Relativistische Doppler-Effekt-Ableitung

Sie können die relativistische Dopplerverschiebung aus den Lorentz-Transformationen ableiten. Beginnen wir im Rahmen der sich bewegenden Rakete und nehmen wir zwei Ereignisse, die Knoten in der emittierten Welle entsprechen (dh 1/$f$). Dann sind im Rahmen der Rakete die beiden Ereignisse (0, 0) und ($\tau$, 0), wo$\tau$ist die Periode der abgestrahlten Welle. Um zu sehen, welche Periode die Strahlung in unserem Koordinatensystem hat, müssen wir nur die Lorentz-Transformationen verwenden, um diese beiden Raumzeitpunkte in unser Koordinatensystem zu transformieren.

Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass unser Ruherahmen und der Rahmen der Rakete zusammenfallen$t = 0$. Dies ist praktisch, da dann das erste Ereignis in beiden Frames nur (0, 0) ist. Nun sagen uns die Lorentz-Transformationen :

Wenn wir uns vom Rahmen der Rakete zu unserem transformieren und die Rakete sich mit Geschwindigkeit bewegt$v$Was uns betrifft, dann müssen wir die Geschwindigkeit als eingeben$-v$, und wir transformieren den Punkt ($\tau$, 0). Wenn wir diese in die Lorentz-Transformationen einsetzen, finden wir, dass der Punkt ($\tau$, 0) im Rahmen der Rakete verwandelt sich in den Punkt ($\gamma \tau$,$\gamma v \tau$) in unserem Rahmen.

Der letzte Schritt besteht darin, zu beachten, dass, wenn wir am Ursprung in unserem Rahmen sitzen, das Licht des Ereignisses bei ($\gamma \tau$,$\gamma v \tau$) dauert seine Zeit$\gamma v \tau/c$um uns zu erreichen. Die Zeit, in der wir das zweite Ereignis sehen, ist also$\gamma \tau + \gamma v \tau/c$und dies ist gleich der Strahlungsdauer,$\tau'$in unserem Rahmen:

Wir müssen dies nur neu anordnen, um die übliche Formel zu erhalten. Bemerken, dass$f'$= 1/$\tau'$Und$f$= 1/$\tau$wir nehmen den Kehrwert beider Seiten und erhalten:

Um dies zu vereinfachen, beachten Sie Folgendes:

und ersetzen dies wieder in unserem Ausdruck für$f'$wir bekommen:

und schwupps ist es bewiesen!

Noch ein anderer Weg. Stellen Sie sich eine Welle einer Form vor$f(kx-\omega t)$im emittierenden Rahmen, beobachtet als eine andere Welle$f^{\prime} (k^{\prime} x^{\prime}-\omega^{\prime} t^{\prime})$in einem sich bewegenden Rahmen$v$entlang der x-Achse.

Was ist uns eigentlich egal$f^{\prime}$ist, zählt nur das Argument der Funktion. Verwenden Sie also die Lorentz-Transformationen$^{*}$wechseln$x$Und$t$Zu$x^{\prime}$Und$t^{\prime}$.

Daher$k^{\prime} = \gamma(1+v/c)k$Und$\omega^{\prime} = \gamma(1+v/c)\omega$.

Dies gibt Ihnen sofort die Dopplerverschiebungsformel für die Frequenz ($\omega^{\prime}/\omega$) und Wellenlänge ($\lambda^{\prime}/\lambda = k/k^{\prime}$).

Für eine Quelle, die sich schnell vom Beobachter entfernt$u$dann wäre die zu verwendende Geschwindigkeit einfach$v =-u$in den obigen Formeln.

$^{*}$Welche sind das natürlich

Was mich betrifft, gibt es keine Annahme, dass Sie (wie bei der klassischen Dopplerverschiebung) eine gewisse Geschwindigkeit erreichen können$c+u$. Die Lichtgeschwindigkeit sollte in jedem Referenzrahmen konstant sein (dh streng genommen keine anderen Informationen zwischen Beobachtern als EM-Wellen). Wenn Sie in diesem Fall ein Raumzeitdiagramm zeichnen, wird die$c+u$wird nicht im 45-Grad zwischen räumlich sein$x$und Zeit$ct$Achse. Im Fall des relativistischen Dopplereffekts verwenden wir Licht, um Uhren zu synchronisieren, indem wir es zwischen Trägheitsbeobachtern übertragen.

Aber Sie sagen, dass sie die Zeitspanne relativistisch transformieren. Sie verwenden keine direkten Geschwindigkeiten$c+u$, stattdessen hätten sie davon ausgehen sollen, dass die Kämme über eine Distanz verschoben sind$(c+v)T_0$, wird der Zeitraum auf einen gewissen Wert erweitert, um für$c$( gleichzeitig ) konstant bleiben . Es ist völlig in Ordnung, eine solche Annahme zu verwenden ...

Im Grunde kann die relativistische Dopplerverschiebung leicht unter Verwendung von Raumzeitdiagrammen abgeleitet werden (ähnlich wie John, aber das wurde mir von einem Typen beigebracht, bevor ich mich mit Lorentz-Transformationen beschäftigte). Es sieht cool aus...

Hier ist eine grobe Raumzeitfigur . Es gibt zwei Beobachter$\mathrm{A}$(in Ruhe) und$\mathrm{B}$(bei einer Relativbewegung$v$). Nach einiger Zeit,$\mathrm{A}$schießt einen Lichtimpuls zu$\mathrm{B}$und es kehrt gleichzeitig zurück. Die Trägheitsbeobachter synchronisieren also auf diese Weise ihre Uhren. Wenn$T$ist die Zeit für$\mathrm{A}$, Dann$T_B=kT$($k$ist ein Faktor). Nachdem wir mehrere Dinge aus dem Diagramm gesteckt haben, kommen wir an eine Stelle, an der der Abstand zwischen$\mathrm{A}$Und$\mathrm{B}$zum Zeitpunkt der Synchronisation wäre,

Wenn wir beide gleichsetzen, erhalten wir einfach

Wir haben also den Faktor gefunden, um den beides geht$T$Und$T_B$sind verwandt. Ihre Frequenz ist einfach das Inverse ihrer Zeitdauer. Daher das Licht, das von emittiert wird$\mathrm{A}$ist rotverschoben um$1/k$und die beobachtete Frequenz ist

Weder Ursprünge noch Sender noch Empfänger sind erforderlich: Betrachten Sie ein Photon mit Impuls$\vec{p}$: es hat 4-veclocity$p_{\mu}=(||p||/c, \vec{p})$. Um zu berechnen, worauf sich ein anderer Beobachter bewegt$\vec{v}$sieht, führe eine Lorentz-Transformation durch:$p'_{\mu} = \Lambda_{\mu}^{\ \nu}p_{\nu}$. Daraus erhalten Sie den relativistischen (zeitgedehnten) Doppler-Effekt und stellare Aberrationen.