Wie berechnet man den Erwartungswert ⟨x2⟩⟨x2⟩\langle x^2 \rangle in der Quantenmechanik?

⟨ X 2 ⟩ = ∫ − ∞ ∞ X 2 | ψ ( X ) | 2 D X

Was ist die Bedeutung von | ψ ( X ) | 2 ? Bedeutet das nur, dass man die Wellenfunktion mit sich selbst multiplizieren muss?

Antworten (4)

Allgemein, ψ wird eine komplexwertige Funktion sein. Und so | ψ ( X ) | 2 wird nicht gleich sein ψ ( X ) 2 aber es ist ψ ( X ) , multipliziert mit seinem komplexen Konjugat: | ψ ( X ) | 2 = ψ ( X ) ∗ ψ ( X ) .

Zu Ihrer anderen Frage, der Bedeutung von | ψ ( X ) | 2 ist die einer Wahrscheinlichkeitsdichte, mit [ | ψ ( X ) | 2 D X ] gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass das Teilchen dazwischen gefunden wird X Und X + D X .

In der Quantenmechanik wird die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Teilchen in einem bestimmten Zustand befindet, durch eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion beschrieben ρ ( X , T ) .

Angenommen, mein System ist ein 6-seitiger Würfel. Dann ist der Erwartungswert für einen gegebenen Wurf

E v = 1 6 1 + 1 6 2 + 1 6 3 + 1 6 4 + 1 6 5 + 1 6 6 = 3.5

Ebenso der Erwartungswert für einen gegebenen Parameter X eines Teilchens in der Quantenmechanik ist

⟨ X ⟩ = ∫ − ∞ ∞ X ρ ( X , T ) D X

Beachten Sie, dass wir in der Quantenmechanik nicht nur die Zustände haben, sondern auch ihre Überlagerungen. Noch ρ ( X , T ) enthält keine Informationen über diese Überlagerungen, sondern nur beobachtbare Zustände. Daher brauchen wir etwas Grundlegenderes, das Informationen über Überlagerungen enthält. Das ist, was ψ ist für und warum ψ ( X , T ) ∈ C . Nach der Born-Regel (ein Axiom)

ψ ( X , T ) ∗ ψ ( X , T ) = ρ ( X , T )
Kurz gesagt, wir müssen das "Quadrat" der Wellenfunktion verwenden, weil es uns gibt ρ ( X , T ) und erlaubt uns, Erwartungswerte zu berechnen.

Du behauptest ρ spricht von "beobachtbaren Zuständen", aber das ist nicht ganz richtig. Stellen Sie sich zum Beispiel eine Welle vor, die sich nach links ausbreitet, und eine Welle mit genau der gleichen Form, die sich nach rechts ausbreitet. Der einzige Unterschied besteht in ihrer Phase ( e ich k X vs. e − ich k X ), die sich in aufhebt ρ , So ρ kann sie nicht unterscheiden. Dennoch können wir die Impulse ganz gut beobachten.
Es ist wahr, dass ρ wirft Informationen aus. Aber es ist nicht einfach eine "Überlagerungs"-Information, es ist etwas anderes und etwas schlimmeres.
Welche Informationen wirft es aus?
Es wirft die Phaseninformationen aus. Die Phase sagt Ihnen nicht nur, wie sich Wellenfunktionen überlagern; es sagt Ihnen auch, in welche Richtung sich das Teilchen bewegt.

ψ kann als komplexer Spaltenvektor mit unendlich vielen Einträgen betrachtet werden, die von der Variablen indiziert werden X . Eintritt um X te Position ist als bezeichnet ψ ( X ) . | ψ ( X ) | 2 ist dann Modusquadrat des Eintrags at X te Stelle. Der Ausdruck ∫ − ∞ ∞ X 2 | ψ ( X ) | 2 D X kann heuristisch verstanden werden als:

[ ∗ , ∗ , ψ ( X ) ¯ , ∗ , ∗ ] [ ∗ 0 0 0 0 0 ∗ 0 0 0 0 0 X 2 0 0 0 0 0 ∗ 0 0 0 0 0 ∗ ] [ ∗ ∗ ψ ( X ) ∗ ∗ ]

Wo [ ∗ , ∗ , ψ ( X ) ¯ , ∗ , ∗ ] ist ein unendlich dimensionaler Zeilenvektor, der transponiert konjugiert des Spaltenvektors ist ψ ; Und in der Mitte haben wir eine unendlich dimensionale Diagonalmatrix, deren ( X , X ) Eintrag ist X 2 . Dies gilt im Allgemeinen für QM. Beliebig beobachtbar A kann als hermitische Matrix geschrieben werden, die auf den Raum der Spaltenvektoren (den Zustandsraum) und ihren Erwartungswert für einen gegebenen Spaltenvektor wirkt ψ ist definiert als ⟨ A ⟩ ψ = ψ † A ψ = ∑ ich , J ψ ich ¯ A ich J ψ J . In diesem unendlichdimensionalen Fall wird wie oben die Summe durch ein Integral über die kontinuierlichen Indizes ersetzt.

Wie berechnet man den Erwartungswert ⟨x2⟩⟨x2⟩\langle x^2 \rangle in der Quantenmechanik?
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