Wenn eine Kugel, die sich auf einem Stab dreht, eine andere Kugel trifft, was ist dann der erhaltene lineare oder Drehimpuls?

Betrachten Sie das folgende Diagramm:

Dies zeigt eine Masse$m$über einen Punkt hinausgehen$P$in einer geraden Linie. Beachten Sie, dass die Masse nicht verbunden ist$P$in irgendeiner Weise - es bewegt sich nur in einer geraden Linie vorbei.

Der Drehimpuls von$m$um$P$wird gegeben von:

$$\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v}$$

Also die Richtung$\vec{L}$ist normal zum Bildschirm und die Größe ist:

$$L = rmv \sin\theta \tag{1}$$

und da:

$$\sin\theta = \frac{d}{r}$$

Einsetzen in Gleichung (1) ergibt:

$$L = mvd \tag{2}$$

Beachten Sie, dass alles in Gleichung (2) eine Konstante ist, was uns das sagt$L$ist ebenfalls eine Konstante, sodass der Drehimpuls erhalten bleibt, obwohl dies auf den ersten Blick kein rotierendes System ist.

Und dies liefert die Antwort auf Ihre Frage. Obwohl in Ihrem zweiten Beispielball$B$an nichts anhaftet, hat es noch einen Drehimpuls und dieser Drehimpuls bleibt erhalten.

Antwort auf Kommentar:

Ihre Unterscheidung zwischen Drehimpuls und linearem Impuls ist künstlich. Wenn Sie sich meine obige Arbeit ansehen, hat das Teilchen offensichtlich einen linearen Impuls, aber auch einen Drehimpuls. Außerdem hängt der Wert des Drehimpulses davon ab, wo Sie den Punkt fixieren$P$es gibt also keinen eindeutigen Wert des Drehimpulses.

Wenn Sie einen Ball auf einer rotierenden Stange haben, bleibt die Richtung des linearen Impulses nicht erhalten, da eine Kraft wirkt (durch die Stange) und die Newtonschen Gesetze besagen, dass die Kraft die Änderungsrate des Impulses ist:

$$\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$$

Es gibt jedoch einen Satz (Satz von Noether), der uns sagt, dass der Drehimpuls erhalten bleibt, wenn die Kraft winkelunabhängig ist. Wenn wir also den Drehimpuls um den Drehpunkt berechnen, werden wir feststellen, dass diese Größe eine Konstante ist. Deshalb ist es nützlich für die Berechnung von Trajektorien.

Es ist jedoch falsch zu sagen, dass der lineare Impuls der an der Stange befestigten Kugel Null ist. Zu jeder Zeit der lineare Impuls der Kugel$A$Ist$\vec{p} = m\vec{v}$, aber die Richtung von$\vec{p}$(wenn auch nicht seine Größe) ändert sich kontinuierlich mit der Zeit aufgrund der von der Pleuelstange ausgeübten Kraft.

Zurück zu Ihrem Problem: Vor dem Stoß ist der lineare Impuls aus$A$ist mv, aber seine Richtung ändert sich ständig mit der Zeit. Allerdings ist der Drehimpuls wegen der Kraft konstant$A$ist zentral.

Bei der Kollision wirkt eine Kraft zwischen$A$Und$B$. Diese Kraft wirkt normal auf die Pleuel, dh es handelt sich nicht um eine zentrale Kraft, sodass die Drehimpulse nicht konstant sind. Wenn wir davon ausgehen, dass die Kollision einen Augenblick dauert, dann ist die einzige Kraft, die wirkt, die zwischen den beiden Kugeln, sodass der gesamte lineare Impuls erhalten bleibt. Vor dem Zusammenstoß$p_A = mv$Und$L_B = 0$. Nach der Kollision$p_A = 0$Und$p_B = mv$, also der Gesamtimpuls$p_A + p_B$wird konserviert.

Unmittelbar nach der Kollision$B$beginnt sich aufgrund der von seiner Pleuelstange ausgeübten Kraft um seinen Drehpunkt zu drehen. Die Kraft, die von seinem Stab ausgeübt wird, bedeutet die Richtung von$p_B$ändert sich jetzt mit der Zeit, seine Größe jedoch nicht. Der Drehimpuls$L_B$ist konstant, da die von der Stange ausgeübte Kraft zentral herum ist$B$.

Beachten Sie, dass es physikalisch immer noch absolut sinnvoll ist, zu rechnen$L_A$- es ist nur:

$$L_A = \vec{r}_A \times m\vec{v_B}$$

aber die Kraft auf$B$durch seinen Stab ist etwa nicht zentralsymmetrisch$A$, So$L_A$ist nicht konstant (und daher nicht sehr nützlich).

Wenn$B$nicht mit einem Drehpunkt verbunden ist, also geradlinig abfährt, dann wirken keine Kräfte auf$B$. Das bedeutet beides$\vec{p}_B$Und$\vec{L}_B$um einen beliebigen Punkt berechnet sind konstant.

Ball A hat einen linearen Impuls, der in Richtung seiner Flugbahn zeigt. Aber es wird nicht konserviert, weil eine Kraft darauf wirkt (Zentripetalkraft), die kein Gegenstück ist (es sei denn, Sie geben an, wo die Achse montiert ist, und lassen zu, dass sich die Halterung ebenfalls bewegt).

Beachten Sie, dass Sie B auch dann einen Drehimpuls zuschreiben können, wenn es sich nicht auf einer Kreisbahn bewegt (wie von John Rennie erklärt).