Intuitive Erklärung dafür, warum die Zentripetalbeschleunigung v2rv2r\frac{v^2}{r} ist [duplizieren]

Hier ist ein einfacher Weg.

Ein Punkt bewegt sich um einen Kreis. Es hat einen blauen Positionsvektor und einen roten Geschwindigkeitsvektor, wie folgt:

Der Positionsvektor bleibt gleich lang und dreht sich immer wieder im Kreis. Da sich der Positionsvektor ändert, hat er eine Ableitung. Diese Ableitung ist die Geschwindigkeit.

Da wir immer die gleiche Geschwindigkeit fahren, bleibt auch der Geschwindigkeitsvektor gleich lang. Da die Geschwindigkeit immer um 90 Grad von der Position gedreht ist, dreht sich die Geschwindigkeit auch im Kreis. Mit anderen Worten, der Geschwindigkeitsvektor macht genau dasselbe wie der Positionsvektor; sich drehen und eine konstante Länge haben. Der einzige Unterschied zwischen Position und Geschwindigkeit besteht darin, dass wir um 90 Grad gedreht und die Länge mit multipliziert haben$v/r$.

(Hinweis: Es spielt keine Rolle, wo wir einen Vektor zeichnen; egal wo wir ihn zeichnen, der Vektor ist derselbe. Wir zeichnen den Geschwindigkeitsvektor am Ende des Positionsvektors, sodass es so aussieht, als würde sich der Geschwindigkeitsvektor darin bewegen Raum. Das ist nicht der Punkt. Wir können den Geschwindigkeitsvektor neu zeichnen, so dass er auch am Ursprung beginnt und sich dann überhaupt nicht bewegt. Was zählt, ist nur die Größe und die Richtung. Der Geschwindigkeitsvektor, auch wenn wir machen Es beginnt immer am Ursprung, dreht sich im Kreis mit der gleichen Geschwindigkeit wie der Positionsvektor, weil sie immer um 90 Grad voneinander entfernt sind.Der Geschwindigkeitsvektor sieht also wirklich genauso aus wie ein neuer Positionsvektor, nur mit einer anderen Größe und einer Richtung 90 Grad voraus.)

Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit, und wir wissen, wie man die Ableitung nimmt. Da die Geschwindigkeit genau das Gleiche tut wie die Position, können wir die Ableitung der Geschwindigkeit genauso wie bei der Position vornehmen.

Wir drehen die Geschwindigkeit um 90 Grad und erhalten einen Vektor, der zurück zum Mittelpunkt des Kreises zeigt. Das ist die Richtung der Beschleunigung. Als nächstes multiplizieren wir die Länge des Geschwindigkeitsvektors mit$v/r$, genau wie zuvor, um die Beschleunigung zu erhalten, die ist$v * v/r = v^2/r$.

Stellen Sie sich vor, Sie gehen in einem Kreis mit Radius$r$Beginn um drei Uhr und Richtung zwei Uhr. Wenn es Zeit kostet$T$dann ist deine Geschwindigkeit$v=2\pi r/T.$

Wenn Sie sich jetzt Ihre Geschwindigkeit ansehen, geht sie zunächst nach oben, dann nach links, dann nach unten und dann wieder nach oben. Es ist, als ob sich Ihr Geschwindigkeitsvektor auf einem Kreis mit "Radius" befindet$v$aber ab 12 Uhr (entsprechend dem Geschwindigkeitspunkt gerade nach oben) und es macht auch einen vollen Kreis in der Zeit$T$weil die Geschwindigkeit erst wieder gerade nach oben zeigt, wenn die Position wieder bei 3 Uhr ist.

Wir können also die Beschleunigung auf dieselbe Weise berechnen, wie wir die Geschwindigkeit berechnet haben$a=2\pi v/T.$

Wir haben also zwei Gleichungen und sie haben a$T$Wir wollten in unserer endgültigen Antwort nicht, also löse die erste Gleichung,$v=2\pi r/T,$für$T$zu bekommen$T=2\pi r/v.$Setze das dann in die zweite Gleichung ein$a=2\pi v/T$zu bekommen$a=2\pi v/(2\pi r/v)=v^2/r.$

Die erste Gleichung,$v=2\pi r/T,$scheint sehr intuitiv zu sein, und die zweite Gleichung ist genau dasselbe, was aus genau demselben Grund passiert, nur nicht etwas, was wir intuitiv tun.

Es ist gut, die gleichen Techniken und physikalischen Einsichten auf Probleme anwenden zu können, die funktionell gleichwertig, aber weniger offensichtlich sind, also ist es eine gute Fähigkeit, dies tun zu können.

Wenn Sie sich mit Vektorrechnung befassen, könnten Sie die Gleichung des Teilchens korrigieren und die Ableitung ein paar Mal bilden und dann die Größe finden, und daran ist nichts falsch. Aber das sollte man trotzdem erkennen können$a=2\pi v/T$mit der Geschwindigkeit, mit der sich die Geschwindigkeit ändert.

Wenn Sie sich den Geschwindigkeitsraum als realen Raum vorstellen, können Sie sich Anfangsbedingungen als die Angabe eines Punktes in einem 6D-Raum vorstellen (3 Dimensionen für Anfangspositionen und drei für die Geschwindigkeit) und dass die Dynamik diesen Punkt dann auf bestimmte Weise im 6D-Raum bewegt.