Wie ist die Quantenmechanik mit der Lichtgeschwindigkeitsgrenze vereinbar?

Stellen Sie sich ein freies Elektron im Raum vor. Nehmen wir an, wir messen seine Position am Punkt A mit hoher Genauigkeit zum Zeitpunkt 0. Wenn ich mich richtig an mein QM erinnere, breitet sich die Wellenfunktion mit der Zeit aus, und es besteht eine kleine, aber endliche Chance, sie hübsch zu finden viel überall im Universum. Angenommen, es wird eine Sekunde später von einem anderen Beobachter mehr als eine Lichtsekunde entfernt gemessen, und obwohl es äußerst unwahrscheinlich ist, entdeckt dieser Beobachter dieses Elektron. Das heißt, das Elektron scheint die dazwischenliegende Strecke schneller als Lichtgeschwindigkeit zurückgelegt zu haben. Was ist denn hier los?

Mir fallen mehrere, nicht unbedingt widersprüchliche Möglichkeiten ein:

  1. Ich erinnere mich falsch, wie Wellenfunktionen funktionieren, und insbesondere hat die Wellenfunktion eine Amplitude von null (nicht nur eine sehr kleine) jenseits des Lichtgeschwindigkeitskegels.
  2. Da wir diese Reise nicht kontrollieren können, werden keine Informationen übertragen und daher bleibt die spezielle Relativitätstheorie erhalten (ähnlich wie nicht-lokale Korrelationen von EPR-Experimenten keine Informationen übertragen).
  3. Obwohl der Unterschied zwischen den Positionen größer ist, als von dem bei c reisenden Elektron hätte durchquert werden können, hätten wir stattdessen den Impuls gemessen, wir hätten ihn immer kleiner als gefunden m e c und es ist wirklich das momentane Momentum, das die spezielle Relativitätstheorie einschränkt; nicht die Entfernung geteilt durch die Zeit.
  4. Meine Frage ist schlecht gestellt und irgendwie bedeutungslos.

Könnte jemand erklären, wie dieses Problem gelöst wird?

Das ist einer der Gründe, warum wir die Quantenfeldtheorie brauchen.
Willkommen Elliotte, gute Frage. Ich kenne die Antwort darauf nicht, ich hoffe, jemand mit besseren Kenntnissen in QM kann Ihnen helfen. Zum Momentum habe ich eine kleine Korrektur für dich. In der speziellen Relativitätstheorie ist das Momentum p = γ m v , wobei m die Ruhemasse ist, γ = 1 1 − ( v c ) 2 , und v ist die Geschwindigkeit. Da v zu c tendiert, γ gegen unendlich strebt, so dass der Impuls tatsächlich viel größer sein kann als m c .
Siehe auch : physical.stackexchange.com/q/15282/2451 und darin enthaltene Links.

Antworten (3)

Ausgezeichnete Frage. Sie haben Recht mit der Ausbreitung von Wellenpaketen, und tatsächlich erhalten Sie eine superluminale Ausbreitung in nichtrelativistischem QM - was Müll ist. Sie brauchen eine relativistische Theorie.

Sie sollten den ersten Teil von Sidney Colemans Vorlesungsunterlagen zur Quantenfeldtheorie lesen, wo er genau dieses Problem diskutiert: http://arxiv.org/abs/1110.5013

Die kurze Antwort ist, dass Sie Antiteilchen brauchen. Es gibt keine Möglichkeit, einen Unterschied zwischen einem Elektron zu erkennen, das sich von A nach B ausbreitet, wobei A nach B räumlich getrennt ist, und einem Positron, das sich von B nach A ausbreitet. Wenn Sie die Amplitude für den letzteren Prozess hinzufügen, heben sich die Effekte der superluminalen Übertragung auf.

Der Weg, um sicherzustellen, dass alles richtig funktioniert, ist eine relativistische Quantenfeldtheorie. Diese Theorien sind explizit so konstruiert, dass alle Observablen bei raumartiger Trennung miteinander kommutieren, sodass keine Messung bei A die Dinge bei B beeinflussen könnte, wenn A und B raumartig sind. Diese Kausalitätsbedingung schränkt die Art der Objekte, die in der Theorie erscheinen können, stark ein. Dies ist der Grund, warum jedes Teilchen ein Antiteilchen mit derselben Masse, demselben Spin und derselben entgegengesetzten Ladung benötigt, und ist teilweise verantwortlich für das Spin-Statistik-Theorem (Teilchen mit ganzzahligem Spin sind Bosonen und Teilchen mit halbzahligem Spin sind Fermionen) und das CPT-Theorem ( die kombinierte Operation von Ladungsumkehr, Spiegelreflexion und Zeitumkehr ist eine exakte Symmetrie der Natur).

Ist es also richtig zu sagen, wenn man ein Elektron bei r = 0 bei t = 0 freisetzt und wartet, dann ist die Wahrscheinlichkeit, das Elektron außerhalb des Lichtkegels zu messen, null, aber das liegt am Feld eines Positrons die die Ausbreitung des Elektrons außerhalb des Lichtkegels aufhebt? Kann man dann irgendwo innerhalb des Lichtkegels ein Positron messen?
Ein weiterer Kommentar ist, dass man für dieses Problem keine relativistische Quantenfeldtheorie braucht. Die Dirac-Theorie beschreibt ein sich ausbreitendes Teilchen-Elektron (kein Feld) gut genug.
Danke für die Frage, Elliotte! In meiner QFT-Klasse haben wir kurz angesprochen, wie das Antiteilchenfeld die superluminalen Effekte des Teilchenfelds aufhebt. Aber was ich nicht verstehe, ist, dass sich das Teilchen immer noch schneller als mit Lichtgeschwindigkeit fortbewegen kann. Kann man nicht nur das beobachten? Es tut mir leid, wenn dies eine dumme Frage ist, ich habe nur ein Semester QFT belegt. Danke!
Gute Fragen und überhaupt nicht dumm! @Alexey Bobrick: Sie haben Recht, es gibt keine Amplitude, um ein Elektron außerhalb des Lichtkegels zu messen. Es gibt auch keine Amplitude, um ein Positron innerhalb des Lichtkegels zu messen (wenn Sie mit einem Elektronenzustand und nicht mit einem Positronenzustand beginnen!).
@ user34801: Ihre Frage und die andere Frage von Alexey werden durch dieselbe Diskussion beantwortet: Das "Elektronenfeld" ψ ist wirklich die Summe zweier Terme: ein Term, der ein Elektron vernichtet (die Konvention ist umgekehrt - Schuld Heisenberg) und ein Term, der ein Positron erzeugt. Das konjugierte Feld ψ ¯ macht das umgekehrt. (Die entgegengesetzte Wirkung auf Elektronen- und Positronenzustände macht ihn zu einem Operator mit bestimmter elektrischer Ladung.) Jeder Operator, der auf Elektronen- oder Positronenzustände wirkt, muss aus diesen Kombinationen aufgebaut werden, um die Kausalität zu wahren. Dies ist die Einschränkung, die ich zuvor erwähnt habe.
Jeder Versuch, die Feldoperatoren in ihre Teile zu zerlegen, ist unphysikalisch und bricht die relativistische Kausalität der Theorie (obwohl es koscher sein könnte, die Positronenteile in einer niederenergetischen, nicht-relativistischen Annäherung zu vernachlässigen, in der es keine Positronen gibt) . Wenn Sie die Elektronenausbreitung messen, erzeugen Sie zuerst ein Elektron bei x und vernichten es dann an einer anderen Stelle bei y. Die Amplitude ist dabei ein Matrixelement des Operators ψ ( j ) ψ ¯ ( x ) . Ein ähnlicher Operator beschreibt die Positronenausbreitung.
Wenn Sie all dies ausrechnen, stellen Sie fest, dass sich Partikel nur innerhalb ihres Lichtkegels ausbreiten. Da die Ladung erhalten bleibt, messen Sie in beiden Fällen ein Teilchen mit der gleichen Ladung wie das von Ihnen erzeugte. Die Richtung des Ladungsflusses ist immer eindeutig. Wenn Sie sich recht erinnern, behandelt der erste Band von Weinbergs QFT-Texten all dies, aber zum größten Teil handelt es sich um Standardmaterial. Machen Sie sich keine Sorgen, wenn Sie es nicht in einem Semester QFT gelernt haben ... in diesem Fach gibt es viel zu lernen!

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Die kurze Antwort ist, dass Sie Antiteilchen brauchen

ist falsch. In der Quantenfeldtheorie hat man perfekt funktionierende Lösungen auch ohne Antiteilchen, also für reale Felder. Auch wenn Sie Antiteilchen in Betracht ziehen wollen, denken Sie immer daran, dass es sich trotz des irreführenden Namens tatsächlich um andere Teilchen als die ursprünglichen handelt, und sagen Sie, dass ein Elektron, das sich von A nach B ausbreitet, einem Positron entspricht, das sich von B nach A ausbreitet falsch: Es gibt tatsächlich eine Möglichkeit, zwischen den beiden zu unterscheiden, nämlich ersteres wird durch das Feld und letzteres durch sein hermitisches Konjugat repräsentiert und sie transformieren sich unterschiedlich unter Darstellung der Poincaré-Gruppe. Darüber hinaus hebt das Addieren der beiden Beiträge die möglichen superluminaren Faktoren nicht auf.

Um die ursprüngliche Frage zu beantworten: QM ist in der Tat keine relativistische Theorie, Ende der Geschichte. Die korrekte relativistische Erweiterung ist QFT aufgrund der Tatsache, dass die Aufhebungen auftreten, wenn Sie die Freiheitsgrade berücksichtigen, die das Feld selbst zusätzlich zu denen der Teilchen trägt (keine Notwendigkeit, Antiteilchen zu haben).

In einem realen Feld ist ein Teilchen sein eigenes Antiteilchen. Für raumartig getrennte Messungen hat man immer noch einen Nullpunkt-Verteiler, weil sich die vorwärts und rückwärts fortpflanzenden Teilchen aufheben. Und ich würde gerne sehen, warum die beiden Beiträge superluminale Faktoren nicht aufheben (denken Sie daran, dass der einzige beobachtbare superluminale Effekt ein Konmutator ungleich Null von raumartig getrennten Feldern wäre).
Die Interpretation, dass ein reales Feld sein eigenes Antiteilchen ist, ist immer noch zumindest irreführend (wenn nicht sogar falsch). Ebenso bewegen sich (Anti-)Teilchen niemals rückwärts: Sie tun dies immer vorwärts, und die Rückwärtsterminologie dient nur dazu, das Minuszeichen (fälschlicherweise) zu rechtfertigen. Zum Kommutator: die beiden Beiträge heben sich nur bei freien Feldern auf; Wenn Sie versuchen, für jede Art von Wechselwirkung denselben Kommutator zu berechnen, werden Sie feststellen, dass sich die Beiträge im Allgemeinen nicht gegenseitig aufheben (es sei denn, Sie postulieren dies und leiten die Felder entsprechend ab, aber das ist eine andere Geschichte).

Die sehr nützlichen Lösungen der Shrödinger-Gleichung, die normalerweise zu Beginn der Quantenmechanik gelehrt werden, sind nicht Lorenz-invariant und daher können Paradoxien in Bezug auf die spezielle Relativitätstheorie konstruiert werden.

Die relativistischen Gleichungen von Dirac:

Die Dirac-Gleichung ist eine relativistische Wellengleichung, die 1928 vom britischen Physiker Paul Dirac abgeleitet wurde. In ihrer freien Form oder einschließlich elektromagnetischer Wechselwirkungen beschreibt sie alle Spin-½-massiven Teilchen, für die Parität eine Symmetrie ist, wie Elektronen und Quarks, und sowohl mit den Prinzipien der Quantenmechanik als auch mit der speziellen Relativitätstheorie vereinbar ist,

Die Klein-Gordon-Gleichung:

(manchmal Klein-Gordon- Fock-Gleichung) ist eine relativistische Version der Schrödinger-Gleichung.

Daher gibt es kein Problem mit den einfachen Lösungen der zugrunde liegenden Wellenfunktionen, die zum Aufbau der in den anderen Antworten diskutierten Quantenfeldtheorien benötigt werden. Dies ist eine Metaebene, die die Lösungen der relativistischen Gleichungen als Grundlage verwendet, auf der die QFT-Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren operieren.

Was die Lorenz-Invarianz betrifft, reicht es aus, dass der Hilbert-Raum, auf dem die QFT-Operatoren operieren, Lorenz-invariant ist, um bei keiner Modellierung ein Lichtkegelproblem zu haben.

Wie ist die Quantenmechanik mit der Lichtgeschwindigkeitsgrenze vereinbar?
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