Ist die Halbwertszeit ein statistischer Durchschnitt variabler Abklingzeiten?

Die Halbwertszeit ist per Definition die Zeitspanne, bis die Hälfte einer unendlich großen Probe zerfällt. Das entspricht (nach frequentistischer Wahrscheinlichkeitsinterpretation, falls es Ihnen wichtig ist) genau der Zeit, bis die Zerfallswahrscheinlichkeit eines einzelnen Teilchens die Hälfte erreicht. Die Halbwertszeit ist eine theoretische Größe, die nicht von der tatsächlichen Anzahl der Teilchen abhängt, mit denen Sie es zu tun haben.

Wenn Sie tatsächlich 8 Teilchen in eine Kiste stecken und beobachten, wie lange es dauert, bis die Hälfte davon zerfallen ist, könnten Sie dies als Maß für die Halbwertszeit der Teilchen betrachten. Wie bei jeder Messung entspricht der von Ihnen gemessene Wert im Allgemeinen nicht dem wahren (theoretischen) Wert. Also ja, es wird Fluktuationen geben, und sobald die Anzahl der verbleibenden Teilchen auf zwei oder eins oder null fällt, werden diese Fluktuationen sehr, sehr groß sein. Was jedoch schwankt, ist Ihre Messung der Halbwertszeit, nicht die wahre theoretische Halbwertszeit selbst.

Ja, es ist ein statistischer Durchschnitt in dem Sinne, dass sich die gemessene Halbwertszeit einem einzelnen Wert einer wahren Halbwertszeit annähert, wenn Sie viele Messungen durchführen.

Mit anderen Worten, wenn Sie das Experiment viele, viele Male durchgeführt haben, würden Sie feststellen, dass Sie nach Ablauf einer Halbwertszeit im Durchschnitt noch 4 Teilchen übrig haben.

Für jedes einzelne Experiment würden die Ergebnisse variieren.

Jedes Atom hat eine Wahrscheinlichkeit, nach einer gewissen Zeit intakt zu überleben$t$entsprechend

Wenn Sie dann 4 Halbwertszeiten warten$t = 4\ln 2/\lambda$und die Überlebenswahrscheinlichkeit eines einzelnen Teilchens ist$\exp(-4\ln 2) = 0.0625$.

In der Praxis muss man eine ganzzahlige Anzahl von Teilchen haben, so dass die wahrscheinlichsten Ergebnisse sind, dass entweder 1 oder null intakte Atome übrig bleiben.

Wenn Sie 8 Atome haben und die Wahrscheinlichkeit, dass eines von ihnen zerfallen ist, ist$p=0.0625$, dann kann man die binomiale Wahrscheinlichkeitsverteilung verwenden , um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine beliebige Zahl$n$wird von einer Bevölkerung von überleben$N$ist

So$P(0)= 0.597$,$P(1) = 0.318$,$P(2)= 0.037$usw.

Wenn Sie nun die Halbwertszeit auf der Grundlage eines einzigen Experiments mit diesen 8 Atomen abschätzen möchten, sehe ich (mindestens) zwei Möglichkeiten.

(i) Wenn Sie die Zeit messen, die für den 4. Zerfall benötigt wird, können Sie berechnen$P(4)$wie oben, aber berechnen Sie es für einen Bereich möglicher Werte von$\lambda$. Dadurch erhalten Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für$\lambda$woraus Sie den Maximum-Likelihood-Wert oder ein Konfidenzintervall finden können.

(ii) Wenn Sie die individuellen Zerfallszeiten jedes Zerfalls haben, dann können Sie für jedes Atom eine Wahrscheinlichkeit berechnen, dass es bei einer gegebenen Annahme in weniger als seiner beobachteten Zerfallszeit zerfallen wäre$\lambda$, welches ist$P_i(\lambda) = (1- \exp[-\lambda t_i])$. Sie können auch alle Atome einbeziehen, die nicht zerfallen sind,$P_i(\lambda) = \exp[-\lambda t_i]$. Sie bilden dann das Produkt dieser Wahrscheinlichkeiten$P(\lambda)= \prod P_i(\lambda)$um Ihnen eine allgemeine Wahrscheinlichkeitsverteilung für zu geben$\lambda$, aus der Sie einen maximalen Wahrscheinlichkeitswert für schätzen können$\lambda$und ein Konfidenzintervall.