Wie berechnet man das Delta-v, das für einen suborbitalen "Transfer" von Eis vom Pol des Mars zum Äquator erforderlich ist?

Gegebener Trennwinkel$θ$, Körpermasse$M$und Körperradius$r$, bevor wir Delta-V finden, müssen wir die Hauptachse der Ellipse finden - oder genauer gesagt, die Hälfte ihrer Länge (Entfernung vom Mittelpunkt der Ellipse zum äußersten Punkt):

$a = {(1+\sin{θ \over 2}) }{r\over2 }$

Angesichts dessen ist Delta-V durch die folgende Gleichung gegeben:

$\Delta v = \sqrt {G M ({2 \over r} - { 1\over a})}$

Der Start sollte schräg erfolgen$\alpha$:

$\alpha ={{\pi-θ}\over 4 }$

Verdoppeln Sie für eine angetriebene Landung die Delta-V-Anforderungen.

Gutschrift geht an Hops Blog - Travel on airless worlds . Der Artikel enthält die Ableitung der obigen Gleichungen und einen Link zu einer hilfreichen Tabelle , in der Sie die Sprungparameter für jeden Himmelskörper und jeden gewählten Trennungswinkel berechnen können:

Für die Reise vom Pol zum Äquator (90 Grad Trennungswinkel) auf dem Mars würde das Start-Delta-V 3228 m/s betragen. Der Start würde optimal bei 22,5 Grad durchgeführt werden.

Die nächste Lösung, die ich finden kann, stammt aus Hales (1994) Introduction to Spaceflight, in dem Kapitel 9 Entfernungsgleichungen für solche ballistischen Körper diskutiert. Er leitet eine Gleichung ab

wo

ist eine dimensionslose Größe, die ungefähr das Doppelte des Verhältnisses von kinetischer zu potentieller Energie am Ausbrennpunkt misst (Index „bo“).$\mu$ist der Standard-Gravitationsparameter und$\Psi$ist der Entfernungswinkel und$\phi_{bo}$ist der Startwinkel.

Was Sie wollen, ist zu haben$\Phi=90^0$und$r_{bo}=$dem Radius des Mars, unter der Annahme eines Impulsstoßes auf die Oberfläche des Planeten. Dann können Sie mit der Burnout-Geschwindigkeit und dem Startwinkel spielen, bis Sie eine praktikable Lösung erhalten. Beachten Sie, dass, obwohl viele Startwinkel eine Burnout-Geschwindigkeit ergeben, nicht alle. Trotzdem sind einige der Lösungen nicht durchführbar, weil sie zum Beispiel darauf angewiesen sein können, dass die Umlaufbahn durch das Innere des Planeten verläuft.

Denken Sie daran, dass diese Gleichung auf vielen vereinfachenden Annahmen basiert: nicht rotierende Erde, keine Atmosphäre, ein kugelförmiger Planet, symmetrische Flugbahn und eine unbedeutende Reichweite des freien Falls.

Die Antwort von @SF. basierend auf Hops Blogchecks!

Hier ist eine numerische Überprüfung. Es ist nicht schön, aber die Fortsetzung der Umlaufbahnen (gezeigt für Mars und Erde ) für 55% ihrer Periode schneidet sich schön 90 Grad vom Startpunkt entfernt, yay!

body    a(km)   dv(m/s)  alpha(deg)
-----   -----   -------  ----------
Earth   5438     7199      22.5
Mars    2893     3235      22.5

def deriv(X, t):

    x, v = X.reshape(2, -1)
    acc  = -GM * x * ((x**2).sum())**-1.5

    return np.hstack((v, acc))

def Hops_hop(theta, R, GM):

    a = (1. + np.sin(0.5*theta)) * 0.5 * R

    dv = np.sqrt(GM * (2./R - 1./a))

    alpha = 0.25 * (pi - theta)

    return a, dv, alpha

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint as ODEint
import matplotlib.pyplot as plt

halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in (0.5, 1, 2)]

# standard gravitational parameter
GMe = 3.986E+14  # m^3/s^2
GMm = 4.283E+13  # m^3/s^2

Re  = 6371000.    # meters
Rm  = 3389500.    # meters

pairs = (Re, GMe), (Rm, GMm)

theta = halfpi  # 90 degrees

answers = []
for R, GM in pairs:

    a, dv, alpha = Hops_hop(theta, R, GM)

    T    = twopi * np.sqrt(a**3/GM)
    time = np.linspace(0, 0.55*T, 500)

    x0 = R  * np.array([ np.sin(0.5*theta),  np.cos(0.5*theta)])
    v0 = dv * np.array([ np.cos(alpha),     -np.sin(alpha)    ])
    X0 = np.hstack((x0, v0))

    answer, info = ODEint(deriv, X0, time, full_output=True)

    answers.append(answer)

theta = np.linspace(0, twopi, 361)
unit_circle = [f(theta) for f in (np.cos, np.sin)]
sqrt2       = np.sqrt(2.)

if True:
    plt.figure()
    for answer, (R, GM) in zip(answers, pairs):
        x, y = answer.T[:2]
        plt.plot(x, y)
        plt.plot(x[:1], y[:1], 'ok')
    for answer, (R, GM) in zip(answers, pairs):
        x, y = [R*thing for thing in unit_circle]
        plt.plot(x, y, '-k')
    plt.plot([0, Re/sqrt2], [0,  Re/sqrt2], '-k')
    plt.plot([0, Re/sqrt2], [0, -Re/sqrt2], '-k')
    plt.show()