Wie bestimmt man die Masse eines Schwarzen Lochs?

Sie können die Masse eines zentralen Gravitationskörpers auf ähnliche Weise wie Camerons Antwort berechnen, aber es ist etwas komplizierter. Für Situationen, in denen ein Objekt viel massiver ist als das andere:

Das Newtonsche Gravitationsgesetz besagt, dass die Gravitationskraft zwischen zwei Objekten liegt

$$F_\text{grav} = \frac{GMm}{r^2}$$

wo$G$ist eine universelle Konstante,$M$ist die zentrale Masse,$m$ist die umlaufende Masse, und$r$ist der Abstand zwischen ihnen.

Aus der Newtonschen Mechanik wissen wir, dass die Kraft, die erforderlich ist, um ein Objekt auf einer kreisförmigen Bahn zu halten (AKA Zentripetalkraft), ist

$$F_\text{cent} = \frac{mv^2}{r}$$

wo$m$ist wieder die umlaufende Masse,$v$ist seine Geschwindigkeit, und$r$ist der Radius des Kreises.

Alle Buchstaben in den beiden Szenarien stimmen überein, und da die Schwerkraft die Zentripetalkraft ist, setzen wir sie einfach gleich:

$$F_\text{grav} = F_\text{cent} \\ \frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$$

Ordnen Sie neu und wir bekommen

$$M = \frac{v^2r}{G}$$

Wenn wir nun die Sonne und die Erde mit dem Schwarzen Loch und seinem Satelliten vergleichen wollen,

$$M_\text{sun} = \frac{v_\text{Earth}^2*r_\text{Earth}}{G} M_\text{BH} = \frac{v_\text{sat}^2r_\text{sat}}{G}$$ wenn wir das eine durch das andere teilen, erhalten wir

$$\frac{M_\text{BH}}{M_\text{sun}}=\left(\frac{v_\text{sat}}{v_\text{Earth}}\right)^2\left(\frac{r_\text{sat}}{r_\text{Earth}}\right)$$

PRAKTISCHER ABER

Anstelle der Newtonschen Mechanik wird häufiger Keplers drittes Gesetz verwendet, um die Masse zweier Objekte zu bestimmen, die sich gegenseitig umkreisen. Es verwendet Größen, die leichter messbar sind und unabhängig vom Verhältnis der Massen der beiden beobachteten Objekte verwendet werden können.

Keplers drittes Gesetz (verallgemeinert aus seiner ursprünglichen Arbeit) besagt, dass die Summe der Massen zweier Objekte, die sich umkreisen, proportional zur dritten Potenz der großen Halbachse der Umlaufbahn (denken Sie an den Radius) geteilt durch das Quadrat der Periode ist. M+m (ist proportional zu) SMA^3/P^2 Ein Proportionalrechnungsproblem mit den Zahlen für Erde und Sonne (Summe der Massen = 1 Sonnenmasse, Periode ist ein Erdjahr, SMA ist 1 AE) ergibt das Ergebnis

M+m (ausgedrückt in Sonnenmassen) = (SMA ausgedrückt in AU)^3 / (P ausgedrückt in E-yr)^2

Nehmen wir an, wir beobachten ein kleines Objekt, das ein Schwarzes Loch bei 5 AE mit einer Periode von 2 E-Jahren umkreist. Dann ist M+m = 5*5*5/2*2 = 31,25 Sonnenmassen. Wenn wir davon ausgehen, dass das umlaufende Objekt im Vergleich zum Schwarzen Loch praktisch nichts ist, dann hat das Schwarze Loch 31,25 Sonnenmassen.

[BEARBEITEN: Wie man diese Informationen tatsächlich erhält-

Es gibt viele Analysetechniken, um zu versuchen, Halbachsen- und Periodeninformationen aus Beobachtungen zu extrahieren.

Der einfachste Fall sind nahegelegene Doppelsterne, die wir buchstäblich sehen können, wie sie sich gegenseitig umkreisen, sodass wir diese Dinge direkt messen können.

Exoplaneten sind für das grelle Licht ihrer Muttersterne meist unsichtbar, daher werden sie meistens durch das Wackeln erkannt, das sie im Bild des Sterns verursachen, wenn sie umkreisen. Die Details dieses Wobbelsignals liefern eine Fülle von Informationen, von denen einige zum Extrahieren von Periode und SMA verwendet werden können.

Für dichte Objekte wie Neutronensterne, die sich gegenseitig umkreisen, schreibt Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie vor, dass sie Gravitationsstrahlung oder Wellen in der Raumzeit aussenden. Dadurch verlieren sie Energie, wodurch sie langsamer werden. Genaues Timing der leuchtturmähnlichen Strahlungsimpulse, die wir von ihnen empfangen, kann ebenfalls das liefern, was wir brauchen.

Schließlich haben Schwarze Löcher, insbesondere große, dramatische Auswirkungen auf ihre Umgebung. Viele haben eine Materialscheibe, die sich spiralförmig in sie hineinwindet. Das Material erwärmt sich auf extreme Temperaturen und gibt viel Strahlung ab, sodass wir es beobachten können. Modelle des Verhaltens der materiellen Scheiben hängen von der Masse des zentralen Schwarzen Lochs ab, sodass der Abgleich eines Modells mit Beobachtungen eine Schätzung der Masse ergibt.]

Es gibt zahlreiche Möglichkeiten, die Masse eines Schwarzen Lochs abzuschätzen; Ich werde nur die gängigsten Methoden diskutieren.

(1)

Bei stellargroßen Schwarzen Löchern besteht die primäre Methode darin, sie in Binärsystemen zu finden und die Bewegung des Begleitobjekts zu messen - normalerweise ein "normaler" Stern.

Durch Messen der Radialgeschwindigkeitsamplitude$K_2$und der Umlaufzeit des Sekundärsterns (was üblicherweise als bekannt bezeichnet wird) können wir die binäre Massenfunktion konstruieren , die eine Beziehung zwischen den Massen der Komponenten ist,$M_2$und$M_{\rm BH}$, die (in der Regel unbekannte) Bahnneigung zur Sichtlinie,$i$(wo$i=90^{\circ}$ist Edge-On) und die Observables.

$$f_{\rm BH} = \frac{(M_{\rm BH} \sin i)^3}{(M_{\rm BH} + M_{2})^{2}} = \frac{P_{\rm orb} K_2^3}{2\pi G}\tag1$$ Diese Messungen sind nicht ohne Schwierigkeiten, da das Licht des sichtbaren Begleiters möglicherweise von Licht überwältigt wird, das von einer Akkretionsscheibe aus Materie kommt, die sich spiralförmig auf das Schwarze Loch zubewegt. Tatsächlich werden so viele dieser Systeme entdeckt.

Wenn die obigen Informationen alles sind, was verfügbar ist , kann durch Einfügen nur eine Untergrenze für die Masse des Schwarzen Lochs gefunden werden$\sin i =1$und$M_2 =0$in Gleichung (1) (oder verwenden Sie eine andere sinnvolle Untergrenze für$M_2$).

Um weitere Fortschritte zu erzielen, benötigen Sie mehr Informationen über die Neigung und das Massenverhältnis der Komponenten$q=M_{\rm BH}/M_2$, so dass

$$M_{\rm BH} = \frac{f_{\rm BH} q (1+q)^{2}}{\sin^{3} i}$$

Informationen über die Neigung können von Röntgen-Binärsystemen stammen, bei denen die Akkretionsscheibe um die Schwarzen Löcher Röntgenstrahlen aussendet, die von der Sekundärseite verfinstert werden. In diesen Fällen wissen wir, dass die Neigung hoch ist, und eine sorgfältige Modellierung kann einen genauen Wert ergeben. Dies zusammen mit einer guten Schätzung von$M_2$führt zu einer Schätzung von$M_{\rm BH}$.

Alternativ kann man eine ellipsoidische Modulation der Lichtkurve vom Sekundärstern (z . B. Beekman et al. 1997 ) verwenden, um gleichzeitig einzuschränken$q$und$i$/ Die ellipsoidische Modulation wird durch die Gezeitenverzerrung des Sekundärsterns verursacht, wenn er sich in einer engen Umlaufbahn mit einem kompakten Objekt befindet. Der Stern wird "ellipsenförmig", und die Menge des Flusses, den der Beobachter sieht, hängt von der Phase der Umlaufbahn ab. Die Amplitude der Modulation hängt ab$q$und$i$.

(2)

Für supermassereiche Schwarze Löcher gibt es auch eine Reihe von Techniken. Die wichtigsten und genauesten sind wahrscheinlich die direkte Modellierung der Bewegungen von aufgelösten Sternen, die sich in der Nähe des Schwarzen Lochs in einer Umlaufbahn befinden. Dies wurde nur für das Schwarze Loch im Zentrum unserer eigenen Galaxie erreicht, ist aber ein spektakulärer Erfolg für die adaptive Optik in einem sehr überfüllten Feld. Siehe zum Beispiel Ghez et al. (1998) ; Gillesenet al. (2017) . Diese Messungen sind jetzt ausreichend genau, um sogar die Auswirkungen der Allgemeinen Relativitätstheorie und nicht der Newtonschen Gravitation auf die Orbitalbewegung zu sehen (z . B. Parsa et al. 2017 ).

Bei weiter entfernten Galaxien können einzelne Sterne nicht aufgelöst werden, aber man kann immer noch die Gasbewegung oder die Gesamtgeschwindigkeitsstreuung von Sternen in der Nähe der Zentren von Galaxien verwenden, um die Masse des zentralen Objekts abzuschätzen. Ein klassisches Beispiel wäre die Gasbewegung in der Akkretionsscheibe der aktiven Galaxie M87. Das Bild unten zeigt Messungen der Gasgeschwindigkeit durch das Zentrum der Galaxie (die Skala ist ungefähr 100 pc breit). Die Linien zeigen Modelle einer Keplerschen Scheibe, die ein zentrales massives Objekt umkreist (aus Macchetto et al. 1997 ).

(3)

Der Nachweis von Gravitationswellen hat zu einer neuen Methode zur Messung der Masse von Schwarzen Löchern in nahen, verschmelzenden Doppelsystemen geführt. Die beiden Schwarzen Löcher (die bisher einzigen Beispiele sind BH-BH-Binärsysteme) in einer engen Umlaufbahn verlieren Energie durch die Emission von Gravitationswellen und verschmelzen spiralförmig mit einer Geschwindigkeit, die stark sowohl vom Produkt als auch von der Summe ihrer Massen abhängt (siehe zum Beispiel hier ). Die Wellen werden mit der doppelten Orbitalfrequenz abgestrahlt.

Eine detaillierte Modellierung des Gravitationswellensignals – die zeitliche Entwicklung der Frequenz und Amplitude kann die Massen der beiden inspiralierenden Komponenten liefern – z . B. Abbott et al. (2016) .

Es ist möglich, die Masse eines Schwarzen Lochs anhand der Geschwindigkeit anderer Objekte zu messen. Wenn wir die Geschwindigkeit eines Sterns messen, der ein Schwarzes Loch umkreist, und die Entfernung seines Umlaufradius, können wir seine Masse bestimmen. Zum Beispiel würden wir zuerst einen Stern lokalisieren, der sich mit 100 km/s bewegt und einen Umlaufradius von 150 Megametern hat, damit wir die Masse der Schwarzen Löcher finden könnten.

Dazu würden wir zunächst eine Masse wie unsere Sonne und die Erde finden. Wir wissen, dass die Erde 149.597.900 km oder etwa 150 Megameter von der Sonne entfernt ist (das ist also ihr Umlaufradius), und so pikönnen wir einfach durch Verwendung berechnen, wie schnell sie sich um die Sonne bewegt. Um die Umlaufbahn zu finden, tun wir es einfach

pi*149.597.900 = 469.975.664 km (470 Megameter) (es wird ein bisschen mehr sein, weil die Umlaufbahn nicht perfekt rund ist)

Wir wissen auch, dass wir die Sonne alle 365,25 Tage (etwa 31557600 Sekunden) umkreisen. Um die Geschwindigkeit zu finden, tun wir es einfach

469.975.664 km / 31557600 s = 14,9 km/s

Da der Stern um das Schwarze Loch von uns den gleichen Abstand zur Sonne hat, wissen wir jetzt, wie viel Masse er im Vergleich zur Sonne hat. Zunächst einmal wissen wir, dass es etwa 6,7-mal schneller umkreist (100/14,9) und die gleiche Entfernung entfernt ist. Das bedeutet, dass es eine Masse haben muss, die 6,7-mal größer ist als die Masse der Sonne. Die Masse der Sonne beträgt 1,98892 * 10 ^ 30 kg. Wenn wir dies also einfach mit 6,7 multiplizieren, können wir die Masse unseres Schwarzen Lochs ermitteln:

1,98892 * 10^30 * 6 = 1,193352 * 10^31

Das sind 1.193.352.000.000.000.000.000.000.000.000 kg!

Aber das bedeutet nicht, dass das Schwarze Loch 6,7-mal größer ist. Wenn das Schwarze Loch, das wir betrachten, ein "durchschnittliches" Schwarzes Loch wäre, wäre es tatsächlich 66297333300000000 cm^3 groß.