Welcher Interpretationsunterschied besteht zwischen der Definition einer Funktion mit oder ohne Differential als Postfaktor?

Ich habe lange darüber nachgedacht und nach Antworten gesucht, aber ich habe keinen Namen oder eine Bezeichnung für dieses Problem, was der Grund für den langen Titel dieser Frage ist.

Ich bin oft darauf gestoßen, aber ich habe nie eine Begründung dafür gefunden, dh eine klare Interpretation oder Erklärung, also hier ein paar Beispiele dafür, was ich meine. Ich vermute, dass sie unterschiedliche Antworten haben.

I) In z. B. Shapiro und Teukolsys Buch Black Holes, White Dwarfs and Neutron Stars (1983) wird die Salpeter-Geburtenratenfunktion für Sterne definiert als

$\psi_s\mathrm{d}\left(\frac{M}{M_\odot}\right) = 2\times10^{-12}\left(\frac{M}{M_\odot}\right)^{-2.35}\mathrm{d}\left(\frac{M}{M_\odot}\right)\mathrm{\ stars\ pc}^{-3}\mathrm{\ yr}^{-1}$

Fragen: Warum spielt es eine Rolle, dass diese Differenzen enthalten sind? Warum die Aussage chaotischer aussehen lassen, indem beide Seiten der Gleichung mit etwas multipliziert werden, das sich offensichtlich aufhebt? Wenn es nur darum geht, was zu zeigen$\psi_s$hängt davon ab, dann macht es für mich mehr Sinn, die Funktion so zu definieren:

$\psi_s(M) = 2\times10^{-12}\left(\frac{M}{M_\odot}\right)^{-2.35}\mathrm{\ stars\ pc}^{-3}\mathrm{\ yr}^{-1}$

Was ist (oder könnte) die Antwort sein?

II) Bei der Definition der Kontinuitätsgleichung für Brownsche Bewegungsteilchen im 1D-Raum habe ich eine Vorlesungsnotiz, die folgendermaßen begründet:

Angesichts der Einrichtung

         |  n(x,t) |
         |         |    
J(x,t) ---->     ----> J(x + dx, t)
         |         |
         |         |
    ---------------------->
         x        x+dx

Wo$n(x,t)$ist die Anzahldichte von Teilchen zwischen Positionen$x$Und$x + \mathrm{d}x$Und$J(x, t)$ist der Fluss dieser Teilchen an einer bestimmten Position$x$und Zeit$t$. Die Teilchenzahl bleibt erhalten, und es wird angenommen, dass sie identisch sind und nicht miteinander wechselwirken.

In den Notizen, die ich habe, wird die folgende Gleichung leicht dargestellt, als ob es kristallklar wäre, warum sie auf diese Weise geschrieben wurde:

$n(x, t + \mathrm{d}t)\mathrm{d}x - n(x, t)\mathrm{d}x = - (J(x + \mathrm{d}x, t)\mathrm{d}t - J(x, t)\mathrm{d}t)$

oder (Multiplizieren des Minus in die Klammer)

$n(x, t + \mathrm{d}t)\mathrm{d}x - n(x, t)\mathrm{d}x = J(x, t)\mathrm{d}t - J(x + \mathrm{d}x, t)\mathrm{d}t$

Frage: Ich kann selbst nicht begründen, warum es sinnvoll ist, mit den Differenzialen zu multiplizieren, wie sie hier stehen. Was ist die Bedeutung bzw. der Gedankengang hinter dieser Gleichung?

Ich bin mir meiner eigenen Antwort nicht sicher, die darin besteht, nur die Dimensionen der beiden Funktionen selbst zu betrachten und dann zu schließen, welche Einheit der Faktor auf jeder Seite haben sollte, damit die Dimensionen sinnvoll sind.

Um die Ableitung zu vervollständigen, schreiben Sie die Gleichung um, indem Sie die Funktionen ersetzen$n(x, t + \mathrm{d}t)$Und$J(x + \mathrm{d}x, t)$mit ihrer Taylorentwicklung (nach erster Ordnung) ergibt

$n(x, t + \mathrm{d}t) = n(x, t) + \frac{\partial n}{\partial t}\mathrm{d}t$,

$J(x + \mathrm{d}x, t) = J(x, t) + \frac{\partial J}{\partial x}\mathrm{d}x$,

was, wenn es in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt wird, ergibt

$\frac{\partial n}{\partial t}\mathrm{d}t\mathrm{d}x = -\frac{\partial J}{\partial x}\mathrm{d}x\mathrm{d}t$

so entsteht wieder ein gemeinsamer Faktor ($\mathrm{d}t\mathrm{d}x$) auf beiden Seiten der Gleichung, die einfach weggeteilt werden können (richtig?), und wir enden mit der Kontinuitätsgleichung

$\frac{\partial n}{\partial t} = -\frac{\partial J}{\partial x}$

Ich hoffe, diese Frage ist sinnvoll oder ermöglicht es Ihnen zumindest, eine Bezeichnung für diese Art von Problem vorzuschlagen, die ich verwenden kann, um weitere Informationen zu finden, oder besser, um zu helfen, indem ich die Frage hier beantworte.

Beifall.