

Meine Frage ist also, welche die zeitumgekehrte Wellenfunktion ist ψ ∗ ( X , T ) oder ψ ∗ ( X , − T ) ?

Der allgemeine Ausdruck für den Zeitumkehroperator T = U K (Gl. (4.4.14) in Modern Quantum Mechanics von JJ Sakurai), wobei U ist ein unitärer Operator und K ist der komplexe Konjugationsoperator. Für Spinless-Fall kann man wählen U = 1 , So T = K .

ψ ∗ ( X , T ) war nicht immer garantiert eine Lösung, also können Sie das genauso gut ignorieren. (Ich vermute, sie waren gemeint T rückwärts gehen, also wenn Sie einen Nullversatz hatten, ist es äquivalent zu − T Wo T weiter.) Aber könnten Sie eine Referenz Ihrer Gleichungen und Behauptungen angeben?
Wellenfunktionen müssen nicht als Funktionen von ausgedrückt werden X Und T , also jede allgemeine Definition eines Zeitumkehroperators, der davon ausgeht X als Eingang wäre irgendwie seltsam. Sie könnten zB auf der Impulsbasis arbeiten. Beachten Sie, dass eine Funktion übernommen wird F ( T ) und sende es an F ( − T ) ist eine einheitliche Operation. Vielleicht lautet die Antwort auf Ihre Frage also, dass beide von Ihnen vorgeschlagenen Dinge als zeitumgekehrte Wellenfunktion betrachtet werden könnten, je nachdem, wofür Sie sich entscheiden U . Ich poste dies nicht als Antwort, weil ich das nicht gut verstehe, nicht sicher, ob ich Recht habe.
Beantwortet das deine Frage? Schrödingers Gleichung - Zeitumkehr

Antworten (2)

Gemäß Ihrer Referenz scheinen Sie anti-unitäre Operatoren mit dem Zeitumkehroperator verwechselt zu haben. Der Zeitumkehroperator ist eine Art anti-unitärer Operator. Der allgemeine Ausdruck für einen anti-unitären Operator ist, wie Sie bereits erwähnt haben, auf Seite 269 Gleichung 4.4.14 von JJ Sakurais Buch:

θ = U K
Wo θ ein anti-unitärer Operator ist, U ein unitärer Operator ist und K der komplexe Konjugationsoperator ist. Sie können nicht einfach U als Identität nehmen, denn obwohl dies ein anti-unitärer Operator ist, ist es nicht unbedingt der Zeitumkehroperator.

Für Teilchen mit Spins kann man nicht einfach U als Identität annehmen. Warum kann man für spinlose Teilchen nicht U als Identität wählen? Wenn man U nicht als Identität wählen kann, was wäre dann der Ausdruck für den Zeitumkehroperator für spinlose Teilchen?
Dies scheint die Frage nicht wirklich zu beantworten.

In der Quantenmechanik wirken die Operatoren nicht auf die Funktionen von ein ( T , X ) . Sie wirken auf die Funktionen von ( X ) . Sie können den Zeitumkehroperator also nicht als Änderung der Zeitrichtung definieren. Sie definieren es einfach als eine antilineare Transformation, die im Allgemeinen einen linearen Operator enthalten kann T ^ ,

T ψ ( X ) = T ^ ψ ⋆ ( X )

Diese antilineare Transformation impliziert jedoch die Umkehrung der Zeitrichtung. Wie? Die Zeitabhängigkeit der Wellenfunktion im Schrödinger-Bild erhält man mit Hilfe des Evolutionsoperators,

ψ T ( X ) = exp ⁡ ( − ich H ^ T ) ψ 0 ( X )
Wenn Sie mit handeln T dann dank seiner Antilinearität,
T ψ T ( X ) = exp ⁡ ( + ich H ^ T T ) T ψ 0 ( X )
Wo H ^ T = T H ^ T - der zeitumgekehrte Hamiltonoperator. Also wenn H ^ = H ^ T du darfst schreiben T ( ψ T ( X ) ) = ( T ψ ) − T ( X ) .

Ähnlich die Entwicklung der Operatoren im Heisenberg-Bild,

T Ö ^ T T = T exp ⁡ ( + ich H ^ T ) Ö ^ exp ⁡ ( − ich H ^ T ) T = exp ⁡ ( − ich H ^ T T ) T Ö ^ T exp ⁡ ( + ich H ^ T T )

Dh beide Objekte entwickeln sich in umgekehrter Zeitrichtung mit dem zeitumgekehrten Hamiltonoperator H ^ T . Betrachtet man den Betreiber T Ö ^ T = Ö ^ Und H ^ = H ^ T Dann T Ö ^ T T = Ö ^ − T .

Welche davon ist die zeitumgekehrte Wellenfunktion, ψ∗(x,t)ψ∗(x,t)\psi^{\ast }\left( x,t\right) oder ψ∗(x,− t)ψ∗(x,−t)\psi^{\ast}\left( x,-t\right) ? [Duplikat]
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