Diese Antwort erklärt, wie das Problem so formuliert werden kann, dass die von Ihnen aufgeführten Auswirkungen natürlich und automatisch enthalten sind. Ich gehe von einer kugelsymmetrischen, nicht rotierenden Erde aus und ignoriere den Einfluss anderer Körper wie des Mondes. Ich werde zeigen, wie man die Gleichungen aufstellt und ihre prinzipielle Verwendung beschreibe, aber ich werde sie nicht lösen.

Punkte in der Raumzeit werden mit einem Koordinatensystem beschriftet$t,x,y,z$. Wir könnten die Bewegung der Rakete beschreiben, indem wir drei dieser Koordinaten als Funktionen der anderen ausdrücken, wie folgt:

$$x(t),\,y(t),\,z(t).$$ Ein allgemeinerer Ansatz besteht darin, alle vier Koordinaten als Funktionen eines Hilfsparameters anzugeben$s$, so was: $$t(s),\,x(s),\,y(s),\,z(s).$$ Dies definiert eine Weltlinie , eine Kurve in der Raumzeit, die die gesamte Geschichte der Rakete darstellt – wo sie war und wann sie dort war.

Die Koordinaten$t,x,y,z$sind nur praktische Bezeichnungen für Punkte in der Raumzeit. Die Zeit, die ein Passagier auf der Rakete tatsächlich erlebt, wird als Eigenzeit der Rakete bezeichnet $\tau$, was normalerweise nicht dasselbe ist wie$t$. Diese ganze Formulierung basiert auf der folgenden Gleichung, die sagt, wie die Eigenzeit ist$\tau(s)$an einem bestimmten Punkt$s$entlang der Weltlinie bezieht sich auf die Funktionen$t(s),x(s),y(s),z(s)$die die Weltlinie definieren:

$$\dot\tau^2=A(r)\dot t^2 - \frac{1}{A(r)}\dot r^2 - (\dot{\mathbf{x}}^2-\dot r^2)$$ mit $$A(r) = 1-\frac{\kappa}{r}.$$ Ein obenliegender Punkt bedeutet eine Ableitung in Bezug auf$s$, wie in$\dot \tau = d\tau/ds$. Die Abkürzungen $$\mathbf{x}=(x,y,z) \hskip1cm r = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \hskip1cm \dot{\mathbf{x}}^2 = \dot x^2+\dot y^2+\dot z^2$$ werden ebenfalls verwendet. Die Konstante$\kappa$Ist $$\kappa = \frac{2GM}{c^2},$$ Wo$G$ist Newtons Konstante,$M$ist die Masse der Erde, und$c$ist die Lichtgeschwindigkeit.
Diese Eigenzeitgleichung gilt für$r\geq R$, Wo$r=R$stellt die Erdoberfläche dar. Die Ungleichheit$R\gg\kappa$stellt sicher, dass die Nenner in der Eigenzeitgleichung außerhalb der Erde niemals Null sind. Innerhalb der Erde ist die Gleichung anders, aber wir werden sie hier nicht brauchen.

Diese Eigenzeitgleichung spezifiziert implizit das metrische Feld – die Geometrie der Raumzeit – außerhalb der Erde. Dieses spezielle metrische Feld wird Schwarzschild-Metrik genannt . Ich habe die Eigenzeitgleichung hier mit geschrieben$x,y,z$Koordinaten anstelle der traditionelleren "sphärischen" Koordinaten (die ironischerweise die sphärische Symmetrie verschleiern ). Die Art, wie ich es geschrieben habe, die Kombination$\dot{\mathbf{x}}^2-\dot r^2$entspricht dem üblichen "Winkelteil" der Metrik.

Angenommen, ein Sender ist irgendwo auf der Erdoberfläche befestigt, sagen wir bei$\mathbf{x}=(R,0,0)$. Dieser Sender ist ein Objekt mit eigener Weltlinie, als die wir parametrieren können$t(s)=s$Und$\mathbf{x}(s)=(R,0,0)$. Dies impliziert$\dot t = 1$Und$\dot{\mathbf{x}} = (0,0,0)$. Verwenden Sie diese in der Eigenzeitgleichung, um dieses Ergebnis für die Eigenzeit des Senders zu erhalten:

$$\dot\tau_T^2 = 1-\frac{\kappa}{R},$$ wo der Index$T$bedeutet "Sender". Die rechte Seite ist eine Konstante (unabhängig von$s$), das sagt das also$\tau_T$ist proportional zu$s$, die wiederum proportional zu ist$t$.

Bisher haben wir die Eigenzeit des Senders$\tau_T$, und wir wissen, wie man die Eigenzeit der Rakete bestimmt$\tau_R$an jedem Punkt$s$entlang der Weltlinie der Rakete, was auch immer diese Weltlinie sein mag. (Die einzige Einschränkung für die Weltlinie der Rakete besteht darin, dass die rechte Seite der Eigenzeitgleichung positiv sein muss, sodass die Weltlinie zeitähnlich ist .)

Die verbleibende Herausforderung besteht darin, Beziehungen aufzubauen$\tau_R$Zu$\tau_T$.

Wir können dies tun, indem wir Weltlinien verwenden, die die Reise des vom Sender ausgestrahlten Lichts darstellen. Wenn wir die Weltlinie jedes "Lichtstücks" kennen würden, das den Sender verlässt, könnten wir uns darauf beziehen$\tau_R$Zu$\tau_T$so: für einen bestimmten Punkt$t,x,y,z$Wählen Sie entlang der Weltlinie der Rakete die Weltlinie des Lichtstücks, die durch diesen Punkt und auch durch den Standort des Senders verläuft$\mathbf{x}=(R,0,0)$. Nur eine Weltlinie aus Licht kann dies tun, daher bestimmt dies den spezifischen Wert von$\tau_T$wann dieses "Lichtstück" den Sender verlassen haben muss, um an dem angegebenen Punkt entlang der Weltlinie der Rakete anzukommen . Auf diese Weise für jeden Wert der physikalischen Zeit der Rakete$\tau_R$können wir den Wert der physikalischen Zeit des Senders bestimmen$\tau_T$als dieses "Stück Licht" emittiert wurde. Mit anderen Worten, wir haben jetzt$\tau_T$als Funktion von$\tau_R$, geschrieben$\tau_T(\tau_R)$. Wenn das Signal den Sender verlässt$\sin(\omega\tau_T)$nach der Uhr des Senders, dann kommt das Signal bei der Rakete an

$$\sin\big(\omega\,\tau_T(\tau_R)\big)$$ nach der Raketenuhr, wobei dieser letzte Ausdruck als eine (wahrscheinlich komplizierte) Funktion von angesehen wird$\tau_R$. Dies ist der gesamte Doppler-Effekt , einschließlich des Effekts der Raketengeschwindigkeit, des Effekts der Raketenbeschleunigung und des Effekts der Erdanziehungskraft. Die Schlüsselbotschaft hier ist, dass wir diese nicht als separate Effekte betrachten sollten , und wir brauchen uns nicht zu fragen, ob diese Liste separater Effekte vollständig ist, weil wir natürlich die vollständige Antwort in einem einzigen, ordentlichen Paket abgeleitet haben.

Eine letzte Sache müssen wir noch ansprechen: Woher wissen wir, welche Weltlinien die Reise eines "Lichtstücks" darstellen? Unter Verwendung des in Abschnitt 3.19 von Allgemeine Relativitätstheorie: Eine Einführung für Physiker beschriebenen Prinzips können wir das folgende Ergebnis ableiten, indem wir von derselben Eigenzeitgleichung ausgehen, die oben hervorgehoben wurde. Das Ergebnis besagt, dass die Weltlinie jedes Objekts im freien Fall , egal ob das Objekt ein "Stück Licht" oder eine Rakete mit abgeschaltetem Motor ist, ein Gleichungspaar erfüllt, das wie folgt aussieht:

$$\ddot{\mathbf{x}}=-\frac{\kappa}{2}\,\frac{\mathbf{x}}{r^3} \big(b + 3(\dot{\mathbf{x}}^2 - \dot r^2)\big) \hskip1cm \left(1-\frac{\kappa}{r}\right)\dot t = \text{constant},$$ Wo$b\geq 0$ist eine Konstante, die davon abhängt, wie die Weltlinie parametrisiert ist. (Diese Gleichungen gelten für jede affine Parametrisierung .) Um ein "Stück Licht" darzustellen, einfach setzen$b=0$. Ich werde die Herleitung dieser Freifallgleichungen hier nicht zeigen, da dies die Länge dieses ohnehin schon langen Beitrags verdoppeln würde.

Definitionen

Beginnen wir mit Definitionen, da es viele Begriffe/Symbole gibt, die von niemandem außerhalb der GPS- Timing-Community häufig verwendet werden. Die meisten dieser Anmerkungen und Kommentare stammen von Ashby [2003] und Zhang et al. [2006].

• Empfänger$\equiv$Station empfängt Signal vom Sender des Raumfahrzeugs (tiefgestelltes r)
• Satellit$\equiv$Objekt im Orbit, das ein Signal sendet (tiefgestelltes oder hochgestelltes s)
• Los$\equiv$Sichtlinie
• J ₂ = 1,0826300 × 10 ^–3 $\equiv$Die zweite zonale Harmonische der Erde .
• $P_{2}(x) = \tfrac{1}{2} \left( 3 x^{2} - 1 \right)$ $\equiv$ Legendre Polynom zweiten Grades
• ae = _6378,137 km$\equiv$große Halbachse des Ellipsoids des World Geodetic System
• eine _Kugel $\equiv$große Halbachse der Satellitenumlaufbahn
• B$\equiv$Breitengrad des Empfängers
• || r ||$\equiv$Entfernung vom Erdmittelpunkt zum Empfänger
• GM = 3,986004418 × 10 ¹⁴ m ³ s ^–2 $\equiv$Produkt aus Erdmasse mal Newtonscher Gravitationskonstante
• $\Phi_{o}/c^{2}$= 6,969290134 x 10 ^-10 $\equiv$Potenzial des Geoids (siehe IERS-Referenz-PDF )
• U _r $\equiv$Newtonsches Gravitationspotential (nur Massenanziehung) am Ort des Empfängers (siehe Gleichung 1 unten)
• Uns ^_ $\equiv$Newtonsches Gravitationspotential (nur Massenanziehung) am Satellitenstandort (okay, Erde wie Punktmasse behandeln)
• $\mathbf{v}_{r}$ $\equiv$Geschwindigkeit des Empfängers relativ zur Empfänger-zu-Satelliten-LOS
• $\mathbf{v}^{s}$ $\equiv$Geschwindigkeit des Satelliten relativ zur Empfänger-zu-Satelliten-LOS
• $\mathbf{n}_{r}^{s}$ $\equiv$LOS-Einheitsvektor vom Empfänger zum Satelliten
• $f_{o}$ $\equiv$nominelle Signalfrequenz vom Satelliten
• $f_{r}$ $\equiv$Signalfrequenz am Empfänger vom Satelliten

Doppler-Effekte

Zuerst definieren wir das Gravitationspotential am Empfänger, gegeben durch:

$$U_{r} = - \frac{ G M }{ \lVert \mathbf{r} \rVert } \left[ 1 - \left( \frac{ a_{e} }{ \lVert \mathbf{r} \rVert } \right)^{2} \ J_{2} \ P_{2}\left( \sin{B} \right) \right] \tag{1}$$

Jetzt können wir die von einem umlaufenden Satelliten empfangene Frequenz definieren als:

$$f_{r} = f_{o} \left[ 1 + \frac{ - U_{r} + v_{r}^{2}/2 + \Phi_{o} + 2 G M/a_{orb} + 2 \ U^{s} }{ c^{2} } \right] \ \left[ \frac{ 1 - \left( \mathbf{n}_{r}^{s} \cdot \mathbf{v}_{r} \right)/c }{ 1 - \left( \mathbf{n}_{r}^{s} \cdot \mathbf{v}^{s} \right)/c } \right] \tag{2}$$

Technisch gesehen befindet sich dies in einem nicht inertialen Referenzrahmen und der$v_{r}^{2}/2$muss Zentrifugaleffekte beinhalten, sodass Gleichung 2 lautet:

$$f_{r} = f_{o} \left[ 1 + \frac{ - U_{r} + \left(\omega^{2} \ \cos^{2}{B} \ \lVert \mathbf{v}_{r} \rVert^{2}\right)/2 + \Phi_{o} + 2 G M \left(a_{orb}^{-1} - \lVert \mathbf{r}^{s} \rVert^{-1} \right) }{ c^{2} } \right] \ \left[ \frac{ 1 - \left( \mathbf{n}_{r}^{s} \cdot \mathbf{v}_{r} \right)/c }{ 1 - \left( \mathbf{n}_{r}^{s} \cdot \mathbf{v}^{s} \right)/c } \right] \tag{3}$$ Wo$\omega$ist die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation.

Vorbehalte

Es gibt andere Fehler, die ins Spiel kommen, wie der Nicht-Vakuum-Brechungsindex der Magnetosphäre , Ionosphäre und Atmosphäre zwischen Satellit und Empfänger. Es gibt auch Fehler/Unsicherheiten sowohl in der Satelliten- als auch in der Empfängeruhr [z. B. Ashby , 2003; Zhanget al. , 2006].

Verweise

• Ashby, N. „Relativity in the Global Positioning System“, Living Rev. Relativity 6 , 2003, Online-Artikel, https://link.springer.com/article/10.12942/lrr-2003-1 . Zugriff am 26.10.2018
• Zhang, J., et al. , „On the Relativistic Doppler Effect for Precise Velocity Determination using GPS“, J. Geodesy 80 , S. 104–110, 2006.