Widerspruch zwischen Rabi-Oszillation und Energieverschiebungen im AC-Stark-Effekt

Im Kern beschreiben Rabi-Oszillationen und Autler-Townes-Splitting genau dieselbe Situation, aber sie tun dies aus unterschiedlichen Perspektiven und verfolgen unterschiedliche Lösungen derselben Schrödinger-Gleichung. Wenn Sie Rabi-Oszillationen beschreiben, betrachten Sie das zeitabhängige Verhalten eines atomaren Eigenzustands, wenn Sie der Mischung einen Wechselwirkungs-Hamiltonian hinzufügen; Auf der anderen Seite betrachtet Autler-Townes dasselbe Problem und entscheidet, dass es sich nur um die Eigenzustände des gesamten Hamiltonian kümmert.

(Sie beschreiben auch grundlegend unterschiedliche Experimente in Bezug auf die Zeitskalen, die für Ihr Messgerät erforderlich sind, aber dazu komme ich später.)

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Allerdings hat die Erwähnung von augenblicklichen Eigenzuständen das Wasser etwas getrübt, also lassen Sie mich genauer untersuchen, was wir meinen, wenn wir in der Autler-Townes-Perspektive über Eigenzustände sprechen.

Nehmen wir als Ausgangspunkt den entsprechenden Abschnitt in Wikipedia , um zu versuchen, ihn zu entpacken:

In einem geeigneten rotierenden Rahmen und Annäherung an die rotierende Welle,$\hat {H}$reduziert zu

$$\hat {H}=-\hbar \Delta |e\rangle \langle e|+{\frac {\hbar \Omega}{2}}\bigg(|e\rangle \langle g|+|g\rangle \langle e|\bigg). \tag{$*$}$$ Wo $\Omega$ist die Rabi-Frequenz, und $|g\rangle ,|e\rangle$sind die stark gekoppelten bloßen Atomzustände. Die Energieeigenwerte sind $$E_{{\pm }}={\frac {-\hbar \Delta }{2}}\pm {\frac {\hbar {\sqrt {\Omega ^{2}+\Delta ^{2}}}}{2}}$$ und für kleine Verstimmungen, $$E_{{\pm }}\approx \pm {\frac {\hbar \Omega }{2}}.$$

Hier sieht alles legitim aus: Die Rotating-Wave-Approximation (RWA) ist im Allgemeinen ausreichend gerechtfertigt, und das sind tatsächlich die relevanten Eigenvektoren und Eigenwerte.

Der Haken kommt jedoch viel früher:

In einem geeigneten Drehrahmen,

Daher kann ein Großteil der Verwirrung kommen - im Wesentlichen von einer Verschiebung zu einem geeigneten Interaktionsbild. Dieses Setup bedeutet, dass, wenn Sie den Autler-Townes-Hamiltonian diagonalisieren$(*)$, Ihre Basiszustände kodieren bereits viele Zeitentwicklungsinformationen, weil relativ zu den statischen Eigenzuständen$|0\rangle$Und$|1\rangle$, die Basiszustände des rotierenden Rahmens sind gegeben durch

$$|g\rangle =|0\rangle \quad\text{and}\quad |e\rangle =e^{-i\omega t}|1\rangle$$ (wobei und dies wiederum bedeutet, dass die Eigenzustände $|\pm\rangle$des Drehrahmen-Hamiltons kann man sehen, dass die ordentliche Eigenschaft zufriedenstellend ist $\hat H|\pm\rangle = E_\pm |\pm\rangle = \hbar \omega_\pm|\pm\rangle$, aber auf einer viel fundamentaleren Ebene kodieren sie wirklich zwei linear unabhängige Lösungen der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung: $$\begin{align} e^{-i\omega_+ t}|+\rangle &= e^{-i\omega_+ t}\left(A_+|g\rangle + B_+|e\rangle\right) = A_+e^{-i\omega_+ t}|0\rangle + B_+e^{-i(\omega_+ +\omega) t}|1\rangle ,\quad\text{and}\\ e^{-i\omega_- t}|-\rangle &= e^{-i\omega_- t}\left(A_-|g\rangle + B_-|e\rangle\right) = A_+e^{-i\omega_- t}|0\rangle + B_-e^{-i(\omega_- +\omega) t}|1\rangle . \end{align}$$ Im rotierenden Rahmen vereinfachen sich diese zu sich entwickelnden Eigenzuständen, aber es ist wichtig zu bedenken, dass es sich, wenn man es von der ursprünglichen Basis aus betrachtet, eigentlich um ziemlich komplizierte Lösungen handelt.

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Nachdem wir das alles gesagt haben, können wir die ursprüngliche Basis jetzt irgendwie vergessen, weil der Rabi-Oszillations-Formalismus auch dazu neigt, von genau dem gleichen rotierenden Rahmen aus zu arbeiten, den ich oben entwickelt habe, also akzeptieren wir einfach die Tatsache$|e\rangle$enthält eine versteckte Zeitabhängigkeit als Einschränkung, und rollen Sie einfach damit.

Beide Probleme beziehen sich also auf den Hamiltonian

$$\hat {H}=-\hbar \Delta |e\rangle \langle e|+{\frac {\hbar \Omega}{2}}\bigg(|e\rangle \langle g|+|g\rangle \langle e|\bigg), \tag{$*$}$$ und jetzt können wir die Unterschiede zwischen ihnen ganz einfach darlegen: Der Rabi-Oszillations-Formalismus neigt dazu, nach Lösungen der Form zu suchen $$i\partial_t |\psi(t)\rangle = \hat H |\psi(t)\rangle, \quad \text{under }|\psi(0)\rangle = |g\rangle,$$ während Autler-Townes nur für löst $$\hat H|\pm\rangle = \hbar \omega_\pm|\pm\rangle.$$ Und weil sie sich im Wesentlichen nur durch einen Basiswechsel dahingehend unterscheiden, welches Lösungspaar sie verfolgen, kann man die Lösungen des Rabi-Problems offensichtlich als Superposition von Autler-Townes-Eigenzuständen ausdrücken, $$|\psi(t)\rangle = \frac{1}{A_+B_--A_-B_+}\bigg( e^{-i\omega_+t}B_-|+\rangle - e^{-i\omega_-t}B_+|-\rangle \bigg),$$ und als relative Phase $e^{-i(\omega_+-\omega_-)t}$zwischen diesen beiden Eigenzuständen entwickelt, $|\psi(t)\rangle$geht davon ab, dabei zu sein $|g\rangle$eine möglichst große Komponente dabei zu haben $|e\rangle$als $|+\rangle$tut.

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Wenn Sie nach Rabi-Oszillationen suchen, haben Sie in der Praxis normalerweise eine Möglichkeit, die Population auf atomarer Basis zu messen, und Sie benötigen normalerweise eine schnellere Zeitskala als die Rabi-Oszillation$\sqrt{\Delta^2+\Omega^2} \geq \Omega$.

Im Gegensatz dazu treten Autler-Townes-Verschiebungen normalerweise auf, wenn Sie das Absorptionsspektrum (oder ähnliches) messen, während Sie Übergänge von einem zusätzlichen Zustand untersuchen$|a\rangle$in einem anderen Spektralbereich, und dies erfordert normalerweise, dass die Länge der Sonde länger als die Rabi-Periode ist: Die Auflösung der Autler-Townes-Aufspaltung erfordert eine kleinere Frequenzauflösung als

$$\omega_+-\omega_- = \sqrt{\Delta^2+\Omega^2}$$ und dies ist nur möglich, wenn Ihre Sonde länger als die Rabi-Periode dauert. Wie Sie sehen können, beschreiben tatsächliche Beobachtungen von Autler-Townes-Aufspaltungen und von Rabi-Oszillationen grundlegend inkompatible Wege zur Messung der Wellenfunktion.

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OK, also endlich, und nur weil ich kann, werde ich hier einen schamlosen Hinweis auf die Tatsache einfügen, dass Autler-Townes-Splittings jetzt im Wesentlichen in Echtzeit messbar sind, wobei die Splittings erscheinen und verschwinden, wenn der Lichtimpuls stärker wird und dann abklingt, verglichen mit dem Puls, den Sie verwenden, um die Absorption zu beobachten, also können Sie jetzt daran denken, Dinge zu messen, die so aussehen,

wo Sie (eine numerische Simulation) die durch a induzierte Aufspaltung sehen$\lesssim 10$-Zykluslanger Nah-IR-Impuls, der von einem Breitband-Extrem-UV-Impuls untersucht wird, der viel kürzer ist als die Periode des IR (ja, das ist etwas, das Sie herstellen und messen können), das Scannen über eine Verzögerung zwischen den beiden Impulse.

Dies ist ein wachsendes Gebiet, das als transiente Attosekunden-Absorptionsspektroskopie bekannt ist, und wir können im Moment viel sagen und noch mehr, was wir in den kommenden Jahren darüber sagen können, wie Dinge wie Autler-Townes-Spaltung wachsen und entwickeln sich in den natürlichen Zeitskalen von Atomen.

Das Bild ist natürlich komplizierter (und zum Beispiel scheint es im Bild oben, dass die RWA es überhaupt nicht schneidet, selbst in Regimen, in denen die Aufteilung in den optischen Regimen (!) liegt), also verlasse ich es einfach für die weitere Lektüre des Papiers, aus dem diese Zahl stammt,

• Übertragung eines isolierten Attosekundenpulses in einem starkfeldgekleideten Atom AN Pfeiffer und SR Leone. Phys. Rev. A 85 , 053422 (2012) .

und ein zweites Papier in der gleichen Richtung,

• Zeitbereichsperspektive der Autler-Townes-Aufspaltung bei transienter Attosekunden-Absorption von laserbekleideten Heliumatomen. M Wu et al. Phys. Rev. A 88 , 043416 (2013) .

Beide Arten der Beschreibung sind gleichwertig und gleichermaßen gültig, aber eine kann in bestimmten Situationen bequemer sein. Man kann entweder Eigenfunktionen oder zeitunabhängig verwenden$H_0$oder Eigenfunktionen von zeitabhängig$H(t)$, da beide selbstadjungiert sind und einen vollständigen Satz von Eigenfunktionen haben. Die Wahl hängt normalerweise von der Frequenz des externen Feldes ab.

Pegelverschiebungen aufgrund eines externen Feldes werden berücksichtigt, wenn sich das externe Feld langsam genug ändert (z. B. Mikrowellenfrequenzen), dass man diese Pegelverschiebungen mit einer anderen Strahlung höherer Frequenz (optisch, UV) untersuchen kann.

Mathematisch wird dies durch die Tatsache unterstützt, dass, wenn keine andere externe Störung vorliegt, die$\psi$Funktion kann mit guter Genauigkeit als Summe ausgedrückt werden

$$\psi(t) = \sum_m a_m \Phi_m(t)$$ wo Koeffizienten $a_m$sind zeitlich konstant und $\Phi_m(t)$sind Eigenfunktionen des totalen Hamiltonoperators: $$H(t)\Phi_m(t) = E_m(t) \Phi_m(t).$$ Die Eigenwerte $E_m$Änderung der Zeit, die als Änderung der Energieniveaus beschrieben werden kann.

Ändert sich das äußere Feld zu schnell (Frequenz vergleichbar mit Resonanzfrequenz$(E_1-E_0)/\hbar$oder höher), die Annäherung an zeitunabhängig$a_m$ist nicht mehr genau und sowohl Eigenfunktionen als auch Koeffizienten ändern sich mit der Zeit. In einem solchen Fall ist es üblicher, das auszudrücken$\psi$funktionieren als

$$\psi(t) = \sum_m c_m(t) \Phi^{0}_m$$

Wo$\Phi^0_m$sind Eigenfunktionen des wichtigsten zeitunabhängigen Hamuiltonian:

$$H_0\Phi^0_m = E^0_m \Phi^0_m.$$ Dann sind sowohl Eigenfunktionen als auch Eigenwerte zeitlich fixiert und die Zeitunabhängigkeit kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit nur in den Koeffizienten beibehalten werden $c_m$.