Diffusion über eine Grenzfläche und Massenerhaltung

Ich lese ein Kapitel in einem Buch über Physiologie ( Mathematische Physiologie, von Keener – Kapitel Atmung) über den Gasaustausch zwischen Kapillaren und Alveolen. Es scheint, dass dieser Gasaustausch nach einigen einfachen physikalischen Beziehungen modelliert werden kann. Da ich normalerweise nicht Physik studiere, verstehe ich einige Konzepte, die der Autor verwendet, um ein Erhaltungsgesetz abzuleiten, nicht vollständig und wäre für jede Hilfe dankbar.

Ich gebe jedoch zu, dass diese Frage möglicherweise nicht zum Thema gehört, da es sich eher um einen mathematischen Lapsus als um eine physikalische Frage handeln könnte.

Vorläufe

Zunächst weist der Autor darauf hin, dass es sich um ein Gas mit Partialdruck handelt$P_g$mit einer Flüssigkeit in Kontakt kommt, die stationäre Konzentration$U$Gas ist gegeben durch:

$$U = \sigma P_s$$

Wo$\sigma$ist die Löslichkeit des Gases in der Flüssigkeit. Ich nehme an, dass dies eine bestimmte Version von Henrys Gesetz ist.

Dann erklärt es, ob es einen Unterschied zwischen dem Partialdruck des Gases ($P_g$) und dem Partialdruck auf die Flüssigkeit ($\frac{U}{\sigma}$), dann sollte es einen gewissen Fluss zwischen dem Gas und der Flüssigkeit geben, und das einfachste Modell wäre anzunehmen, dass dieser Fluss linear proportional zur Druckdifferenz ist:

$$q = D_s \left(P_g - \frac{U}{\sigma}\right)$$

Problem

Der Autor betrachtet dann ein Segment einer Kapillare (einer zylindrischen Röhre) der Länge$L$, konstante Querschnittsfläche$A$und Umkreis$p$, also in Kontakt mit einem Gas mit Partialdruck$P_g$. Die Flüssigkeit bewegt sich mit einer Geschwindigkeit durch das Rohr$v(x)$. Schließlich sagen sie, dass, da die Masse erhalten bleibt:

$$\frac{d}{dt} \left( A \int_{0}^{L} U(x,t) dt \right) = v(0)AU(0,t) - v(L)AU(L,t) + p \int_{0}^{L} q(x,t) dx$$

Frage

Wie wird die folgende Beziehung hergeleitet?

ich verstehe das$A \int_{0}^{L} U(x,t) dt$ist tatsächlich die Gesamtmenge des gelösten Gases in der Röhre zu einem bestimmten Zeitpunkt. Ich verstehe auch wie$\int_{0}^{L} q(x,t) dx$stellt den gesamten Gasfluss über die gesamte Kapillarwand dar. Ich sehe jedoch nicht, was die beiden ersten Elemente der rechten Hand darstellen und warum die linke Seite in Bezug darauf abgeleitet wird$t$.