Wie bewegt man sich in einer kreisförmigen Umlaufbahn um einen massiven Körper?

Ich versuche herauszufinden, wie ein Objekt eine perfekt kreisförmige Umlaufbahn erreichen könnte. Bei einer gegebenen Masse des Planeten oder eines anderen Körpers, den das Objekt umkreist, und einem Abstand vom Massenzentrum, wie schnell müsste sich das Objekt senkrecht zum Massenzentrum bewegen?

Meine anfängliche Annahme war, dass es sich horizontal (relativ gesehen) so schnell bewegen müsste, wie es in Richtung Massenmittelpunkt fällt. Ist das eine richtige Annahme? Ich denke, ich bin verwirrt, weil es angesichts des Abstands und der Masse des Körpers einfach ist, die Beschleunigung zum Massenmittelpunkt zu berechnen, aber ich habe keine Ahnung, wie Sie die erforderliche Geschwindigkeit berechnen würden.

Denken Sie an die Zentripetalkraft: en.wikipedia.org/wiki/Centripetal_force
Ziehen Sie ein System in Betracht, in dem die Körper von allen anderen Materien isoliert sind? Wenn die Antwort darauf ja ist, dann ist das System, in dem der Massenmittelpunkt ruht, inertial. Fragen Sie nach der Beobachtung der Umlaufbahn in diesem Rahmen?
Ja, das System ist vollständig von allen anderen Materien isoliert.

Antworten (2)

Voraussetzung für den Aufenthalt auf einer Kreisbahn ist die Forderung, dass die Zentripetalkraft betragsmäßig gleich der Gravitationskraft ist. Um genau zu sein:

F G = F C ,

M G = M v 2 R ,

Wo F G ist der absolute Wert der Gravitationskraft, F C der Absolutwert der Zentripetalkraft, G die Erdbeschleunigung, M die Masse des bewegten Objekts, v seine Tangentialgeschwindigkeit und R der Abstand vom Mittelpunkt der Umlaufbahn. Sie können die erforderliche Geschwindigkeit aus dieser Gleichung ausdrücken, die ergibt:

v = R G ,

die unabhängig von der Masse des Objekts ist. Beachten Sie, dass G ist nicht die Gravitationsbeschleunigung in der Nähe der Erdoberfläche, sondern die Beschleunigung, die das Objekt aufgrund des Gravitationsfeldes an seinem aktuellen Standort erfährt. Es wird von gegeben

G = G M R 2 ,

Wo M ist die Masse des Körpers, um den das sich bewegende Objekt kreist und G ist Newtons Gravitationskonstante.

Das scheint sehr gut zu funktionieren! Ich habe damit eine kleine Simulation durchgeführt und der umlaufende Körper bleibt praktisch gleich weit vom Schwerpunkt entfernt. Es macht auch vollkommen Sinn, wenn ich jetzt darüber nachdenke. Danke für die Hilfe!
Ich halte diese Antwort für irreführend, weil sie nicht klarstellt, dass die Gravitationsbeschleunigung von der Entfernung zwischen den beiden Körpern abhängt und nicht unbedingt der Gravitationsbeschleunigung nahe der Erdoberfläche entspricht, was das Symbol ist G allgemein bezeichnet.
Ich werde ein paar Zeilen hinzufügen, um es klarer zu machen.

Ein alternativer Ansatz: Die Umlaufbahn hat zwei Bewegungskonstanten: Energieerhaltung und Drehimpulserhaltung. Die Energie ist die Summe aus potentieller und kinetischer Energie

E = − G M M R + 1 2 M v 2 = − G M M R + 1 2 M v R 2 + 1 2 M v T 2 ,
Wo v R ist die Radialgeschwindigkeit und v T die tangentiale Geschwindigkeitskomponente. Der Betrag des Drehimpulses ist
L = M R v T .
Ersetzen L in die Gleichung für E , wir bekommen
E = − G M M R + 1 2 M v R 2 + L 2 2 M R 2 ,
damit wir schreiben können v R als Funktion von R :
v R 2 = 2 E M + 2 G M R − L 2 M 2 R 2 .
Für eine kreisförmige Umlaufbahn gilt v R ist identisch Null, was bedeutet, dass seine Ableitung auch Null ist:
D v R 2 D R = − 2 G M R 2 + 2 L 2 M 2 R 3 = 0 ,
so dass
R = L 2 G M M 2 .
Deshalb
L 2 = G M M 2 R = M 2 R 2 v T 2 ,
mit anderen Worten
v T = G M R .

Wie bewegt man sich in einer kreisförmigen Umlaufbahn um einen massiven Körper?
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