Wie erhält man Zustandsgleichungen durch Differenzieren eines thermodynamischen Potentials?

Für ein ideales Gas in einem geschlossenen System ist das thermodynamische Potential U, die innere Energie, gegeben durch

$$U(V,S) = U_0 \left( \frac{V_0}{V} \right)^{2/3} \text{e}^{\frac{S-S_0}{C_V}},\quad C_V = \frac{3}{2}Nk_B$$

vgl. zum Beispiel Gl. (5.6) dieses Dokuments . Da es sich um ein thermodynamisches Potential handelt, sollte ich in der Lage sein, Zustandsfunktionen, dh Zustandsgleichungen, abzurufen$U(V,S)$indem man es differenziert.

Ich sollte das ideale Gasgesetz und die kalorische Zustandsgleichung finden, indem ich verwende

$$\begin{align}\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S} = -p \quad &\stackrel{?}\Rightarrow\quad pV=Nk_BT \\ \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V} = T \quad &\stackrel{?}\Rightarrow\quad U=\frac{3}{2}Nk_BT \end{align}$$

Ableitung von nehmen$U$Erträge

$$\begin{align} \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S} &= -U_0 \frac{2}{3}V_0^{2/3}\frac{1}{V^{5/3}} \text{e}^{\frac{S-S_0}{C_V}} = -p\\ \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V} &= U_0 \left( \frac{V_0}{V} \right)^{2/3} \text{e}^{\frac{S-S_0}{C_V}} \frac{1}{C_V} = T \end{align}$$

Ich stehe jetzt vor zwei Möglichkeiten:

1. Beseitigen$U_0$,$V_0$Und$S_0$, was das ideale Gasgesetz liefert,$pV=Nk_BT$. Wo ist das kalorische Eos?
2. Lassen$V\to V_0$Und$S\to S_0$, was wie erwartet beide Zustandsgleichungen liefert. Dies jedoch$X\to X_0$scheint mir ein handwinkendes Argument zu sein.

Warum erhalte ich in Option 1 nur eine Zustandsgleichung? Was ist der Grund für die Durchführung der Substitution wie in Option 2 beschrieben?