Werden Beobachter, die sich auf einer Kugel bewegen, eine Zeitdilatation erfahren?

Dies ist nur eine qualitative Antwort, denn eine richtige Behandlung wird mir viel Kopfzerbrechen bereiten, wenn ich es überhaupt schaffen könnte. Jedenfalls passiert das meiner Meinung nach.

Die Frage ist eine Variante des Zwillingsparadoxons. Irgendwann die Positionen zweier Raumschiffe,$u$Und$v$, zusammenfallen und an diesem Punkt stellen sie ihre Uhren so ein, dass sie dasselbe anzeigen. Wenn ihre Geschwindigkeiten (gemessen im Rahmen der Lichtquelle) ein vernünftiges Verhältnis haben, werden ihre Positionen irgendwann in der Zukunft wieder übereinstimmen und sie können Uhren vergleichen (die unterschiedlich sein werden). Während dieser Zeit müssen sich alle Beobachter auf die Anzahl der empfangenen Lichtimpulse einigen.

In Ermangelung einer signifikanten Menge an Masse ist die von der Lichtquelle gemessene Zeitdilatation auf den Schiffen einfach der übliche Faktor von$\gamma$das hängt von ihrer Geschwindigkeit ab, also sieht die Lichtquelle die Uhren auf den beiden Raumschiffen um unterschiedliche Beträge verlangsamt. Durch Symmetrie sehen die Beobachter auf den Schiffen jedoch die Uhr der Lichtquelle um die (zwei verschiedenen) Faktoren verlangsamt$\gamma$Das schnellere Schiff sieht also eine niedrigere Lichtimpulsfrequenz als das langsamere Schiff.

Das Problem ist, dass ein schnelleres Schiff die langsamere Lichtimpulsfrequenz sieht und weniger verstrichene Zeit zwischen den beiden Treffen aufzeichnet. Es muss also weniger Pulse gezählt haben als das langsamere Schiff. Wie lässt sich das mit der Forderung vereinbaren, dass alle Beobachter gleich viele Impulse zählen?

Die Lösung besteht darin, dass sich die Raumschiffe nicht in Trägheitsrahmen befinden. Wenn Sie zwei Trägheitsrahmen haben,$S$Und$S'$, die sich mit einer relativen Geschwindigkeit ungleich Null bewegen, dann ist es wahr, dass beide Frames Uhren im anderen Frame sehen, die um den gleichen Faktor von verlangsamt sind$\gamma$. Wenn Sie jedoch beschleunigen, ändern Sie ständig Trägheitsrahmen und das Symmetrie-Argument gilt nicht. Das sieht man am einfachen Beispiel der relativistischen Rakete . Die Zeitdilatation zwischen der beschleunigenden Rakete und dem statischen Beobachter ist nicht symmetrisch (was die Lösung des Zwillingsparadoxons ist).

Ich weiß nicht, wie ich die Zeitdilatation für ein Objekt in einer Kreisbewegung berechnen soll, daher kann ich keine quantitative Antwort geben. Qualitativ sehen die Raumschiffe, die die Lichtquelle umkreisen, jedoch, dass die Uhr der Lichtquelle schnell und nicht langsam läuft, und je schneller die Schiffe reisen, desto schneller werden sie sehen, wie die Uhr der Lichtquelle läuft.

Also in dem Beispiel, mit dem ich begonnen habe, zwischen ihren beiden Treffen das schneller fahrende Schiff$v$zeichnet weniger verstrichene Zeit auf als das sich langsamer bewegende Schiff$u$, aber es wird eine höhere Lichtimpulsfrequenz gemessen als$u$tut, und$u$misst wiederum eine höhere Impulsfrequenz als der statische Beobachter. Das Endergebnis ist, dass beide Schiffe und der statische Beobachter die gleiche Anzahl von Lichtimpulsen über den Zeitraum zwischen den Schiffstreffen zählen.

Antwort auf Kommentar:

Sie befürchten, dass es keine Zeitdilatation geben kann, weil die kreisenden Raumschiffe in Richtung der Lichtquelle eine Geschwindigkeit von Null haben. Dies ist nicht wahr, und Sie können dies sehr einfach aus dem Folgenden sehen:

Dieses Diagramm zeigt zwei Trägheitsrahmen$S$Und$S'$mit relativer Geschwindigkeit$v$. Die Lichtquelle$L$ist in$S$und die beiden Punkte$A$Und$B$sind in$S'$. Punkt ignorieren$B$für jetzt, dann$A$ist unterwegs$L$bei Geschwindigkeit$v$und die Zeitdilatation ist die übliche$\gamma$.

Aber$A$Und$B$sind stationär zueinander, daher ticken ihre Uhren gleich schnell. Also die Zeitdilatation für$B$ist das gleiche wie für$A$. Betrachten Sie nun den Moment, wann$A$Und$L$übereinstimmen. An dieser Stelle ist die Komponente von$B$'s Geschwindigkeit in Richtung von$L$ist Null. Allerdings wissen wir das$A$Und$B$Die Uhren von sind synchron, und das wissen wir$A$ist zeitgedehnt um$\gamma$wie gesehen von$L$, so lautet die Schlussfolgerung$B$Die Uhr von muss auch um zeitgedehnt werden$\gamma$wie gesehen von$L$.

In diesem Moment sieht mein Beispiel der beiden Frames wie Ihr Beispiel einer kreisförmigen Bewegung aus, wobei der Abstand zwischen$A$Und$B$,$r$, ist der Radius der Kreisbewegung und$B$ist die Position des Raumschiffs. Deshalb sieht die Lichtquelle die kreisenden Schiffe um einen Faktor von zeitgedehnt$\gamma$.

Ihr Aufbau ist wirklich eine Variante der relativistischen rotierenden Scheibe. Ungewöhnlicherweise hat Wikipedia keinen guten Artikel dazu, obwohl es einige Diskussionen darüber in den Artikeln über das Ehrenfest-Paradoxon und die Gravitationszeitdilatation gibt . Wenn Sie jedoch nach relativistischer rotierender Scheibe googeln, finden Sie viele Websites, die darüber diskutieren.

Sie schreiben: "Alle Beobachter würden zustimmen, dass das Licht alle 10 Sekunden einmal blinkt, egal wie schnell sie sind, solange sie sich auf der Hülle befinden."

Mit ihrer eigenen stationären Uhr würden sie das nicht tun, weil sich die Lichtquelle relativ zu ihnen bewegt. Jeder würde das Blinken des Lichts mit einer um einen Faktor langsameren Rate aufzeichnen$\gamma$