Kann 1 Kilogramm radioaktives Material mit einer Halbwertszeit von 5 Jahren einfach in der nächsten Minute zerfallen?

Die kurze Antwort ist ja . Egal wie viele Atome es gibt, es besteht immer eine (manchmal verschwindend kleine) Chance, dass sie alle in der nächsten Minute zerfallen. Die lustige Antwort ist tatsächlich zu sehen, wie klein diese Wahrscheinlichkeit für eine große Anzahl von Atomen wird.

Nehmen wir Jod-131 , das ich ausgewählt habe, weil es eine vernünftige Halbwertszeit von etwa hat$8$Tage =$\text{691,200}$Sekunden. Jetzt$1$kg Jod-131 wird herum haben$7.63 \times N_A$Atome darin, wo$N_A$ist Avogadros Konstante. Verwendung der Wahrscheinlichkeitsformel für den zeitlichen Zerfall eines Atoms$t$:

und unter der Annahme, dass alle Zerfälle statistisch unabhängig sind$^\dagger$, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass alle Atome in einer Minute zerfallen sind:

Wo$\lambda$ist die Zerfallskonstante, gleich$\frac{\ln 2}{\text{half-life}}$, in diesem Fall fast genau$10^{-6}\,\text{s}^{–1}$. So

(Ich habe Jod-131 als konkretes Beispiel gewählt, aber so ziemlich jedes radioaktive Atom führt zu einer ähnlichen Wahrscheinlichkeit, egal wie die Masse oder die Halbwertszeit ist.) Also, wenn Sie dieses Experiment durchspielen$10^{1.94\times10^{25}}$Bei solchen Anordnungen würden Sie erwarten, dass im Durchschnitt alle Atome in einer der Anordnungen zerfallen .

Um Ihnen eine Vorstellung davon zu geben, wie unfassbar groß diese Zahl ist, gibt es „nur“$10^{78}$Atome im Universum - das ist$1$gefolgt von$78$Nullen.$10^{1.94\times10^{25}}$Ist$1$gefolgt von über einer Million Milliarden Milliarden Nullen. Ich würde viel lieber auf Pferde wetten.

$^\dagger$Dieses Poisson-Verteilungsmodell ist eine vereinfachende, aber vielleicht grobe Annäherung in diesem Szenario, da sich selbst kleine Abweichungen von der statistischen Unabhängigkeit angesichts der Anzahl der Atome zu großen Unterdrückungsfaktoren summieren können, und so weiter$10^{1.94\times10^{25}}$ist sicherlich eine Obergrenze (natürlich ist die Annäherung voll gerechtfertigt, wenn die Atome bei unendlich weit auseinander liegen$0 \text{ K}$, oder ihre Zerfallsprodukte haben nicht genügend Energie, um mehr als a herzustellen$1/N_A$-Ordnungsänderung der Zerfallswahrscheinlichkeit anderer Atome). Eine genauere Analyse müsste speziell auf das betrachtete Isotop zugeschnitten werden – oder eine Annäherung nächster Ordnung könnte gemacht werden, indem der Zerfall konstant gemacht wird$\lambda$eine streng steigende Funktion der Zeit. Seien Sie versichert, dass die wahre Wahrscheinlichkeit zwar viel schwieriger zu berechnen ist als diese Schätzung auf der Rückseite des Umschlags, aber immer noch in den verblüffend großen Bereich von gehen wird$1$In$1$gefolgt von mehreren Billionen Nullen.

TLDR: Statistische Modelle sind Modelle und somit per Definition kein perfektes Abbild der Realität.

Nihars Antwort ist gut, aber ich werde sie aus einer anderen Richtung angehen.

Zunächst einmal, wenn wir uns nur die statistische Mechanik ansehen, können Sie die Mathematik durchgehen und natürlich werden Sie eine extrem kleine Wahrscheinlichkeit finden. Sie könnten dort aufhören. Aber die statistische Mechanik verwendet statistische Modelle, und alle Modelle sind falsch. Sie treffen Annahmen und vereinfachen notwendigerweise die Realität, um komplizierte Probleme zu lösen. Es könnte sehr gut einige physikalische Prozesse geben, die in der statistischen Mechanik nicht berücksichtigt werden und die jede Möglichkeit eines so schnellen Zerfalls negieren.

Ein klassisches Beispiel ist, einen Raum zu haben und die Wahrscheinlichkeit herauszufinden, dass sich der gesamte Sauerstoff plötzlich nur noch in einer Hälfte des Raums befindet. Aus statistischer Sicht ist es im Grunde die Wahrscheinlichkeit, dass eine faire Münze unvorstellbar oft geworfen wird und alle auf die gleiche Weise landen. Aber in Wirklichkeit wäre die unvorstellbar kleine Zahl, die Sie berechnen würden, nicht richtig, weil die Annahmen Ihres Modells die Realität nicht perfekt widerspiegeln würden (Teilchen interagieren beispielsweise miteinander). Ähnlich wie das ideale Gasgesetz sind diese Dinge nützlich, können aber völlig versagen, wenn Sie zu weit von den getroffenen Annahmen abweichen. Dies gilt natürlich für alle statistischen Modelle.

Wenn wir also davon ausgehen, dass das Statistikmodell der Halbwertszeit eine völlig genaue Darstellung der Realität ist, lautet die Antwort auf Ihre Frage technisch ja. Natürlich wissen wir, dass dies nicht der Fall ist, und das führt mich zu meinem letzten Punkt.

Diese Art von Fragen haben auch eine starke philosophische Komponente, da wir es mit Wahrscheinlichkeiten zu tun haben, die so klein sind, dass sie effektiv 0 sind. Wenn jemand eine Münze eine Milliarde Mal wirft und sie jedes Mal Zahl landet, wird niemand denken, dass es eine faire Münze ist , weil es offensichtlich nicht * ist. Sie könnten auch modernste Kryptografie in Betracht ziehen. Die Wahrscheinlichkeit, einen Schlüssel zufällig erfolgreich zu erraten, ist so gering, dass sie praktisch 0 ist. Oder stellen Sie sich vor, Sie sehen sich ein Video an, in dem sich ein Bündel zerbrochenes Glas zu einer Vase formt. Ihre Schlussfolgerung wäre nicht "Wir sehen uns, Thermodynamik, möchten nicht Sie sein", sondern "Ich sehe mir ein Video an, in dem eine Vase rückwärts zerbricht". Ja,

* Die Idee einer fairen Münze ist ein Kaninchenbau für sich. Wie stellt man fest, dass eine Münze fair ist? Indem man es ein paar Mal wirft und eine fast gleiche Anzahl von Schwänzen und Köpfen beobachtet. Wenn es zu stark von 50/50 abweicht, erklären wir es für voreingenommen. Aber egal welches Ergebnis wir beobachten, es besteht natürlich immer die Möglichkeit, dass es sich um eine faire Münze handelt, also können wir es technisch gesehen nie sicher wissen. Um dann Statistiken nutzen zu können, müssen wir willkürlich einen Grenzwert für den zufälligen Zufall auswählen. Normalerweise ist dies 2 Sigma, vielleicht 3. CERN verwendet 5 Sigma für die Erkennung neuer Teilchen, aber auch dies ist willkürlich. Angewandte Statistik ist sowohl eine Kunst als auch ein Zweig der Mathematik.

Eine Sache, die man im Hinterkopf behalten sollte, ist, dass dies nicht nur eine statistische Frage ist und die Analogie von Atomen, die zerfallen und Münzen werfen, irreführend sein kann.

Zum Beispiel hat Uran 235 eine Halbwertszeit von mehr als 700 Millionen Jahren, aber wenn es in der richtigen Konfiguration (dicht gepackt) und in der richtigen Menge (über der kritischen Masse) gebracht wird, zerfällt es praktisch augenblicklich ... Einfach weil eins Der Zerfall eines Atoms kann den Zerfall eines anderen auslösen und so weiter in einer Kettenreaktion.

Wenn Sie also davon ausgehen können, dass alle Zerfälle unabhängig voneinander stattfinden, dann sind die rein statistischen Antworten gültig. Wenn es mehr um Physik als um Statistik geht, dann kommt es auf das genaue Material an, also welches Material, ist es rein, in welcher Konfiguration usw.

Die Antwort ist nein'. Dieses „Nein“ ist auf der gleichen Ebene wie:

• Kann es passieren, dass Sie für 15 Minuten mitten in Ihrem Zimmer schweben. (Die statistische Mechanik sagt technisch ja, aber wieder mit einer für alle praktischen Zwecke null Wahrscheinlichkeit)
• Kann man einen Affen vor eine Schreibmaschine stellen und daraus Shakespeare-Romane herausholen?
• Können Sie durch eine feste Wand gehen (Tunnelwahrscheinlichkeit ungleich Null aufgrund der Quantenmechanik)

Ich sehe, dass die Leute auf dieser Seite meistens zu denken scheinen, dass man Zahlen einfach multiplizieren kann, um Wahrscheinlichkeiten zu erhalten, und daher ist die Antwort, dass die Wahrscheinlichkeit etwas von der Ordnung ist$10^{-10^{25}}$.

Das Problem dabei ist, dass die Zerfallsereignisse keine völlig unabhängigen Ereignisse sind, also ist diese Berechnungsmethode falsch. Als erste sehr grobe Annäherung ist es in Ordnung, und die Antwort wird sicherlich eine winzige Zahl sein, aber die Antwort wird nicht diese bestimmte winzige Zahl sein. Wenn Sie weiterlesen, werden Sie sehen, warum ich das zweite „sehr“ in Großbuchstaben geschrieben habe.

Es gibt kooperative Effekte in der gesamten Physik. Zum Beispiel stören im zerfallenden Festkörper die von einem Kern emittierten Teilchen die anderen. Dies ist ein winziger Effekt, aber wenn wir Ereignisse mit winziger Wahrscheinlichkeit betrachten, müssen wir über solche winzigen Effekte nachdenken. Ein weiterer Faktor ist das umgebende elektromagnetische Feld, das sich in einem thermischen Zustand befinden kann, aber selbst im Vakuumzustand korrelierte Effekte über die Probe hinweg erzeugt. Elektromagnetische Felder haben fast keinen Einfluss auf den radioaktiven Zerfall, aber alles, was alle Kerne gleichzeitig beeinflussen kann, hat einen nicht zu vernachlässigenden Einfluss im Vergleich zu den winzigen Zahlen, die sich aus der Annahme ergeben, dass sich alle Kerne unabhängig voneinander verhalten.

Lassen Sie uns ein grobes Gefühl für den Einfluss dieser kooperativen Effekte bekommen. Für$n$unabhängige Ereignisse, jedes der Wahrscheinlichkeit$p_0$, die Gesamtwahrscheinlichkeit ist$p_0^n$. Aber angenommen, wenn ein Ereignis eintritt, dann wird die Wahrscheinlichkeit für die anderen ein klein wenig erhöht, von$p_0$Zu$p_1 = p_0(1 + \epsilon)$für einige sehr klein$\epsilon$. Wenn diese weiteren Ereignisse unabhängig waren, dann ist die Gesamtwahrscheinlichkeit jetzt in Ordnung$p_0 p_1^{n-1}$. Das ist größer als$p_0^n$nach dem Verhältnis

Das war nur ein Atom, das die anderen beeinflusste. Wenn sie jeweils diese Art von Wirkung haben, dann bekommt man die$(1 + \epsilon)$Faktor zur Ordnungsmacht erhoben$N_A^2$. Also durch diese Art von Argumentation die Zahl$10^{-10^{25}}$mit der ich begonnen habe, ist um einen Faktor falsch, der leicht so groß sein könnte wie$2^{N_A}$. Ich versuche nicht, die Ungenauigkeit mit irgendeiner Sorgfalt anzugeben. Ich sage nur, dass die Berechnung basiert auf$N_A$unabhängige Prozesse gibt eine endgültige Antwort, die um einen enormen Faktor falsch ist.

Betrachten wir als nächstes eine Art kooperativen Effekt, wie eine Schwankung im elektromagnetischen Feld, die ausreicht, um alle Kerne zu stimulieren, genug, um sie über die Energiebarriere zu bringen, damit das Elektron oder Alpha-Teilchen oder was auch immer entkommen kann. Um Kerne zu stören, benötigt man Energien in der Größenordnung von Megaelektronenvolt, während die Wärmestrahlung bei Raumtemperatur Photonen in der Größenordnung von Energien hat$k_B T \simeq 0.026$eV. Aber wenn wir dem Boltzmann-Faktor vertrauen, dann könnten wir eine Chance grob abschätzen$\exp(-E/k_B T)$um eine Anregung einer Energieform zu erhalten$E$. Mit$E = 1$MeV, das gibt$\exp(-4 \times 10^7)$bei Raumtemperatur. Mit "all diesen" Gammastrahlen-Photonen in der Nähe wird der radioaktive Zerfallsprozess etwas anders ablaufen. Natürlich ist diese Wahrscheinlichkeit wieder winzig, aber sie ist ungleich größer als$10^{-10^{25}}$, daher muss berücksichtigt werden, bevor bekannt gegeben wird, dass diese letztere Zahl auch nur annähernd richtig ist. Dies liegt daran, dass selbst die kleinste Menge an Korrelation oder kooperativem Effekt ausreicht, um die Wahrscheinlichkeit mehrerer unabhängiger Ereignisse zu überwältigen.

Man könnte die Wirkung dieser thermischen Gammastrahlen abschätzen, indem man den Wirkungsquerschnitt für den Gamma-stimulierten Zerfall ermittelt und eine Streuungsberechnung durchführt. Ich kenne die Antwort nicht, aber es wird im Vergleich zu riesig sein$10^{-10^{25}}$.

Zusammenfassend lautet die kurze Antwort auf die ursprünglich gestellte Frage „nein, das kann nicht passieren“. Die längere Antwort gibt dann zu, dass die Physik darauf hindeutet, dass es eine sehr, sehr kleine Wahrscheinlichkeit ungleich Null gibt, dass es passieren könnte, genau wie es für eine Reihe anderer bizarrer Ereignisse der Fall ist. Für den Wert der Wahrscheinlichkeit kann keine schnelle Berechnung auch nur annähernd die richtige Größenordnung erreichen. Um es abzuschätzen, führt man zuerst die Berechnung des unabhängigen Zerfalls durch, um sich davon zu überzeugen, dass dies nicht der wahrscheinlichste Weg ist, auf dem es passieren könnte. Dann bleibt man mit dem viel schwierigeren Problem, darüber nachzudenken, welche Art von physikalischen Effekten mehrere Kerne gleichzeitig zum Zerfall bringen können, und diese abzuschätzen. Ich denke, die Antwort muss im Vergleich zu dieser Zahl klein sein$\exp(-4 \times 10^7)$was ich oben erwähnt habe, aber ich habe wenig Ahnung, was die Wahrscheinlichkeit wirklich ist. Vielleicht so niedrig wie$10^{-10^{10}}$?

Vielleicht wäre es wertvoll, den Punkt, den ich mache, noch einmal zu betonen. Wenn wir gewöhnlichere physikalische Szenarien berechnen, wie z. B. einen Körper, der einen Hang hinunterrutscht, oder ein Pendel oder ein Atom usw., ignorieren wir korrekterweise alle vernachlässigbaren Effekte wie die Anziehungskraft auf Lichtjahre entfernte Planeten oder ähnliche Dinge und konzentrieren uns auf das Wesentliche Beitrag. In ähnlicher Weise wird im vorliegenden Fall ein korrekter Ansatz einfach den Beitrag zur Wahrscheinlichkeit aufgrund des Zerfalls aller Kerne in derselben Minute als vernachlässigbar anerkennen und sich auf die viel größeren Wahrscheinlichkeiten konzentrieren, die mit anderen Arten des Zerfalls verbunden sind Ergebnis kann passieren. Eine Rechnung, die dies nicht tut, ist einfach falsch. Es ist, als würde man sagen, dass eine Zeit in der Größenordnung von 1 Femtosekunde liegt, obwohl sie in Wirklichkeit in der Größenordnung von 1 Petasekunde liegt.

Wenn wir verstehen wollen, was in realen Prozessen vor sich geht, im Gegensatz zu idealisierten Modellen, dann müssen wir über reale Prozesse nachdenken.

Abschließend möchte ich noch einmal betonen, dass die erwähnten Effekte tatsächlich verschwindend gering sind. Aber im Vergleich zu$10^{-10^{25}}$sie sind enorm.

Damit dies in der realen Welt geschehen kann, müssen Sie mit etwa 3,8 Millionen Kilogramm dieses Materials beginnen.

So kommen Sie auf diese Zahl. Sie gehen von der Formel aus, die die Halbwertszeit mit der Anzahl der Partikel im Laufe der Zeit verbindet

Jetzt ersetzen Sie$N(t)$mit dem was du haben möchtest

Um dies zu verstehen, müssen Sie sehen, was einen nuklearen Zerfall auslöst. Die Antwort ist ein schönes Beispiel für quantenmechanisches Verhalten. Nichts löst es aus. Es ist nur so, dass die Welt im Grunde quantenmechanisch und probabilistisch ist.

Alle anderen Antworten "nein, es gibt kein auslösendes Ereignis, es passiert einfach, so ist die Quantenmechanik" sind vollkommen richtig.

Was passiert, bevor ein radioaktives Element zerfällt?

Alles, was Sie tun können, ist die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.

Die Antwort auf Ihre Frage lautet also: Ja, es besteht eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null, dass das Material in der nächsten Minute zerfällt.

Ihre Frage bezieht sich jedoch eher darauf, ob die Möglichkeit besteht, dass alle Atome im Material in der nächsten Minute gleichzeitig zerfallen. Und die Antwort ist wieder ja, es gibt eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null, aber es passiert einfach so, dass die Wahrscheinlichkeit so gering ist, dass es selbst auf riesigen Zeitskalen wie dem Alter unseres Universums sehr wenig Wahrscheinlichkeit für uns gibt zu beobachten, dass das passiert.

@Nihar hat eine ausgezeichnete Antwort: Es ist möglich, aber mit einer Chance von 1 in$10^{1.94\times10^{25}}$

Das ist eine wirklich große Zahl. Wenn Sie Exponenten verwenden, die durch ihre eigenen Exponenten dargestellt werden müssen, kann es manchmal schwierig sein, darüber nachzudenken, was sie eigentlich bedeuten. für eine Perspektive:

• Es gibt ungefähr$5\times10^{19}$Atome in einem Sandkorn
• Es gibt ungefähr$8\times10^{18}$Sandkörner der Welt
• Das ist ungefähr$4\times10^{38}$Atome im ganzen Sand der Welt
• Es gibt ungefähr$1.33\times10^{50}$Atome aller Art in der Welt
• Es gibt ungefähr$10^{56}$Atome im Sonnensystem
• Es gibt dazwischen$10^{78}$Und$10^{82}$Atome im Universum

Unter Verwendung der größten Schätzung von$1\times10^{82}$Atome im Universum sind wir nur von einem Exponenten von 19 bis 82 gegangen, wenn wir ein Sandkorn mit dem gesamten Universum vergleichen. Dieser Exponent ist 1.940.000.000.000.000.000.000.000.000.

Wie viele Versuche müssten wir machen, um eine vernünftige Chance zu haben, dass dies geschieht? Die Formel zum Berechnen der Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliges Ereignis mindestens einmal eintritt, lautet:$1-(1-P)^y$wobei P die Wahrscheinlichkeit ist$1/{10^{1.94\times10^{25}}}$. Ich konnte keine App finden, die bei großen Werten für y vernünftige Ergebnisse liefern würde, aber wenn y = P, nähern sich die Chancen${-(1-e)}/e$wenn P groß wird. Das sind etwa 63,2 %. Also, wenn wir es tun$10^{1.94\times10^{25}}$Studien besteht eine Wahrscheinlichkeit von etwa 63,2 %, dass es mindestens einmal passiert, und eine Wahrscheinlichkeit von etwa 37,8 %, dass es überhaupt nicht passiert.

Wie können wir uns das also vorstellen$10^{1.94\times10^{25}}$Versuche?

Wenn wir alle Atome im Universum nehmen und sie alle in separate 1-kg-Bündel Jod-131 umwandeln, hätten wir ungefähr$2.2\times10^{57}$von ihnen. Verteilt über das Volumen des sichtbaren Universums ($3.57\times10^{80} m^3$), das ist jeweils ein Bündel$1.6\times10^{23}$Kubikmeter, das ist ein Würfel mit einer Seitenlänge von 57.000 Kilometern und einem 1-kg-Bündel Jod-133 in der Mitte. Das Alter des Universums wird auf 13,772 Milliarden Jahre geschätzt, das ist ungefähr$7.24\times10^{15}$Protokoll. Wenn wir all diese Jod-133-Bündel nehmen und unser Experiment jede Minute neu durchführen (wobei die zerfallenen Atome bei jedem Versuch wieder in Jod-131 umgewandelt werden) vom Urknall bis jetzt, dann wäre das ungefähr$1.6\times10^{73}$individuelle Versuche.

Dieser Exponent von 73 ist bei weitem nicht der Exponent, den wir brauchen, um eine Wahrscheinlichkeit von 63,2 % dafür zu erreichen. Es müssten ungefähr sein$2.66\times10^{23}$Universen von Atomen, die in Jod-131 umgewandelt wurden und das Experiment 13,777 Milliarden Jahre lang jede Minute wiederholten, um eine Wahrscheinlichkeit von 63,2% zu haben, dass es mindestens einmal passiert.