Wie finde ich g(r)g(r)g(r) aus der Ornstein-Zernike-Gleichung für eine Flüssigkeit mit harter Kugel in der Percus-Yevick-Näherung?

Question

Wie finde ich g(r)g(r)g(r) aus der Ornstein-Zernike-Gleichung für eine Flüssigkeit mit harter Kugel in der Percus-Yevick-Näherung?

Physik
Thermodynamik
Phasenübergang
kritische Phänomene
Statistische Mechanik

Megament

Ich habe diese Arbeit von Thiele gelesen [J. Chem. Phys. 39, 474 (1963)], der die direkte Korrelationsfunktion erhalten hat $c(r)$ für ein Hartkugelsystem unter Verwendung der Percus-Yevick-Näherung.

Meine Frage ist, wie finde ich $g(r)$ davon?

In Torquatos Random Heterogeneous Materials hat er geschrieben

\frac{P}{ρ k T} = 1 + 2^{D - 1} η G_{2} (D^{+})

$\frac{p}{\rho kT} = 1+2^{d-1}\eta g_2 (D^{+})$ Wo

g_{2} (D^{+})

$g_2(D^+)$ ist der Kontaktwert von der rechten Seite der radialen Verteilungsfunktion, und

η

$\eta$ ist eine dimensionslose reduzierte Dichte.

Nach ein paar Zeilen stellt er fest, dass wir für harte Kugeln über die Ornstein-Zernike-Gleichung die obige Gleichung in Bezug auf die direkte Korrelationsfunktion umschreiben können $c(r)$ als

\frac{P}{ρ k T} = 1 + 2^{D - 1} η [C (D^{+}) - C (D^{-})]

$\frac{p}{\rho kT} = 1+2^{d-1}\eta [c(D^+)-c(D^-)]$

Wie kommt er zu diesem Schluss?

Das sagt Ornstein-Zernike

H (R_{12}) = C (R_{12}) + ρ \int D R_{3} C (R_{13}) H (R_{32})

$h(r_{12}) = c(r_{12}) + \rho \int d\mathbf{r}_3 c(r_{13})h(r_{32})$ was nach einer Fourier-Transformation wird

\hat{C} (k) = \frac{\hat{H} (k)}{1 + ρ \hat{H} (k)}

$\hat{C} (\mathbf{k}) = \frac{\hat{H}(\mathbf{k})}{1+\rho \hat{H}(\mathbf{k})}$

Ich sehe jedoch nicht, wie ich dies auf die zweite Gleichung, die er hat, vereinfachen soll. Ich würde mich über jeden Ratschlag freuen, den Sie haben.

Was ich tun möchte, ist tabellarische Werte von $g(r)$ , für unterschiedliche Werte von $r$ größer als $\sigma$ . Verwenden $g(r)$ Ich möchte die reduzierte Dichte berechnen, $p/\rho k T$ , und vergleiche es mit den Werten, die ich von Stirling-Carnahan für die reduzierte Dichte bekomme.

Antworten (1)

Wie finde ich g(r)g(r)g(r) aus der Ornstein-Zernike-Gleichung für eine Flüssigkeit mit harter Kugel in der Percus-Yevick-Näherung?

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90 · Answer 1

Finden der expliziten analytischen Form von $g(r)$ für alle Entfernungen ist machbar, aber nicht einfach. Der grundlegende Schritt ist in Wertheims Lösung (Wertheim, MS (1963). Exakte Lösung der Percus-Yevick-Integralgleichung für harte Kugeln . Physical Review Letters, 10(8), 321 ).

Allerdings, wenn das Problem nur der Kontakt wert ist $g(r)$ , die Lösung ist viel einfacher. Es basiert darauf, dass, obwohl $g(r)$ Und $c(r)$ sind im Durchmesserabstand diskontinuierlich $r=\sigma$ , ihre Differenz muss stetig sein. Dies ist eine triviale Folgerung aus der Ornstein-Zernike-Gleichung: $h(r)-c(r)$ ist eine Faltung zweier Funktionen mit einer Diskontinuität bei $\sigma$ . Es muss also stetig at sein $\sigma$ (Ein möglicher Weg, sich von dieser Tatsache zu überzeugen, ist die Fourier-Darstellung von OZ, die zeigt, dass der führende Term des asymptotischen Verhaltens von $\hat{C} (\mathbf{k})$ Und $\hat{H} (\mathbf{k})$ muss das Selbe sein).

Deshalb, $g(\sigma^+)-g(\sigma^-)= c(\sigma^+)-c(\sigma^-)$ . Aber seit $g(\sigma^-)=0$ (Kernzustand) und $c(\sigma^+)=0$ (Percus-Yevick-Näherung), aus der Kenntnis von $c(r)$ Innerhalb des Kerns ist es möglich, den Kontaktwert zu erhalten $g(r)$ .

Danke für deine Antwort @GiorgioP. Was ich tun möchte, ist tabellarische Werte von $g(r)$ , und sehen Sie, wie der Wert von $g(r)$ verhält sich im Kern $r<\sigma$ . Verwenden $g(r)$ Ich möchte die reduzierte Dichte berechnen, $p/\rho k T$ , und vergleiche es mit den Werten, die ich von Stirling-Carnahan bekomme. Ich habe die Frage aktualisiert.
@megamence Ich verstehe nicht was du machen willst. Bauartbedingt ist die $g(r)$ entsprechend der PY-Lösung ist Null innerhalb des Kerns (diese Bedingung wird verwendet, um die Form abzuleiten von $c(r)$ für $r<0$ ). Andererseits ist das Argument, das ich oben gegeben habe, genug, um zu bekommen $g(\sigma^+)=-c(\sigma^+)$ . Daher reicht es aus, zu bewerten $-c(\sigma^+)$ um den Kompressibilitätsfaktor zu erhalten $p/\rho k T$ .
Ich entschuldige mich für die Verwirrung, es waren ein paar lange Tage. Ich möchte eine Funktion von finden $r$ und sehen, wie es sich für verschiedene Werte von verhält $\eta$ . Einmal habe ich $g(r)$ , ich möchte die reduzierte Dichte berechnen.
@megamence In Wertheims Artikel, den ich zitiert habe, finden Sie möglicherweise auch den Ausdruck für $g(r)$ für $r>\sigma$ . Es ist nicht möglich, die Details des Algorithmus und seiner Implementierung in einem Kommentar zu diskutieren, und selbst eine bestimmte Frage würde auf dieser Website wahrscheinlich als Off-Topic (Hausaufgaben-ähnlich) angesehen werden.

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