Winkelgeschwindigkeit und Querneigungswinkel

Um zu verstehen, woher die Beschleunigungsgleichung kommt, zeichnen Sie zunächst das Freikörperbild eines Sitzes. Im Diagramm unten,$\theta$ist der Verschiebungswinkel,$G = mg$ist das Körpergewicht und$T$ist die Spannung (Zug), die das Seil ausübt.

Im Gleichgewicht bewegt sich der Sitz nicht in vertikaler Richtung. Das erste Newtonsche Gesetz für die vertikale Komponente lautet:

$$G - T \cos \theta = 0$$

was gleich ist:

$$T = \frac{mg}{\cos \theta} \tag 1$$

Allerdings gibt es eine Bewegung in horizontaler Richtung ( Kreisbewegung ). Das zweite Newtonsche Gesetz für die horizontale Komponente lautet:

$$T \sin \theta = m a \tag 2$$

Wo$a$ist die Beschleunigung in Richtung des Rotationszentrums ( Zentripetalbeschleunigung ).

Durch Kombinieren von Gl. (1) und (2) erhalten wir

$$\tan \theta = \frac{a}{g} \tag 3$$

Für Kreisbewegungen ist die Zentripetalbeschleunigung definiert als:

$$a = \frac{v^2}{R}$$

Wo$v$ist die Geschwindigkeit, die konstant ist, und$R$Radius ist. Die Geschwindigkeit könnte auch ausgedrückt werden als:

$$v = \frac{2 \pi R}{T} = \omega R$$

Wo$T$ist Zeit für eine volle Umdrehung, und$\omega$Kreisfrequenz ist. Die Zentripetalbeschleunigung kann auch definiert werden als:

$$a = \omega^2 R \tag 4$$

Durch Kombinieren von Gl. (3) und (4) erhalten wir die endgültige Form

$$\boxed{\tan \theta = \frac{\omega^2 R}{g}}$$

Sie können niemals einen Winkel von erreichen$\theta = 90^\circ$da es in diesem Fall keine vertikale Komponente der Spannung gibt ($T \cos \theta$), die das Gewicht stornieren müssen ($G = mg$). Dadurch würde sich der Körper auch in vertikaler Richtung bewegen ( fallen ).

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Hier leite ich den Ausdruck für die zentripetale (radiale) Beschleunigung ab. Bevor wir beginnen, definieren wir Positions-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren in zwei Dimensionen:

$$\vec{r} = x \hat{\imath} + y \hat{\jmath}, \qquad \vec{v} = v_x \hat{\imath} + v_y \hat{\jmath}, \qquad \vec{a} = a_x \hat{\imath} + a_y \hat{\jmath}$$

Wo$\hat{\imath}$Und$\hat{\jmath}$sind Einheitsvektoren, die eine horizontale Ebene aufspannen.

Die Zeitableitung der Verschiebung ist die Geschwindigkeit, während die Ableitung der Geschwindigkeit die Beschleunigung ist:

$$\frac{d}{dt}\vec{r} = \vec{v} = \dot{x} \hat{\imath} + \dot{y} \hat{\jmath}, \qquad \frac{d}{dt}\vec{v} = \vec{a} = \dot{v}_x \hat{\imath} + \dot{v}_y \hat{\jmath}$$

Wo$v_x = \dot{x}$,$v_y = \dot{y}$,$a_x = \dot{v}_x$, Und$a_y = \dot{v}_y$.

Wir benötigen auch eine Gleichung für das Skalarprodukt zweier Vektoren$\vec{c} = (c_\imath, c_\jmath)$Und$\vec{e} = (e_\imath, e_\jmath)$:

$$\vec{c} \cdot \vec{e} = |\vec{c}| |\vec{e}| \cos \alpha = c_\imath e_\imath + c_\jmath e_\jmath$$

Wo$\alpha$ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren, während$|\vec{c}|$Und$|\vec{e}|$sind Vektorlänge:

$$|\vec{c}|^2 = c_\imath^2 + c_\jmath^2$$

Schließlich definieren wir$|\vec{r}| = R$,$|\vec{v}| = v_0$, Und$|\vec{a}| = a_0$.

Gehen wir nun von der Gleichung für Ort und Geschwindigkeit bei Kreisbewegung aus:

$$x^2 + y^2 = R^2 \tag 5$$ $$v_x^2 + v_y^2 = v_0^2 \tag 6$$

Wo$R$der Radius der Bewegung ist, die als konstant angenommen wird, und$v_0$ist die Geschwindigkeit der Bewegung, die als zeitlich veränderlich angenommen wird.

Nehmen Sie die zeitliche Ableitung der Gl. (5):

$$x v_x + y v_y = 0 \quad \rightarrow \quad v_0 R \cos \phi = 0$$

Wo$\phi$ist der Winkel zwischen Positions- und Geschwindigkeitsvektoren. Wir schließen daraus, dass der Winkel ist$\phi = 90^\circ$, dh Orts- und Geschwindigkeitsvektor stehen senkrecht aufeinander!

Nehmen Sie die zeitliche Ableitung der obigen Gleichung:

$$x a_x + y a_y = -v_0^2 \quad \rightarrow \quad a_0 R \cos \rho = -v_0^2$$

Wo$\rho$ist der Winkel zwischen Positions- und Beschleunigungsvektoren. Daraus schließen wir, dass der Winkel im 2. oder 3. Quadranten liegt, dh Orts- und Beschleunigungsvektor zeigen in entgegengesetzte Richtungen!

Nehmen Sie die zeitliche Ableitung der Gl. (6):

$$v_x a_x + v_y a_y = v_0 \dot{v}_0 \quad \rightarrow \quad a_0 \cos \varepsilon = \dot{v}_0$$

Wo$\varepsilon$ist der Winkel zwischen Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren. Seit$a_0 \cos \varepsilon$ist die Projektion des Vektors$\vec{a}$auf Vektor$\vec{v}$, ist die Tangentialbeschleunigung definiert als:

$$\boxed{a_{||} = a_0 \cos \varepsilon = \dot{v}_0}$$

Mit anderen Worten, die Tangentialbeschleunigung ändert die Geschwindigkeitsgröße. Bei gleichförmiger Kreisbewegung (konstante Geschwindigkeit) ist die Tangentialbeschleunigung Null.

Jetzt finden wir die Beziehung zwischen den Winkeln$\phi$,$\rho$Und$\varepsilon$:

$$\rho = \phi + \varepsilon = 90^\circ + \varepsilon \quad \rightarrow \quad \cos \rho = - \sin \varepsilon$$

Die Gleichung für die Radialbeschleunigung wird zu:

$$a_0 R \cos \rho = -v_0^2 \quad \rightarrow \quad a_0 \sin \varepsilon = \frac{v_0^2}{R}$$

Seit$a_0 \sin \varepsilon$ist die Projektion des Vektors$\vec{a}$auf Achse senkrecht zum Vektor$\vec{v}$(der in entgegengesetzter Richtung zum Positionsvektor ist$\vec{r}$), dies wird auch als Radialbeschleunigung bezeichnet :

$$\boxed{a_{\perp} = a_0 \sin \varepsilon = \frac{v_0^2}{R}}$$

Mit anderen Worten ändert die Radialbeschleunigung nur die Richtung des Geschwindigkeitsvektors, beeinflusst aber nicht dessen Größe!

Damit ist die Ableitung von Ausdrücken für tangentiale und radiale Beschleunigungen abgeschlossen.

Schauen Sie sich dieses Freikörperbild an, von hier erhalten Sie

$$\tan \theta=\frac{m\omega^2r}{mg}$$

Wenn also die Winkelgeschwindigkeit$\omega$erhöht den Winkel$\theta$erhöht sich