Wie bestimmt man hadronische relative Teilzerfallsbreiten?

Dieses Ergebnis folgt aus der Annahme von Perfekt$SU(3)_{flavour}$Symmetrie und die OZI-Regel . Die Theorie ist nicht sehr schwer, aber es gibt mehrere Schritte.

Wir beginnen mit$SU(3)_{flavour}$Symmetrie, dh die Annahme, dass die starke Wechselwirkung gegenüber dem Geschmack des Lichts indifferent ist$u$,$d$, und$s$Quarks. Diese Symmetrie wird zwar durch die unterschiedlichen Massen und Ladungen der Quarks gebrochen, ist aber meist keine schlechte Näherung. (Deshalb funktionierte der achtfache Weg so gut bei der Erklärung von Mesonenzuständen, die in den 1960er Jahren beobachtet wurden und zur Entwicklung des Quarkmodells führten .)

Nach der „ideal gemischten“ Gleichung 11 von Curtis Meyers Vorlesung über leichte und exotische Mesonen beginnen wir damit, die zu schreiben$n \bar n$Staat als

$$n \bar n =\frac{1}{\sqrt{2}} (u\bar u + d\bar d) = \sqrt{\frac{1}{3}}f_8 + \sqrt{\frac{2}{3}}f_1$$ in Bezug auf die beiden Isoskalaren $SU(3)_{flavour}$Zustände

$$f_8=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(u\bar u + d \bar d - 2 s \bar s\right) \textrm{ and } f_1=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(u\bar u + d \bar d + s \bar s\right)$$

Die Zerfallsamplituden in Pionen und Kaonen sind

$$\gamma(n \bar n \rightarrow \pi\pi) = \sqrt{\frac{1}{3}}\gamma (f_8\rightarrow \pi\pi) + \sqrt{\frac{2}{3}}\gamma(f_1 \rightarrow \pi\pi) = \sqrt{\frac{1}{3}} C_{f_8\rightarrow \pi\pi} g_T + \sqrt{\frac{2}{3}}C_{f_1\rightarrow \pi\pi})g_1$$ $$\gamma(n \bar n \rightarrow K\bar{K}) = \sqrt{\frac{1}{3}} C_{f_8\rightarrow K\bar{K}} g_T + \sqrt{\frac{2}{3}}C_{f_1\rightarrow K\bar{K}}g_1$$ wo $g_T$und $g_1$sind Kopplungskonstanten und die $C$sind$SU(3)$Durch die Hyperladung bestimmte Clebsch-Gordan-Koeffizienten $Y$und Isospin $I$der Anfangs- und Endzustände.

Da Kaonen und Pionen Mitglieder von an sind$SU(3)$Oktett und die$n \bar n$Staat hat$(Y,I)=(0,0)$, Pro$n \bar n$zerfällt in$\pi\pi$oder$K\bar{K}$müssen wir uns anschauen$(Y,I)=(0,0)$Auflistungen von$\mathbf{8}\bigoplus\mathbf{8}$Clebsch-Gordan-Koeffizienten in einer Quelle wie Tabelle 8.4 von Unitary Symmetry and Elementary Particles von DB Lichtenberg (oder wir könnten einfach unten auf Seite 9 von Meyer nachsehen). Da haben Pionen, Kaonen und Anti-Kaonen$(Y,I)=(0,1)$,$(1,\frac{1}{2})$und$(-1,\frac{1}{2})$, wir glauben, dass

$$C_{f_8\rightarrow \pi\pi} = -\frac{\sqrt{15}}{5} = -\sqrt{\frac{12}{20}} \textrm{ and } C_{f_1\rightarrow \pi\pi} = \frac{\sqrt{6}}{4} = \sqrt{\frac{3}{8}}$$ $$C_{f_8\rightarrow K\bar{K}} = \frac{\sqrt{10}}{10} = \sqrt{\frac{2}{20}} \textrm{ and } C_{f_1\rightarrow K\bar{K}} = \frac{1}{2} = \sqrt{\frac{2}{8}}$$ $$C_{f_8\rightarrow \bar K K} = -\frac{\sqrt{10}}{10} = -\sqrt{\frac{2}{20}} \textrm{ and } C_{f_1\rightarrow \bar K K} = -\frac{1}{2} = -\sqrt{\frac{2}{8}}$$ (Beachten Sie, dass alle $\pi\pi$Staaten sind in der enthalten $(I_1,Y_1;I_2,Y_2) = (1,0;1,0)$Zeile in der Clebsch-Gordan-Tabelle, aber $K\bar K$und $\bar K K$sind darin unterschiedlich $(\frac{1}{2},1; \frac{1}{2},-1)$und $(\frac{1}{2},-1; \frac{1}{2},1)$Zeilen, also müssen wir sie separat berechnen. Dies ist aus Meyers Herleitung nicht ersichtlich, wo die $K\bar{K}$Amplituden unten auf Seite 12 sind ein Faktor von 2, der nicht mit dem übereinstimmt $K\bar{K}$Preise in seiner Abb. 4.)

Einsetzen dieser Werte für die Koeffizienten in die$n \bar n$Zerfallsamplituden haben wir:

$$\gamma(n \bar n \rightarrow \pi\pi) = -\sqrt{\frac{1}{3}} \sqrt{\frac{12}{20}} g_T + \sqrt{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{3}{8}}g_1 = -\sqrt{\frac{1}{5}} g_T + \frac{1}{2}g_1$$ $$\gamma(n \bar n \rightarrow K\bar{K}) = \sqrt{\frac{1}{3}} \sqrt{\frac{2}{20}} g_T + \sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{2}g_1 = \sqrt{\frac{1}{30}} g_T + \sqrt{\frac{1}{6}}g_1$$ $$\gamma(n \bar n \rightarrow \bar K K) = -\sqrt{\frac{1}{30}} g_T - \sqrt{\frac{1}{6}}g_1$$ (Die ersten beiden davon sind nur Meyers Gleichungen. 21 und 22 für den idealen Mischwinkel.)

Um den Zusammenhang herauszufinden$g_T$und$g_1$, betrachten wir die Amplitude für den Zerfall der

$$s\bar{s} = \sqrt{\frac{2}{3}}f_8 - \sqrt{\frac{1}{3}}f_1$$ Zustand in Pionen, dh $$\gamma(s\bar{s}\rightarrow \pi\pi) = \sqrt{\frac{2}{3}} C_{f_8\rightarrow \pi\pi} g_T - \sqrt{\frac{1}{3}}C_{f_1\rightarrow \pi\pi}g_1 =-\sqrt{\frac{2}{5}} g_T - \sqrt{\frac{1}{8}}g_1.$$ Dieser Zerfall kann nur auftreten, wenn die $s\bar{s}$Quarks vernichten sich gegenseitig, was nach der OZI-Regel unterdrückt wird . Unter der Annahme einer perfekten OZI-Unterdrückung ist die Rate in diesem Fall null $$\sqrt{\frac{2}{5}} g_T = -\sqrt{\frac{1}{8}}g_1 \qquad \Longrightarrow \qquad g_1=-\sqrt{\frac{16}{5}} g_T$$

Daraus können wir die berechnen$n\bar n$Abklingraten:

$$\gamma^2(n \bar n \rightarrow \pi\pi) = \left(-\sqrt{\frac{1}{5}} g_T - \frac{1}{2}\sqrt{\frac{16}{5}} g_T\right)^2 = \frac{9}{5} g_T^2$$ $$\gamma^2(n \bar n \rightarrow K\bar{K}) = \left(\sqrt{\frac{1}{30}} g_T - \sqrt{\frac{1}{6}}\sqrt{\frac{16}{5}} g_T\right)^2 = \frac{9}{30} g_T^2$$ $$\gamma^2(n \bar n \rightarrow \bar K K ) = \frac{9}{30} g_T^2$$

Schließlich ist das Verhältnis von$n \bar{n}$zerfällt in zwei Pionen oder Kaonen ist

$$\frac{\gamma^2(n \bar n \rightarrow \pi\pi)}{\gamma^2(n \bar n \rightarrow K \bar{K} )+\gamma^2(n \bar n \rightarrow \bar K K )} = \frac{\frac{9}{5} g_T^2}{2\frac{9}{30} g_T^2}=3$$ dh der von Amsler und Close angegebene Wert .