Wie funktioniert eine Halbwertszeit?

Der richtige Weg, darüber nachzudenken, ist, dass jedes einzelne Kohlenstoff-14-Atom über einen Zeitraum von 5.730 Jahren eine 50-prozentige Chance hat, zu zerfallen . Da eine typische Probe eine große Anzahl von Atomen ¹ enthält und diese mehr oder weniger unabhängig voneinander zerfallen ² , können wir statistisch mit sehr hoher Genauigkeit sagen, dass nach 5.730 Jahren die Hälfte aller ursprünglichen Kohlenstoff-14-Atome zerfallen sein wird, während der Rest noch bleibt.

Um Ihre nächste natürliche Frage zu beantworten, nein, dies bedeutet nicht, dass die verbleibenden Kohlenstoff-14-Atome „kurz vor dem Zerfall“ stehen würden. Atomkerne haben im Allgemeinen kein Gedächtnis ³ : Solange er nicht zerfallen ist, ist ein Kohlenstoff-14-Kern, der gestern entstanden ist, genau identisch mit einem, der vor einem Jahr oder vor 10.000 Jahren oder sogar vor einer Million Jahren entstanden ist. All diese Kerne, sofern sie heute noch existieren, haben die gleiche Wahrscheinlichkeit von 50 %, dass sie innerhalb der nächsten 5.730 Jahre zerfallen.

Wenn Sie möchten, können Sie sich vorstellen, dass jeder Kohlenstoff-14-Kern wiederholt sehr schnell eine sehr voreingenommene imaginäre Münze wirft (schneller, als wir möglicherweise messen könnten): Bei jedem Wurf kommt die Münze mit einer sehr, sehr geringen Chance auf Kopf und den Kern zerfällt; Andernfalls kommt es zu Schwänzen, und der Kern bleibt vorerst zusammen. Über einen Zeitraum von, sagen wir, einer Sekunde oder einem Tag, ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem der Münzwürfe Kopf fällt, immer noch winzig – aber über 5.730 Jahre summieren sich die vielen, vielen winzigen Chancen allmählich zu einer kumulativen Zerfallswahrscheinlichkeit von etwa 50%.

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_{¹ Ein Gramm Kohlenstoff enthält etwa 0,08 Mol oder etwa 5 × 10 ²² Atome. In einer typischen natürlichen Probe wird etwa eins zu einer Billion (1/10 ¹² ) davon Kohlenstoff-14 sein , was uns etwa 50 Milliarden (5 × 10 ¹⁰ ) Kohlenstoff-14-Atome in jedem Gramm Kohlenstoff ergibt.}

_{² Induzierter radioaktiver Zerfall tritt auf, vor allem bei Spaltungskettenreaktionen . Kohlenstoff-14 unterliegt jedoch einem spontanen β ⁻ -Zerfall , dessen Geschwindigkeit normalerweise nicht in nennenswertem Maße durch äußere Einflüsse beeinflusst wird.}

_{³ Kernisomere und andere angeregte Kernzustände existieren, daher ist es nicht ganz richtig zu sagen, dass alle Kerne eines bestimmten Isotops immer identisch sind. Dennoch können selbst diese in der Praxis effektiv als diskrete Zustände modelliert werden, wobei spontane Übergänge zwischen verschiedenen Zuständen zufällig mit einer festen Rate über die Zeit auftreten, genau wie Kernzerfallsereignisse.}

Ich weiß genau, woher du kommst. Wenn ich es in meine eigenen Worte fassen kann: Wenn ein Sample eine gewisse Zeit zum Abklingen benötigt, sollte dann nicht ein halb so großes Sample die halbe Zeit zum Abklingen benötigen? Ich bin diesem scheinbar vernünftigen, aber irgendwie falschen Glauben mehr als einmal verfallen.

Hier ist eine Grafik, die zeigt, was Sie meiner Meinung nach derzeit denken.

Die horizontale Achse ist die Zeit. Auf dem vertikalen I-Diagramm ist die verbleibende Probenmenge dargestellt. Dieses Diagramm wäre wahr, wenn die Hälfte der Probe die Hälfte der Zerfallszeit benötigte. (Können Sie das in der Grafik sehen? Sehen Sie sich das an$t=T/2$wo Zeit$T$ist, wenn die Probe weg ist.) Ich denke, das macht in gewisser Weise Sinn, aber so funktioniert die Natur nicht.

Hier ist nun ein Diagramm dessen, was tatsächlich passiert.

Dieser Graph ist "exponentiell abfallend". Dies ist eine Folge des Folgenden: Ein Sample, das halb so groß ist, wird mit der halben Rate abklingen. Dies macht (zum Glück) auch Sinn: Wenn Sie die Hälfte der Sample-Größe haben, haben Sie die Hälfte der Decay-Rate. Beachten Sie im Gegensatz dazu, dass der erste Graph unabhängig von der Größe der Stichprobe eine konstante Zerfallsrate aufweist (d. h. eine konstante Steigung).

Diese beiden Möglichkeiten schließen sich also gegenseitig aus: Entweder ist die Zerfallsrate unabhängig von der Größe konstant (erste Grafik) oder die Zerfallsrate ist proportional zur Stichprobengröße (zweite Grafik). Die Beobachtung zeigt, dass die zweite Grafik korrekt ist.

Sollte es nicht logischerweise 2.865 Jahre dauern, bis das Viertel zerfällt, anstatt 5.730?

Stellen Sie sich vor, dass die Menge$q(n)$von etwas zerfällt als

$$q(n) = Q\cdot 2^{-n}$$

wo$n$ist die Anzahl der Halbwertszeiten .

Am Anfang steht die Menge$q(0) = Q\cdot 2^0 = Q$von etwas.

Nach 1 Halbwertszeit gibt es$q(1) = Q \cdot 2^{-1} = \frac{Q}{2}$verblieben.

Nach 2 Halbwertszeiten gibt es$q(2) = Q \cdot 2^{-2} = \frac{Q}{4}$verblieben.

Nach 3 Halbwertszeiten gibt es$q(3) = Q \cdot 2^{-3} = \frac{Q}{8}$verblieben.

Nach 4 Halbwertszeiten...

Beachten Sie nun, dass die Menge$\frac{q(n+1)}{q(n)} = \frac{1}{2}$ist konstant .

Das heißt, dass bei einer gegebenen Menge zu einem beliebigen Zeitpunkt (nicht nur am "Startpunkt") eine Halbwertszeit später die Hälfte dieser Menge zerfallen ist. Dies ist die Bedeutung der Halbwertszeit.

Aus dem verlinkten Wikipedia-Artikel:

Die Halbwertszeit (t½) ist die Zeitdauer, die eine Größe benötigt, um auf die Hälfte ihres zu Beginn des Zeitraums gemessenen Werts abzufallen.

Angenommen, Sie beginnen mit zwei Kilogramm C-14. Nach 5730 Jahren bleibt ein Kilogramm übrig. Nennen Sie dieses Stück A. Nehmen Sie jetzt ein weiteres Kilogramm C-14, nennen Sie es Stück B und legen Sie es neben Stück A.

Sie haben jetzt zwei identische C-14-Stücke, und doch soll eines (A) in 2865 Jahren zur Hälfte und das andere (B) in 5730 Jahren zur Hälfte zerfallen? Siehst du, dass das keinen Sinn macht?

Hoffentlich überzeugt Sie das davon, dass die Geschwindigkeit, mit der ein radioaktives Element zerfällt, nur davon abhängen kann, wie viel davon in diesem Moment vorhanden ist, nicht davon, wie viel von der ursprünglichen Probe übrig ist.

Dies ist etwas, von dem ich glaube, dass keine der anderen Antworten explizit angesprochen wurde, aber Nick Stauner hat in einem Kommentar darauf angespielt .

Versuchen Sie als grobe Analogie, um Ihnen etwas Intuition zu geben, Folgendes: Legen Sie 100 Cent in einen Schuhkarton, alle mit Kopf nach oben. Schütteln Sie den Schuhkarton kräftig. Nehmen Sie alle Pennies heraus, die sich in Zahl verwandelt haben. Das ist eine Halbwertszeit. Schütteln Sie die Schachtel erneut und nehmen Sie erneut die Münzen heraus, die mit der Spitze nach oben zeigen. Wiederholen, bis keine Pfennige mehr in der Schachtel sind.

Die Idee dabei ist, dass Heads-up-Pennies Kohlenstoff-14-Atome darstellen. Die Pfennigschwänze stellen die Atome dar, die zerfallen sind. Jedes Mal, wenn Sie die Schachtel schütteln, besteht für jeden einzelnen Penny eine 50:50-Chance, dass der Schwanz nach oben zeigt, genauso wie für jedes einzelne Atom eine 50:50-Chance besteht, dass es während einer Halbwertszeit zerfällt.

Die Halbwertszeit wird verwendet, um den exponentiellen Zerfall zu beschreiben. Was Sie beschreiben, wäre ein linearer Zerfall.

In einer Halbwertszeit würde im Durchschnitt die Hälfte der C14-Atome zerfallen. Man würde also erwarten, dass man, wenn man mit vier C14-Atomen beginnt, nach einer Halbwertszeit zwei hat und nach einer weiteren Halbwertszeit nur noch eines übrig bleibt.

Beachten Sie jedoch, dass dieser Prozess eine zufällige Komponente hat. Sie können nicht genau vorhersagen, wann ein einzelnes Atom zerfallen wird. Sobald Sie jedoch eine größere Anzahl von Atomen haben, können Sie genaue Vorhersagen darüber treffen, wie viele nach einer bestimmten Zeit noch übrig sein werden.

Grundsätzlich ist der Kernzerfall seiner Natur nach wahrscheinlichkeitstheoretisch. Was es bedeutet, ist, dass man nicht mit Überzeugung sagen kann, dass, sagen wir, ein Atom, das auf einem Tisch liegt, in, sagen wir, der nächsten 1 Minute zerfallen wird. Alles, was man sagen kann, ist, dass von einer gegebenen Probe von beispielsweise 100 Kernen 10 % davon in der nächsten 1 Minute zerfallen werden.

Der Kernzerfall folgt der sogenannten Kinetik erster Ordnung, was bedeutet, dass die Reaktionsgeschwindigkeit direkt proportional zur Menge des vorhandenen Reaktanten ist. Mit anderen Worten,

$$d/dx(C) = -k C$$

wobei C die aktuelle Konzentration des Reaktanten und k die Proportionalitätskonstante ist.

Aus dieser Berechnung kann man einen Begriff namens Halbwertszeit erhalten, was bedeutet, dass nach Ablauf dieser Zeit die Hälfte der Konzentration zerfällt (ich verwende austauschbar und reagiert, da die Reaktion beim Kernzerfall Zerfall ist). .

Das bedeutet, dass eine Probe von 100 Atomen nach einer Halbwertszeit 50 bleiben würde$=100 * (1/2)^1$, was nach 2 Halbwertszeiten 25 werden würde$=100 * (1/2)^2 = 50 * (1/2)^1$usw...

Angenommen, der Zerfall funktioniert so, wie Sie es vorgeschlagen haben, dann brauchen halb so viele Atome halb so lange, um zu zerfallen. Es klingt zunächst irgendwie plausibel, aber bedenken Sie Folgendes: Woher weiß ein Atom, wann es zerfallen darf? Es kann nicht einfach würfeln und zerfallen, wenn es eine 1 würfelt, es muss wissen, wie groß die Stichprobe ist, in der es sich befindet, und seine Zerfallswahrscheinlichkeit entsprechend anpassen. Wenn es seine Zerfallswahrscheinlichkeit nicht anpassen würde, würde man einen exponentiellen Zerfall erwarten, denn:

Gedankenexperiment: Wirf einen 20-seitigen Würfel. Wenn Sie eine 1 würfeln, zerfällt sie. Wie viele Würfe braucht man, um eine Verwesungswahrscheinlichkeit von 50 % zu erreichen? (Tipp: es sind nicht 10) Wie viele Würfe um 100% zu bekommen?

Gedankenexperiment 2: Wirf hundert 20-seitige Würfel. Jeder Würfel, der auf 1 landet, zerfällt. Wie viele haben Sie wahrscheinlich nach der ersten Runde übrig? Sollte es im Durchschnitt länger dauern, bis sie alle zerfallen, als wenn Sie nur 1 hätten?

Gedankenexperiment 3: So viele Würfel wie Atome in einem großen Stück Material. Wie verhält es sich?

Es sollte klar sein, dass Sie im Durchschnitt 5% der Würfel , die Sie übrig hatten (nicht wie viele Sie zu Beginn hatten, was das System nicht merken kann) pro Runde verlieren - exponentieller Verfall. Die "Halbwertszeit" dieser Würfel beträgt etwa 13,5 Runden, so lange dauert es, bis etwa die Hälfte zerfallen ist.

Ich glaube, Sie sind einfach durch die Sprache verwirrt. Denken Sie daran, dass es sich um ein Viertel der ursprünglichen Probe handelt. Es ist also wie Zinseszins bei der Bank. Sie beginnen mit dem anfänglichen Kapital, sobald die Zinsen verzinst sind, könnten Sie sagen, dass der Prozentsatz dieses Kapitals zum „Hauptbetrag“ HINZUGEFÜGT wird, und dann wird ein Prozentsatz davon berechnet und zu dieser zweiten Zahl hinzugefügt. Ähnlich verhält es sich mit dem nuklearen Zerfall, außer dass Sie subtrahieren und eine gerade Hälfte über ein Jahr subtrahieren, anstatt jeden Monat etwa 0,05 % hinzuzufügen (oder welche Zahl auch immer die Banken verwenden).

Die Hälfte dieser zweiten Probe ist ein Viertel des Originals. Man könnte also diesen Bruchteil des Originals ausdrücken als$\frac{1}{2^n}$wo$n =$die Zeiteinheit für Ihre Konstante. In diesem Fall ein Jahr. Also für jedes Jahr$\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}$, etc.

Die Masse radioaktiver Stoffe folgt der gewöhnlichen Differentialgleichung:

$$m'(t)=-am(t),$$ wo $m$ist die Masse und $a$eine positive Konstante – dh eine konstante relative Zerfallsrate.

Dies impliziert

$$m(t)=m(0)\mathrm{e}^{-at}. \tag{1}$$ Wenn $T_h$ist also das halbe Leben $$m(T_h)=m(0)\mathrm{e}^{-aT_h}=\frac{1}{2}m(0),$$ was das impliziert $$T_h=\frac{\log 2}{a},$$ und daher $(1)$kann auch geschrieben werden als $$m(t)=2^{-t/T_h}m(0).$$ Also das Viertel-Leben ist $T_Q$, wofür $m(T_Q)=\frac{1}{4}m(0)$oder $$m(T_Q)=2^{-T_Q/T_h}m(0)=\frac{1}{4}m(0),$$ was nur gilt, wenn $T_Q=2T_h$!

Stellen Sie sich eine Probe von 1000 Atomen mit einer Halbwertszeit von 1 Stunde vor.

Das bedeutet, dass die Probe jede Stunde auf 50 % ihrer Größe reduziert wird.

Nach einer Stunde bleiben 500 Atome übrig. Wie viel Zeit, um diese neue Probe (500 Atome) auf 50 % (250 Atome) zu reduzieren?

In deiner Deutung:

Damit die neue Probe auf 50 % reduziert werden kann, muss sie 250 Atome verlieren. Da es in 1 Stunde 500 Atome verloren hat, sollte es 30 Minuten dauern, um 250 Atome zu verlieren. Und da liegst du falsch. Es dauert immer noch 1 Stunde, bis die Hälfte der Atome zerfallen ist.

Sie nehmen an, dass die Anzahl der mit der Zeit zerfallenden Atome (500/Stunde) konstant ist, aber das ist nicht der Fall.

Was konstant ist, ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Atom, das in einer Stunde zerfällt: 50% (In diesem Beispiel bedeutet das, dass wir erwarten können, dass 250 Atome nach 1 Stunde zerfallen sind, und es wird viel genauer, wenn die Anzahl der "echten" Atome länger ist Zeitraum)

Vereinfacht gesagt: Das Tätigkeitsrecht besagt:

dn/dt ist proportional zu n. was bedeutet

Die Reaktionsgeschwindigkeit einer Substanz hängt von der Menge der Substanz selbst ab. Da anfangs eine größere Menge Kohlenstoff vorhanden ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil davon zerfällt, höher als bei einer geringeren Menge.

Es ist eine einzelne Zahl zum Aufzinsen von Abnahmen

Halbwertszeiten sind im Grunde dasselbe wie „Zeitverdoppelung“ beim Investieren, nur halbieren.

Die Regel von 72: Aufzinsung erhöht

Mit der „72er-Regel“ können Sie abschätzen, wie lange es dauert, bis sich Ihr Geld bei einem bestimmten Zinssatz verdoppelt. Wenn Sie zum Beispiel 9 % Zinsen pro Jahr bekommen, 72/9sind das 8, also würde sich laut Regel Ihr Geld in etwa 8 Jahren verdoppeln.

Sie können diese Verdopplung sehen, wenn Sie einfach einen Betrag mit 1.09multiplizieren und dann das Ergebnis mit multiplizieren 1.09, weiter und weiter. (Ich versuche hier nicht, genau zu sein, also verwende ich nur ganze Zahlen für die Ergebnisse.) Alle 8 Runden verdoppelt sich die Menge.

0:    100,000
1:    109,000
2:    118,810
3:    129,503
4:    141,158
5:    153,862
6:    167,710
7:    182,804
8:    199,256 - about double
9:    217,189
10:   236,736
11:   258,,043
12:   281,266
13:   306,580
14:   334,173
15:   364,248
16:   397,031 - about double again
17:   432,763
18:   471,712
19:   514,166
20:   560,441
21:   610,881
22:   665,860
23:   725,787
24:   791,108 - about double again
... and so on

Dies ist eindeutig nicht sehr genau; Die Regel von 72 ist nur eine Annäherung, die Sie in Ihrem Kopf machen können. Die genaue Formel finden Sie im Wikipedia-Artikel .

Halbwertszeiten: Die Aufzinsung nimmt ab

Halbwertzeiten sind die gleiche Idee, aber mit negativen Zinsen (stellen Sie sich Gebühren auf einem Bankkonto oder Inflation vor). Wenn ein Betrag pro Jahr um 9 % abnimmt , wird er sich in etwa 8 Jahren halbieren, in weiteren 8 Jahren wieder halbieren usw.

Sie können dies sehen, wenn Sie einfach einen Betrag mit 0.91multiplizieren, dann das Ergebnis mit multiplizieren 0.91, weiter und weiter. (Auch hier versuche ich nicht, genau zu sein, also verwende ich nur ganze Zahlen für die Ergebnisse.) Alle 8 Runden beträgt die Menge etwa die Hälfte.

0:    100,000
1:    92,000
2:    84,640
3:    77,869
4:    71,639
5:    65,908
6:    60,636
7:    55,785
8:    51,322 - about half
9:    47,216
10:   43,439
11:   39,964
12:   36,767
13:   33,825
14:   31,119
15:   28,630
16:   26,339 - about half again
17:   24,232
18:   22,294
19:   20,510
20:   18,869
21:   17,360
22:   15,971
23:   14,693
24:   13,518 - about half again
... and so on

Halbwertszeiten sind einfacher zu vergleichen als prozentuale Abnahmen

Anstelle von Halbwertszeiten könnten wir also prozentuale Zerfälle verwenden. Aber Zerfallsraten sind sehr extrem weit verbreitet, so dass wir anders als in Finanzberechnungen, wo "pro Jahr" immer eine vernünftige Zeitskala ist, eines von zwei unangenehmen Dingen tun müssten:

1. Verwenden Sie für alles die gleiche Einheit, wie "Prozent Zerfall pro Nanosekunde", obwohl dies für einige Isotope ein großer Prozentsatz und für andere ein extrem kleiner Prozentsatz wäre
2. Verwenden Sie sowohl Prozent- als auch Zeiteinheiten, wie "dieses Isotop zerfällt um 1% pro Jahr und dieses um %3 pro Minute und dieses um 0,001% pro Jahrtausend" oder was auch immer.

Wenn wir stattdessen Halbwertszeiten verwenden, haben wir eine einzige Zahl, die einfach zu vergleichen ist – zB „Halbwertszeit von einer Millisekunde“ vs. „Halbwertszeit von 10 Milliarden Jahren“.

Halbwertszeit 1 = 5.730 Jahre, während das Verhältnis 1: 1 beträgt

Halbwertszeit 2 = 11.460 Jahre, während das Verhältnis 1:3 beträgt

Halbwertszeit 3 ​​= 17.190 Jahre bei einem Verhältnis von 1:7

Halbwertszeit 4 = 22.920 Jahre, während das Verhältnis 1:15 beträgt

Um die 2-4 Halbwertszeiten zu erhalten, addieren Sie einfach jedes Mal die 5.730.

Also, wie ich die zweite Halbwertszeit bekommen habe, würden Sie 5.730 + 5.730 = 11.460 machen