Welches Produkt wird in der Dirac-Gleichung verwendet?

Question

Welches Produkt wird in der Dirac-Gleichung verwendet?

Physik
Dirac-Gleichung
Matrix-Elemente
Quantenmechanik
Quantenfeldtheorie

Nabaneet Sharma

Ich habe gerade erfahren, dass der Dirac-Hamiltonian in der Dirac-Gleichung gegeben ist durch $H = c\alpha \cdot \overrightarrow{p} + \beta mc^2$ Und $\alpha$ ist ein 4 X 4 dargestellt als $\begin{bmatrix} 0 & \sigma \\ \sigma & 0 \end{bmatrix}$ bei dem die $\sigma$ s sind Pauli-Spin-Matrizen. Wir wissen das $\overrightarrow{p} = -i\hslash \nabla$ ist ein 3-Vektor/Operator. Ich verstehe dieses Produkt zwischen einer 4X4-Matrix und einem 3-Vektor nicht.

AccidentalFourierTransform

verwandtes/mögliches Duplikat: physical.stackexchange.com/q/257175/84967

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Thomas Fritsch · Answer 1

Sie haben den Vektorpfeil verpasst $\vec{\alpha}$ . So $\vec{\alpha}$ ist ein "Vektor" mit 3 Komponenten ( $\alpha_x,\alpha_y,\alpha_z$ }. Und jeder dieser 3 ist ein $4\times 4$ Matrix.

Oder expliziter:

a_{X} = (\begin{matrix} 0 & σ_{X} \\ σ_{X} & 0 \end{matrix})

$\alpha_x=\begin{pmatrix} 0 & \sigma_x \\ \sigma_x & 0 \end{pmatrix}$

a_{j} = (\begin{matrix} 0 & σ_{j} \\ σ_{j} & 0 \end{matrix})

$\alpha_y=\begin{pmatrix} 0 & \sigma_y \\ \sigma_y & 0 \end{pmatrix}$

a_{z} = (\begin{matrix} 0 & σ_{z} \\ σ_{z} & 0 \end{matrix})

$\alpha_z=\begin{pmatrix} 0 & \sigma_z \\ \sigma_z & 0 \end{pmatrix}$

Der Dirac Hamiltonian

H = C \vec{a} \cdot \vec{P} + β M C^{2}

$H=c\vec{\alpha}\cdot\vec{p}+\beta mc^2$ ist eine Kurzschreibweise für

H = C (a_{X} P_{X} + a_{j} P_{j} + a_{z} P_{z}) + β M C^{2}

$H=c(\alpha_x p_x+\alpha_y p_y+\alpha_z p_z)+\beta mc^2$

Der Hamiltonoperator ist also a $4\times 4$ Matrix, in der jede ihrer Komponenten ein Differentialoperator ist. Sie können dieses Ding auf a anwenden $4$ -Komponenten-Spinorfeld

(\begin{matrix} ψ_{1} (\vec{R}, T) \\ ψ_{2} (\vec{R}, T) \\ ψ_{3} (\vec{R}, T) \\ ψ_{4} (\vec{R}, T) \end{matrix})

$\begin{pmatrix} \psi_1(\vec{r},t) \\ \psi_2(\vec{r},t) \\ \psi_3(\vec{r},t) \\ \psi_4(\vec{r},t) \end{pmatrix}$ einen anderen zu bekommen

4

$4$ -Komponenten-Spinorfeld.

Ja, ich habe das Vektorzeichen eigentlich nicht verwendet, weil mich die Vorstellung, dass ein Vektor Matrizen als Komponenten hat, störte ;p. Ich verstehe, dass es kein Drei-Vektor ist. Wirken die Ableitungen in den Impulsoperatoren also nur einzeln in allen Komponenten des Spinors? Könnten Sie mir auch mit Ressourcen helfen, die mathematisch vollständiger sind, da mich die Notationen wirklich abschrecken? (Idk, wenn das Sinn macht)
@NabaneetSharma Ja, die räumlichen Ableitungen wirken gleichermaßen auf die einzelnen Spinorkomponenten.

ohneVal · Answer 2

In Kürze $\alpha$ ist ein Vektor von $4\times 4$ Matrizen, es wird besser mit bezeichnet $\vec{\alpha}$ vielleicht ist dann die Struktur deutlicher:

\vec{a} \cdot \vec{P} = a_{X} P_{X} + a_{j} P_{j} + a_{z} P_{z}

$\vec{\alpha} \cdot \vec{p} = \alpha_x p_x + \alpha_y p_y + \alpha_z p_z$

Wo

a_{ich} = (\begin{matrix} 0 & σ_{ich} \\ σ_{ich} & 0 \end{matrix})

$\alpha_{i} = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_{i} \\ \sigma_{i} & 0 \end{pmatrix}$ für

i \in {x, y, z}

$i\in \{x,y,z\}$

Am Ende des Tages haben Sie eine Größenmatrix $4\times 4$ wirkt auf Spinoren, wie die andere Antwort beschreibt.

Der vom OP angegebene Hamiltonian ist wahrscheinlich nicht die aufschlussreichste Version, da er die Lorentz-Invarianz der Dirac-Gleichung nicht anzeigt.

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Nabaneet Sharma

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