Kinematik für ungleichmäßige Kreisbewegungen

Ich versuche zu verstehen, wie die Kinematik für ungleichmäßige Kreisbewegungen funktioniert. Ich weiß, dass Sie die Nettobeschleunigung eines Objekts in ungleichmäßiger Kreisbewegung mit der folgenden Gleichung darstellen können:

A N e T = A T + A C

Wo A T ist die Tangentialbeschleunigung und A C ist die Zentripetalbeschleunigung. Sie können diese Gleichung weiter vereinfachen zu:

A N e T = ( D v D T ) e ^ T + v 2 R e ^ C

Wo e ^ T Und e ^ C sind Einheitsvektoren in tangentialer und zentripetaler Richtung.

Was ich nicht weiß, ist ein Szenario, in dem Sie wissen, dass ein Objekt eine bestimmte konstante Nettobeschleunigung hat . Das Objekt beschleunigt von einer anfänglichen Winkel-/Tangentialgeschwindigkeit auf eine endgültige Winkel-/Tangentialgeschwindigkeit. Je höher in diesem Szenario die Tangentialgeschwindigkeit des Objekts wird, desto geringer wird die Tangentialbeschleunigung des Objekts. Denn je höher die Geschwindigkeit, desto mehr Kraft braucht man, um die Richtung zu ändern. Die zentripetale Komponente der Nettobeschleunigung nimmt also zu und die tangentiale Komponente der Nettobeschleunigung ab.

Wie würden Sie vorgehen, um die Zeit zu ermitteln, die das Objekt zum Beschleunigen benötigen würde? v 0 Zu v F ?

Meine ersten Gedanken dazu sind, dass Sie die Tangential-/Winkelbeschleunigung als Funktion der Zeit ausdrücken müssten, damit Sie die folgende kinematische Formel anwenden können:

v F = v 0 + ∫ T 0 T F A T D T

Ich würde mich über Hilfe freuen, wie ich eine Funktion für die Tangentialbeschleunigung finden kann, damit ich Kinematik mit diesen Arten von Szenarien durchführen kann.

Wenn dies ein Hausaufgabenproblem ist, haben wir Regeln dagegen. Wenn dies ein Problem ist, das Sie selbst erstellt haben, lernen Sie die hypergeometrische Funktion oder die numerische Integration kennen.
@DavidHammen Wie wäre die hypergeometrische Funktion dafür nützlich? Außerdem ist es kein Hausaufgabenproblem. Ich arbeite an einem Nebenprojekt, für das ich in der Lage sein muss, eine solche Rotationskinematik zu machen.

Antworten (1)

Es geht lediglich darum, den Gesamtbeschleunigungsvektor aufzulösen A in seine Bestandteile. Tangentialbeschleunigung A T = S ¨ ist die Komponente, die entlang des Kreises oder der Kurve liegt, während die Zentripetalbeschleunigung A C = S ˙ 2 / R ist die Komponente normal zur Kurve. ( S ist der Abstand entlang der Kurve.) Die Zentripetalbeschleunigung hat keine Auswirkung auf die Geschwindigkeit entlang der Kurve, sodass sie ignoriert werden kann.

Dieses Verfahren funktioniert für jede Kurve und auch für nicht konstante Nettobeschleunigung A . Alles, was Sie also wissen müssen, ist der Winkel zwischen dem Gesamtbeschleunigungsvektor und der Tangente an die Kurve an jedem Punkt.

Ihre Integrationsformel ist nicht sehr nützlich, weil Sie nicht wissen, wie A T = S ¨ variiert mit der Zeit, sodass Sie sich nicht einfach integrieren können. Was Sie tun können, ist auszudrücken S ¨ in Bezug auf die Entfernung entlang des Bogens oder den Winkel um einen Kreis:
A T = S ¨ = D v D T = v D v D S = v R D v D θ
Wo v = S ˙ ist die Geschwindigkeit entlang der Kurve, θ ist ein Winkel, der von einem Radiusvektor überstrichen wird, und R ist der Radius.

Nehmen Sie die konstante Gesamtbeschleunigung an A und die Tangentenvektoren anfangs parallel sind, und angenommen, die Position des Teilchens auf dem Kreis wird als Winkel gemessen θ von diesem Punkt. Dann ist die Tangentialbeschleunigung A T = A cos ⁡ θ . Die Bewegungsgleichung ist
v D v D θ = A R cos ⁡ θ
die Sie durch Integration lösen können, um die Geschwindigkeit zu finden v in jedem Winkel θ auf dem Kreis.

Ich vermute jedoch, dass das Szenario, das Sie lösen möchten, nicht eines ist, in dem die Nettobeschleunigung konstant ist. Zum Beispiel ein Teilchen, das in einem Gravitationsfeld auf einem vertikalen kreisförmigen Draht gleitet. Die Gravitationskraft auf das Partikel ist konstant, aber es gibt auch eine normale Reaktionskraft, und diese ist nicht konstant, sodass die Nettobeschleunigung des Partikels in diesem Szenario nicht konstant ist.

In diesem Fall kann man für das Partikel-Draht-System eine potentielle Energie definieren. (Dies ist für jede konservative Kraft möglich, nicht nur für eine konstante Kraft.) Dann können Sie die Geschwindigkeit des Teilchens entlang des Drahtes mit seiner Höhe im Kraftfeld in Beziehung setzen, indem Sie die Erhaltung der mechanischen Energie verwenden.

Sammy, in diesem Fall bekommst du ein Durcheinander. Sie müssen sich integrieren ω ˙ ( T ) = ω max 4 − ω ( T ) 4 Wo ω max 2 = A / R Und A ist die maximale Beschleunigung. Versuch es. Mathematica kann es lösen, aber es ist ein Durcheinander.
Kinematik für ungleichmäßige Kreisbewegungen
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v