Eine einfache Herleitung der zentripetalen Beschleunigungsformel?

Stellen Sie sich ein Objekt vor, das stetig einen Kreis mit Radius durchquert$r$auf den Ursprung zentriert. Seine Position kann durch einen Vektor konstanter Länge dargestellt werden, der den Winkel ändert. Die in einem Zyklus zurückgelegte Gesamtstrecke beträgt$2\pi r$. Dies ist auch der kumulierte Betrag, um den sich die Position geändert hat.

Betrachten Sie nun den Geschwindigkeitsvektor dieses Objekts: Er kann auch durch einen Vektor konstanter Länge dargestellt werden, der ständig die Richtung ändert. Dieser Vektor hat eine Länge$v$, also die kumulierte Geschwindigkeitsänderung$2 \pi v$.

Die Größe der Beschleunigung ist dann$\frac{\text{change in velocity}}{\text{elapsed time}}$, was wir schreiben können als:

$$a = \frac{2 \pi v}{\left(\frac{2\pi r}{v} \right)} = \frac{v^2}{r} \,.$$

QED

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Abgesehen davon: Diese Ableitung wird in vielen Algebra / Trig-basierten Lehrbüchern verwendet.

Im rechtwinkligen Dreieck ABC

$$\begin{equation} \dfrac{|\dfrac{\Delta \mathbf{\vec v}}{2}|}{|\vec V|}=Sin\dfrac{\Delta \vec \theta}{2} \tag{01} \end{equation}$$ Wenn $$\begin{equation} \theta \tag{02} \end{equation}$$ ist klein $$\begin{equation} v(t) \approx v(t + \delta t ) = \mathbf{\vec v} \tag{03} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \dfrac{|\dfrac{\delta \mathbf{\vec v}}{2}|}{|\vec V|}=Sin\dfrac{\delta \vec \theta}{2} \tag{03} \end{equation}$$ Für kleine Winkel $$\begin{equation} \delta \theta \approx Sin {\delta \theta} \tag{04} \end{equation}$$ Also beim Umstellen $$\begin{equation} \dfrac{\delta \mathbf{\vec v}}{2} =\dfrac{\delta \vec \theta}{2} \times \vec v \tag{05} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \delta \mathbf{\vec v} =\delta \vec \theta \times \vec v \tag{06} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \dfrac{\delta \mathbf{\vec v}}{\delta \mathbf{t}} =\dfrac{\delta \vec \theta}{\delta \mathbf{t}} \times \vec v \tag{07} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \mathbf{\vec a}=\dfrac{\delta \mathbf{\vec v}}{\delta \mathbf{t}} \tag{08} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \vec \omega =\dfrac{\delta \vec \theta}{\delta \mathbf{t}} \tag{09} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \mathbf{\vec a}=\vec \omega \times \vec v \tag{10} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \mathbf{a}=\omega \times v \tag{11} \end{equation}$$ Und da $$\begin{equation} \mathbf{v}=\omega \times r \tag{12} \end{equation}$$ So $$\begin{equation} \mathbf{a}=\dfrac {v^{2}}{\mathbf{r}} \tag{13} \end{equation}$$

Sie können diese Ableitung durchführen, indem Sie die Position des umkreisenden Teilchens in Komponenten zerlegen. Es ist nicht kurz, aber ich denke, es ist nützlich, weil es die Algebra um konkrete physikalische Analogien ergänzt. Ich werde es in vier Teile gliedern: Dekomposition , Oszillation , Energie und Symmetrie .

Zersetzung

Die Position eines Teilchens, das sich entlang einer kreisförmigen Bahn bewegt, kann durch zwei halb phasenverschobene Sinuswellen beschrieben werden – oder äquivalent, eine Sinuswelle und eine Cosinuswelle:

_{( über )}

Dies lässt sich leicht ableiten: Angenommen, das Teilchen bewegt sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit$\omega$um einen Radiuskreis$r$. Dann$\theta = \omega t$, und grundlegende Trigonometrie sagt uns, dass die Position des Teilchens gegeben ist$\theta$wird von gegeben$x = r \cos \theta$Und$y = r \sin \theta$. Wir können ersetzen, um zu bekommen$x = r \cos (\omega t)$Und$y = r \sin (\omega t)$.

Schwingung

Es stellt sich heraus, dass es eine andere Art von Bewegung gibt, die durch Sinuswellen beschrieben wird: die Schwingung eines Gewichts an einer Feder . In einem solchen System

$$x(t) =A \cos \left(\sqrt{k \over m}t \right)$$

Wo$A$ist die Amplitude (dh die Differenz zwischen der maximalen Länge der Feder und ihrer Ruhelänge),$k$ist die Kraftkonstante der Feder nach dem Hookeschen Gesetz und$m$ist natürlich die Masse. Um diese Gleichung auf die übliche Weise herzuleiten, sind nicht nur Kalkül, sondern auch Differentialgleichungen erforderlich – also werde ich Sie bitten, sich bis etwas später darauf zu verlassen.

Für unsere Zwecke bedeutet dies, dass die Mechanik des umkreisenden Teilchens durch zwei schwingende Federn simuliert werden kann: eine für die$x$Komponente und eine für die$y$Komponente, die mit der ersten identisch ist, aber mit ihr halb phasenverschoben ist. Um sich vorzustellen, wie das aussieht, schauen Sie zurück auf die obige Animation und tun Sie so, als wären der blaue Punkt und der rote Punkt an Federn angebracht, die sich befinden$0$beim Ausruhen.

Jetzt, da wir dieses federbasierte Modell haben, können wir es verwenden, um die Kraft zu bestimmen, die entlang der auf das Partikel ausgeübt wird$x$Achse! Nach dem Hookeschen Gesetz ist die Kraft, die eine Feder auf ein angebrachtes Gewicht ausübt,$F = -kx$. Versuchen wir, diese Formel zu verwenden, um die Beschleunigung des Teilchens zu bestimmen, wenn die$x$Feder hat ihre maximale Länge. Wir wissen, dass seine maximale Länge sein wird$r$in diesem Fall - dies entspricht dem Moment, in dem sich das Teilchen befindet$x = r, y = 0$. Und das wissen wir$F = ma$. Also durch Substitution$ma = -kr$; Teilen durch$m$, Und

$$a = -k \frac{r}{m}$$

Unsere Arbeit ist halb getan. Aber jetzt haben wir ein neues Problem: Wir wissen nicht was$k$ist – schließlich gibt es keine eigentliche Quelle, also können wir nichts messen. Wir müssen wissen, welchen Wert von$k$eine Feder hat, wenn sie sich auf die gleiche Weise bewegt wie das Teilchen entlang der$x$Achse. Um dieses Problem zu lösen, müssen wir anfangen, über Naturschutzgesetze nachzudenken.

Energie

Denken wir darüber nach, was passiert, wenn die$x$Feder schwingt. Wenn der Frühling da ist$x = r$, übt es die größte Kraft auf das Teilchen aus, aber das Teilchen bewegt sich überhaupt nicht. Dies ist direkt am Höhepunkt der Welle. Das bedeutet$v = 0$. Ab diesem Punkt wird die Kraft, die die Feder auf das Partikel ausübt, es beschleunigen$0$auf seine größte Geschwindigkeit$-v_\text{max}$. ¹ Und bis das Teilchen ankommt$x = 0$, die Feder übt keine Kraft aus; das ist der Ruhezustand der Feder. Da die Feder keine Kraft aufbringt, haben wir erreicht$-v_\text{max}$-- die Richtung der zukünftigen Beschleunigung wird in die entgegengesetzte Richtung gehen und das Teilchen verlangsamen, bis es ankommt$x = -r$.

Das bedeutet also, dass bei$x = r$, wir haben$F = -F_\text{max}$,$a = -a_\text{max}$, Und$v = 0$. Und bei$x = 0$, wir haben$F = 0$,$a = 0$, Und$v = -v_\text{max}$.

Folgendes passiert: Die Energie im System bewegt sich zwischen maximaler kinetischer Energie (at$x = 0$wenn die Feder überhaupt nicht gedehnt oder zusammengedrückt wird) und maximale potentielle Energie (at$x = r$, wenn die Feder vollständig gespannt ist). Und wegen der Energieerhaltung müssen diese beiden Maxima gleich sein; mit anderen Worten,$E_\text{max}$=$P_\text{max}$.

Die Formel für die kinetische Energie lautet$E = \frac{1}{2} mv^2$– das ist die grundlegende Newtonsche Mechanik. Wofür ist die Formel$P$in diesem Fall? Dies ist der schwierigste Teil der Ableitung. Die in der Feder gespeicherte potentielle Energie entspricht der Menge an negativer Arbeit , die geleistet wird, um sie zu dehnen$x = r$. Wir müssen uns also an die Formel für die Arbeit erinnern:$W = Fd$, Wo$d$steht für zurückgelegte Strecke – dh$x$, vorausgesetzt, wir beginnen bei$x = 0$. Aber dann haben wir ein Problem.$F = -kx$ist nicht konstant – es ist eine Funktion von$x$.

Im Allgemeinen würde dies bedeuten, dass wir rechnen müssen. Aber zum Glück$F = -kx$ist eine lineare Funktion, und daher ist der gesuchte Wert gleich der Fläche des Dreiecks, das durch gebildet wird$x$Achse und Linie$F = -kx$:

( über )

In der obigen Tabelle,$k = 1$, die zurückgelegte Strecke$d = x_\text{max} = 1$, und die Fläche des angegebenen Dreiecks stellt den Wert dar, den Sie erhalten, wenn Sie multiplizieren$F(x)$nach zurückgelegter Strecke, bereinigt um Wertänderungen von$F$wenn der Abstand zunimmt. Aber da ist die Höhe des Dreiecks$-kx_\text{max}$und die Basis des Dreiecks ist$x_\text{max}$, können wir einfach die einfache alte Geometrie verwenden. Die Fläche eines Dreiecks ist$\rm \frac{1}{2} base \times height$– oder hier, weil$x_\text{max} = r$

$$W = -\frac{1}{2} kr^2$$

Und da potentielle Energie gleich negativer Arbeit ist :

$$P = \frac{1}{2} kr^2$$

Ist es nicht interessant, wie ähnlich das ist$E = \frac{1}{2} mv^2$? Wenn Sie eine Weile darüber nachdenken und das bedenken$E + P$ein konstanter Wert sein muss, wird Ihnen vielleicht allmählich klar, warum eine schwingende Feder einer sinusförmigen Bahn folgt! (Hinweis: Schreiben Sie die Formel für einen Kreis, aber verwenden Sie$\sqrt{E + P}$anstatt$r$, Und$v$anstatt$y$.)

Aber darauf können Sie später zurückkommen. Wir sind sehr nah dran! Einstellung$v = v_\text{max}$:

$$E + P = E_\text{max} = P_\text{max} = \frac{1}{2} kr^2 = \frac{1}{2} mv^2$$

Was passiert, wenn wir nach lösen$k$?

$$\begin{align}\frac{1}{2} kr^2 &= \frac{1}{2} mv^2\\ \implies kr^2 &= mv^2\\ \implies k &= \frac{mv^2}{r^2}\end{align}$$

Jetzt können wir das in unsere obige Beschleunigungsformel einsetzen:

$$\begin{align}a &= -k \frac{r}{m}\\ &= -\frac{mv^2}{r^2} \frac{r}{m}\\ &= -\frac{v^2}{r}\end{align}$$

Sie fragen sich vielleicht, warum das negative Vorzeichen in dieser Version erscheint. Denken Sie jedoch daran, dass die Beschleunigung technisch gesehen in die entgegengesetzte Richtung der Verschiebung erfolgt. Also wann$x = r, y = 0$, die Beschleunigung ist in Richtung von$-r$. Wenn es anders wäre, würde das Teilchen nach außen beschleunigt! ²

Symmetrie

Der letzte Schritt dieser Herleitung erfordert einen Trick. Wir begannen damit, die Bewegung in zwei Dimensionen in eine Bewegung entlang zweier eindimensionaler Komponenten zu zerlegen. Wir haben dann imaginäre Federn verwendet, um die Bewegung des Partikels entlang dieser beiden Komponenten zu beschreiben. Und jetzt stehen wir vor einer letzten Frage: Wie wählen wir unsere aus$x$Und$y$Komponenten?

Sie müssen im rechten Winkel zueinander stehen, aber das ist nur die halbe Miete – wir müssen den „richtigen Ort“ finden, um anzufangen, den „echten“$x$Koordinate. Das Problem ist, dass wir es nicht können. Die Kreisbahn, auf der sich das Teilchen bewegt, ist rotationssymmetrisch. Nichts an dem Kreis sagt uns, wo er „beginnt“ oder „endet“.

Das bedeutet, dass die obige Argumentationslinie gilt, egal wo wir anfangen. Wir können jeden Punkt auf dem Kreis als auswählen$x=1, y=0$Punkt, und das obige wird gültig sein. Wo auch immer sich das Teilchen befindet, setzen wir diesen Punkt einfach als unseren$x = r, y = 0$Punkt, und alles andere ergibt sich.

Wenn wir uns mehr Arbeit machen wollten, könnten wir die Details trigonometrisch ausarbeiten, indem wir die obigen Formeln verwenden und sie für die anpassen$y$Achse, und dann die Rekombination der$x$Und$y$Werte mit Vektoralgebra. Aber das müssen wir nicht – das Symmetrie-Argument ist in diesem Fall stärker.

^{1. „Am größten“ bedeutet hier wirklich „am negativsten“, weil sich das Teilchen im Negativen bewegt$x$Richtung. Diese Werte werden wirklich sein$-F_\text{max}$Und$-v_\text{max}$. Später, wenn sich das Teilchen in die entgegengesetzte Richtung bewegt, sind diese Werte positiv.}

^{2. Die Zeichen zu verstehen, erfordert viel subtile Detailarbeit; Insbesondere müssen Sie verstehen, warum negative Arbeit zu positiver potenzieller Energie wird. Es hilft auch, darüber nachzudenken$r$als Vektor (der eine Richtung hat) anstelle einer Größe (die keine hat). Glücklicherweise bietet die körperliche Intuition in diesem Fall einen zuverlässigen Leitfaden; Wenn sich herausstellt, dass etwas offensichtlich falsch ist, überprüfen Sie Ihre Gedanken noch einmal.}

Um sich durch einen konkaven Pfad zu bewegen, muss ein Agent Kraft auf ein ansonsten linear bewegendes Objekt übertragen. Das Objekt bewegt sich aufgrund seiner Bewegung ohne äußere Kraft immer in Richtung des Geschwindigkeitsvektors im betreffenden Moment oder tendiert dazu, sich zu bewegen.

Wenn also das Objekt eine Kurvenbahn durchqueren muss, ist die Hauptanforderung die Einführung einer Kraft, die die Richtung der Geschwindigkeit so manipuliert, dass die resultierende Ortskurve der erforderliche krummlinige Pfad ist, andernfalls würde sich das Objekt geradeaus bewegen.

Die Richtung der Kraft ist offensichtlich die Richtung der Beschleunigung oder die zeitliche Grenze der Geschwindigkeitsänderung. Um also die Richtung zu finden, stellen wir uns eine unendlich kleine Situation vor.

Kurz einwirken lassen$\Delta t$, die zurückgelegte Strecke ist$v(t)\Delta t$entlang eines Kreisbogens mit Radius$r$. Der gekreuzte Winkel ist dann

$$\Delta\theta = \dfrac{v(t) \Delta t}{r}$$ .

Stellen Sie sich die Winkelhalbierende vor. Betrachten Sie nun die Geschwindigkeitsänderungen parallel und senkrecht zu dieser Winkelhalbierenden. Anfangs hat die Geschwindigkeit eine Komponente$v\sin(\frac{\Delta\theta}{2})$abseits vom Zentrum &$v\cos(\frac{\Delta\theta}{2})$quer.Danach hat es eine Komponente$v\sin(\frac{\Delta\theta}{2})$ Richtung Zentrum &$v\cos(\frac{\Delta\theta}{2})$quer wie vorher. Die Geschwindigkeitsänderung ist also von großer Bedeutung$2v\sin(\frac{\Delta\theta}{2})$in Richtung Mitte des Bogens.

Als$\Delta\theta$ist verschwindend klein,$\sin(\frac{\Delta\theta}{2})$wird ununterscheidbar als$\dfrac{\Delta\theta}{2}$. So können wir setzen

$$|\Delta v(t)| = v^2 \dfrac{\Delta\theta}{r}$$ . Und die Richtung ist in Richtung Zentrum. Somit dreht die Kraft den Positionsvektor entlang der gekrümmten Trajektorie, und die Änderung ist radial nach innen, unabhängig davon, ob sie im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn verfolgt wird.

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Anschaulicher wird das Bild, wenn wir mit Polarkoordinaten rechnen.

Zuerst schreiben wir den Positionsvektor als$\mathbf{r} = r\cdot \mathbf e_r$. Betrachten Sie nun die Änderung von$\mathbf{r}$mit der Zeit. Seine Veränderung während$\Delta t$Ist$r\Delta\theta \cdot \mathbf e_{\theta}$.$e_r \, \textrm{and} \, e_{\theta}$stehen senkrecht zueinander, wobei der erste radial von der Mitte nach außen verläuft. Daher ist die Geschwindigkeit

$$\mathbf v = \dfrac{\mathrm d\mathbf{r}}{\mathrm dt} = r\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}\cdot \mathbf e_{\theta} = \omega r \cdot \mathbf e_{\theta}$$ .

Durch das Setzen$r = 1$, wir bekommen

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} (\mathbf e_r) = \omega \mathbf e_{\theta}\;.$$

Ebenso eine Änderung von$\theta$impliziert eine Änderung von$\mathbf e_{\theta}$.Man kann sehen, dass

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} (\mathbf e_{\theta}) = -\omega \cdot \mathbf e_r\;.$$ Nun differenzieren wir die Geschwindigkeit, $$\mathbf{a} = \omega r \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} (\mathbf e_{\theta}) = -{\omega}^2 r\cdot \mathbf e_r \;.$$ Dieses Ergebnis fällt automatisch mit der richtigen Richtung, die entgegengesetzt ist $\mathbf e_r$dh radial zur Mitte hin.