Warum muss für ein ideales Gas (∂U∂V)T=0(∂U∂V)T=0\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=0 sein?

Question

Warum muss für ein ideales Gas (∂U∂V)T=0(∂U∂V)T=0\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=0 sein?

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Aus dem idealen Gas (Zustandsgleichung)

\begin{matrix} (1) & v = \frac{N K_{B} T}{P} \end{matrix}

$V=\frac{NK_BT}{P}\tag{1}$

Wo $P$ ist der absolute Druck des Gases, $N$ ist die Anzahl der Moleküle im gegebenen Volumen $V$ , $K_B$ ist die Boltzmann-Konstante, und $T$ ist die absolute (thermodynamische) Temperatur.

Die allgemeine Gleichung für die innere Energie $U$ eines idealen Gases ist gegeben durch

U = \frac{1}{2} N_{D} N K_{B} T = \frac{1}{2} N_{D} P v mit (1)

$\fbox{$U=\frac12 n_dNK_BT=\frac12 n_dPV$}\qquad\text{using (1)}$ Wo

n_{d}

$n_d$ ist die Anzahl der Freiheitsgrade der Gasmoleküle.

Wenn der ideale Gasdruck konstant gehalten wird, weiß ich das

\begin{matrix} (2) & {(\frac{\partial v}{\partial T})}_{P} = {(\frac{\partial (\frac{N K_{B} T}{P})}{\partial T})}_{P} = \frac{N K_{B}}{P} \end{matrix}

$\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}=\left(\frac{\partial \left(\frac{NK_BT}{P}\right)}{\partial T}\right)_{P}=\frac{NK_B}{P}\tag{2}$

Aber nach meiner Logik bei konstanter Temperatur

{(\frac{\partial U}{\partial v})}_{T} = {(\frac{\partial (\frac{1}{2} N_{D} P v)}{\partial v})}_{T} = \frac{1}{2} N_{D} P \neq 0

$\fbox{$\color{red}{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=\left(\frac{\partial \left(\frac12 n_dPV\right)}{\partial V}\right)_{T}=\frac12 n_dP\ne 0}$}$

Der Grund, warum ich diese Frage stelle, ist, dass sie Teil des Beweises für die Wärmekapazität bei konstantem Druck ist $C_P$ bezieht sich auf die Wärmekapazität bei konstantem Volumen $C_V$ :

C_{P} = ({(\frac{\partial U}{\partial v})}_{T} + P) {(\frac{\partial v}{\partial T})}_{P} + C_{v}

$C_P=\left(\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}+P\right)\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}+C_V$

⟹ C_{P} = N K_{B} + C_{v}

$\implies \bbox[yellow]{C_P = NK_B+C_V}$

Wobei der gelb markierte Teil nur iff gilt

{(\frac{\partial U}{\partial v})}_{T} = 0

$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=0$ Und

(2)

$(2)$ ist richtig.

Kann mir bitte jemand erklären warum

{(\frac{\partial U}{\partial v})}_{T} = 0

$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=0$ und nicht

\frac{1}{2} n_{d} P

$\frac12 n_dP$ ?

Notiz:

Bei Bedarf/Anfrage kann ich einen Auszug der Buchableitung der hervorgehobenen Formel hochladen.

K_invers

Für die rote Farbgleichung wird nur die Temperatur konstant gehalten (dh P kann sich ändern, wenn Sie V ändern). Daher ist die partielle Differenzierung dort nicht korrekt.

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@QMM Vielen Dank für die Klarstellung, es beginnt jetzt Sinn zu machen.

Antworten (2)

Warum muss für ein ideales Gas (∂U∂V)T=0(∂U∂V)T=0\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=0 sein?

Für die rote Farbgleichung wird nur die Temperatur konstant gehalten (dh P kann sich ändern, wenn Sie V ändern). Daher ist die partielle Differenzierung dort nicht korrekt.
@QMM Vielen Dank für die Klarstellung, es beginnt jetzt Sinn zu machen.

Zitrone · Answer 1

Ihre rote Gleichung ist falsch. Erinnern Sie sich an das Festnetz $T$ , $P$ ist eine Funktion von $V$ . Also haben Sie stattdessen

{(\frac{\partial U}{\partial v})}_{T} = \frac{1}{2} N_{D} P + \frac{1}{2} N_{D} v \frac{\partial P}{\partial v}

$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T=\frac{1}{2}n_dP + \frac{1}{2}n_dV\frac{\partial P}{\partial V}$

Auswerten $\partial P/\partial V$ mit Gl. (1) und fertig.

Vielen Dank für eine wirklich effiziente und hervorragende Antwort, sehr beeindruckend (+1 natürlich!). Grüße.

velut luna · Answer 2

Beim Rechnen $\left(\frac{\partial U} {\partial V}\right)_T$ musst du bedenken $U$ als Funktion von $V$ Und $T$ . Deshalb $P$ ist keine unabhängige Variable. Wenn du schreibst

U = \frac{N_{D}}{2} P v

$U=\frac{n_d}{2}PV$ dann musst du dich erinnern

P

$P$ ist auch eine Funktion von

V

$V$ Und

T

$T$ . Ausdrücklich,

\begin{aligned} U (v, T) & = \frac{N_{D}}{2} P (v, T) v \\ = \frac{N_{D}}{2} \frac{N k_{B} T}{v} v \\ = \frac{N_{D}}{2} N k_{B} T \end{aligned}

$\begin{align}U(V,T) &=\frac{n_d}{2}P(V,T)V\\ &=\frac{n_d}{2}\frac{Nk_BT}{V}V\\ &=\frac{n_d}{2}Nk_BT\end{align}$ und daher

{(\frac{\partial U}{\partial v})}_{T} = 0 .

$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T=0\;.$

Alternative,

\begin{aligned} U (v, T) & = \frac{N_{D}}{2} P (v, T) v \\ {(\frac{\partial U}{\partial v})}_{T} & = \frac{N_{D}}{2} \frac{\partial}{\partial v} (P v) \\ = \frac{N_{D}}{2} [P + v {(\frac{\partial P}{\partial v})}_{T}] \\ = \frac{N_{D}}{2} [P + v {(\frac{\partial}{\partial v} \frac{N k_{B} T}{v})}_{T}] \\ = \frac{N_{D}}{2} [P - v \frac{N k_{B} T}{v^{2}}] \\ = \frac{N_{D}}{2} [P - \frac{N k_{B} T}{v}] \\ = 0 . \end{aligned}

$\begin{align}U(V,T)&=\frac{n_d}{2}P(V,T)V\\ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T &=\frac{n_d}{2}\frac{\partial}{\partial V}(PV)\\ &=\frac{n_d}{2}\left[P+V\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_T\right]\\ &=\frac{n_d}{2}\left[P+V\left(\frac{\partial}{\partial V}\frac{Nk_BT}{V}\right)_T\right] \\ &=\frac{n_d}{2}\left[P-V\frac{Nk_BT}{V^2}\right]\\ &=\frac{n_d}{2}\left[P-\frac{Nk_BT}{V}\right]\\ &=0\;.\end{align}$

Vielen Dank für Ihre Antwort. Also nur um klar zu sein; Der Grund warum $\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T=0$ liegt im Wesentlichen daran, dass die $V$ stornieren? Oder steckt mehr dahinter? Ansonsten super Antwort! (+1).
Nur eine letzte Frage; Sie erwähnen am Anfang Ihrer Antwort, dass "Sie überlegen müssen $U$ als Funktion von $V$ Und $T$ ". Warum ist das? Warum nicht überlegen $U$ als Funktion von $P$ Und $T$ oder $U$ als Funktion von $V$ Und $P$ ? Grüße.

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