Zentripetalbeschleunigung als Kreuzprodukt

Question

Zentripetalbeschleunigung als Kreuzprodukt

Physik
Vektoren
Geschwindigkeit
Winkelgeschwindigkeit
Zentripetalkraft

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Ist es in Ordnung, die Zentripetalbeschleunigung als Kreuzprodukt auszudrücken?
a = v X w (wobei a die Zentripetalbeschleunigung ist, v die Größe der Geschwindigkeit ist, w die Winkelgeschwindigkeit ist)

Und ist es v X w oder w X v?

Was ich denke:
Da die Zentripetalbeschleunigung eine tangentiale (senkrechte) Geschwindigkeit erfordert, fange ich an, über Kreuzprodukte nachzudenken, und konnte den Beschleunigungsvektor als zwei andere Vektoren ausdrücken.
Wenn ich mit meiner rechten Hand herumfummele, denke ich, dass a = v X w und nicht a = w X v.
Wo die Konvention lautet
- Winkelgeschwindigkeit zu mir impliziert eine positive Bewegung gegen den Uhrzeigersinn
- Zentripetalbeschleunigung nach oben wird als positiv angenommen -
Geschwindigkeit muss sich bewegen eine Möglichkeit, eine Bewegung gegen den Uhrzeigersinn zu bewirken

Die Sache ist, ich habe dies im Internet gesucht, konnte aber keine Ressourcen zur Bestätigung finden.

Stimmt es, dass die Zentripetalbeschleunigung als Kreuzprodukt aus Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit dargestellt werden kann? v X w

Antworten (2)

Zentripetalbeschleunigung als Kreuzprodukt

Philipp Holz · Answer 1

\vec{A} = \vec{ω} \times \vec{v}

$\vec{a}=\vec{\omega} \times \vec{v}$ Dies liefert die Waren für einen sich schnell bewegenden Punkt

v

$v$ auf einer Kreisbahn mit Winkelgeschwindigkeit

\vec{ω}

$\vec\omega$ um den Mittelpunkt des Kreises. Da der Kreis in einer Ebene liegt, ist die Richtung von

\vec{ω},

$\vec\omega,$ sowie seine Größe ist konstant.

Wir können die Formel für die Zentripetalbeschleunigung tatsächlich ziemlich sauber herleiten, indem wir beginnen mit

\vec{v} = \vec{ω} \times \vec{R}

$\vec{v}=\vec{\omega} \times \vec{r}$ So

\frac{D \vec{v}}{D T} = \frac{D \vec{ω}}{D T} \times R + \vec{ω} \times \frac{D \vec{R}}{D T}

$\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d\vec{\omega}}{dt} \times r + \vec\omega \times \frac{d\vec r}{dt}$ Der erste Term rechts verschwindet, weil

\vec{ω}

$\vec\omega$ ist eine Konstante für einen Körper, der sich mit konstanter Geschwindigkeit im Kreis bewegt, also bleibt dir übrig

\vec{A} = \vec{ω} \times \vec{v}

$\vec a=\vec\omega \times \vec v$

Rohits Antwort, zurücksubstituieren $\vec{v}=\vec{\omega} \times \vec{r}$ ergibt eine viel sauberere Gleichung ohne das Kreuzprodukt oder den Pseudovektor $\omega.$
Warum w X v statt v X w? Tatsächlich scheint es für die Rechte-Hand-Regel in beide Richtungen zu funktionieren.
Angenommen, der Körper bewegt sich von oben gesehen auf einer Tischplatte gegen den Uhrzeigersinn. Daher $\vec\omega$ nach oben ist (unter Verwendung der Regel für die rechte Schraube). Einverstanden? Betrachten Sie den Moment, in dem sich der Körper östlich des Kreismittelpunkts befindet $\vec r$ ist nach Osten} Also $\vec{\omega} \times \vec r$ ist nach Norden, was bestätigt, dass sich der Körper wirklich gegen den Uhrzeigersinn bewegt. Der Rest folgt per Algebra. Wenn Sie nur das Endergebnis überprüfen möchten, betrachten Sie denselben Moment für denselben Aufbau und bewerten Sie ihn $\vec{\omega} \times \vec v$ . Er ergibt einen nach Osten gerichteten Vektor, also zum Kreismittelpunkt hin.
Meine Antwort und mein Kommentar gingen von einer Rechtshandregel für die Definition von aus $\vec\omega$ und zur Definition des Vektorprodukts. Wenn wir stattdessen Regeln für die linke Hand verwenden $for\ both,$ wir würden das gleiche Ergebnis erhalten!
Für w X v steht w auf meinem Index zu mir. v ist zu meiner Rechten am Mittelfinger. Die Zentripetalbeschleunigung ist am Daumen nach oben gerichtet. Für v X w ist v am Zeigefinger nach links, w am Mittelfinger zu mir, die Zentripetalbeschleunigung am Daumen immer noch nach oben. Gibt es einen Grund, warum v rechts und nicht links sein muss?
Nachdem ich meine Antwort eingegeben hatte, wurde mir klar, dass, wenn w auf mich zugeht, es eine Bewegung gegen den Uhrzeigersinn sein muss, die durch eine Geschwindigkeit verursacht wird, die sich nach rechts und c bewegt. Beschleunigung nach oben, statt Geschwindigkeitsbewegung nach links mit c. Beschleunigung nach oben (es sollte nach unten sein). Verstehe ich das richtig?
(a) "v ist am Mittelfinger zu meiner Rechten. Die Zentripetalbeschleunigung ist am Daumen nach oben. Für v X w ist v nach links " Warum änderst du die Richtung für $v$ ? (b) Sie können einen falschen Kommentar löschen und ersetzen, indem Sie auf den roten Fleck klicken, der erscheint, wenn Sie mit der Maus über das Ende Ihres Kommentars streichen. (c) Wenn ich Ihnen helfen soll, verwenden Sie bitte die Einrichtung, die ich in beschrieben habe Die ersten 3 Zeilen meines Kommentars beginnen mit "Angenommen ...". Dann verstehe ich besser, was du meinst.
In meinem vorherigen Kommentar, der mit "w X v" beginnt, habe ich zwei Situationen betrachtet: w X v und v X w, weil das Kreuzprodukt antikommutativ ist. Im zweiten Kommentar, der mit "nach dem Tippen" beginnt, kam ich zu dem Schluss, dass v X w falsch und w X v richtig ist, weil ich dachte, dass beide anfangs richtig waren und ich um Klärung bitten wollte. Außerdem glaube ich, dass ich Ihrem Setup "For w X v" gefolgt bin. v X w ist falsch, und ich habe versucht, das zu überprüfen. Es ist in Ordnung, ich weiß jetzt, dass die Zentripetalbeschleunigung w X v und nicht v X w ist.
Übrigens habe ich diese Frage aufgrund des Mangels an Online-Ressourcen gestellt, um dies zu bestätigen. Entschuldigung, wenn diese ganze Frage ziemlich rudimentär erscheint.
Kein Grund zur Entschuldigung. Ich bin froh, dass du es jetzt verstehst.

Rohit · Answer 2

Wenn Sie die Rechte-Hand-Regel (Konvention) zum Bewerten des Kreuzprodukts verwenden, das heißt $\hat{x}\times\hat{y}=\hat{z}$ für die kartesischen Koordinateneinheitsvektoren scheint dann die Zentripetalbeschleunigung zu sein $\bf{\omega}\times\bf{v}$ . Weiterhin kann es vereinfacht werden $\bf{\omega}\times\bf{v}=\bf{\omega}\times[\bf{\omega}\times\bf{r}]=-|\omega|^2\bf{r}$ . Weitere Einzelheiten finden Sie in der folgenden Referenz. Hoffe das beantwortet deine Frage.

Referenz: Ableitung mit Vektoren https://en.wikipedia.org/wiki/Centripetal_force

Warum ist die Zentripetalbeschleunigung negativ? Ich weiß, dass es aus der Vektordreifachproduktentwicklung erhalten wird, aber gibt es eine andere Möglichkeit zu erklären, warum es negativ ist?
Die Beschleunigung ist mit $-\bf{r}$ Richtung. Dies liegt daran, dass ein Objekt für die Kreisbewegung durch eine Kraft (z. B. die Spannung einer Schnur, die Schwerkraft usw.) nach innen zum Ursprung (Drehpunkt) "gezogen" werden muss, was eine nach innen gerichtete Beschleunigung verursacht .
Wird die Einwärtsbeschleunigung per Konvention als negativ angenommen?
ja, du hast recht. Das ist die Konvention, mit der Richtung von $\hat{r}$ radial nach außen (daher positiv) und vom Ursprung weg weisend.

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