Wie kann man wissen, ob der pseudoskalare Yukawa-Lagrangian unter chiraler Transformation invariant ist?

Die pseudoskalare Yukawa-Theorie ist Lagrange

L = ψ ¯ ( ich γ μ ∂ μ − M ) ψ − G ψ ¯ ich γ 5 ϕ ψ ,
Wo G ist eine Kopplungskonstante. Wie kann ich zeigen, dass es unter einer chiralen Transformation invariant ist, ψ → e ich λ γ 5 ψ ?

Ähm ... stecken Sie die Transformation ein und sehen Sie, was passiert?

Antworten (1)

(Dies ist größtenteils eine Antwort, die durch Ihren Kommentar ausgelöst wurde.)

Sie können die Antwort erhalten, indem Sie sich einfach an die Kommutierungs- / Anti-Kommutationseigenschaften von erinnern γ Matrizen, und die Tatsache, dass ψ ¯ = ψ † γ 0 . Um das Folgende zu sehen, müssten Sie den Exponentialfaktor bis zur linearen Ordnung erweitern e M = ICH + M + … .

(Ich werde Ihre Hausaufgaben nicht machen, dies ist nur eine Anleitung!)

1) Der kinematische Term ich ψ ¯ γ μ ∂ μ ψ geht in sich, mit { γ μ , γ 5 } = 0 .

2) Der Yukawa-Kopplungsterm folgt der Suite.

3) Eine solche Streichung gibt es im Massenterm nicht M ψ ¯ ψ , aber die beiden Faktoren verstärken sich gegenseitig. Dieser Begriff nimmt einen Gesamtfaktor von ein e 2 ich λ γ 5 ψ , dh das Zweifache eines jeden Faktors. Somit ist der Massenterm unter dieser Transformation nicht invariant und bricht die chirale Symmetrie.

Übrigens wird diese Transformation Axialvektortransformation genannt, da sich der entsprechende konservierte (in der m=0-Grenze) Noetherstrom wie ein Axialvektor transformiert ψ ¯ γ μ γ 5 ψ .

Auflösung in Weyl-Spinoren ψ L , R = ( 1 ∓ γ 5 ) ψ / 2 ist eine alternative Möglichkeit, dies zu sehen. Damit müssen Sie erneut die verwenden γ Eigenschaften der Matrizen, und man kommt zu dem Ergebnis, dass nur der Massenterm die beiden Chiralitäten verwechselt, dh wird M ( ψ ¯ L ψ R + ψ ¯ R ψ L ) . Der kinematische Begriff würde sich verwandeln in ich ψ L ¯ γ μ ∂ μ ψ L + ich ψ R ¯ γ μ ∂ μ ψ R und daher ist es wie die Addition der kinematischen Terme zweier unabhängiger Lagrange-Operatoren. Kein Mischen. Die beiden Formulierungen sind absolut gleichwertig.

Danke für deine sehr klare Anleitung. Ich habe jedoch eine Frage, während ich diese Transformation am Yukawa-Kopplungsterm durchführe: Ich bekomme Folgendes:
L ' = − G ψ ¯ ich γ 5 ϕ ψ = − G ich ψ ¯ e ich λ γ 5 γ 5 ϕ e ich λ γ 5 ψ
Warum heben sich die Exponentiale nicht auf, damit es unveränderlich wäre?
Soweit ich weiß, ist dieser Lagrange nur dann invariant unter der chiralen Transformation , wenn M = 0 . Liege ich falsch?
Nein absolut richtig. Aber was tun mit L' in dem Kommentar, den ich oben geschrieben habe. Macht es Sinn, das zu sagen, wenn Sie die Position tauschen
γ 5
links vom Exponential ein Minuszeichen? @Nachsicht
In einem Ihrer Exponentiale sollte ein Minuszeichen stehen, weil ψ ¯ ist ein Konjugat von ψ . Auch, γ 5 pendelt mit seinem Exponential (weil es mit allen Termen in seiner Tailor-Erweiterung pendelt). Die beiden Exponentiale heben sich also gegenseitig auf.
Wie @New_new_newbie oben erwähnt hat, ist die Tatsache, dass
{ γ μ , γ 5 } = 0
ergibt das negative Vorzeichen in der Exponentialfunktion, wenn Sie sich bewegen
γ μ
Nach links. Aber ist es der Fall, wenn Sie sich bewegen
γ 5
? Ich meine ist
{ γ 5 , γ 5 } = 0
@Schwankungen nein, das stimmt nicht. Aber für jede Matrix X (in Ihrem Fall, X = ich γ 5 ), gilt:
[ X , exp ⁡ X ] = 0
Hindsight hat den größten Teil der Folgearbeit für mich erledigt, also danke. Was den letzten Punkt betrifft, @Fluctuations, wie Hindsight bereits erwähnt hat, sie pendeln nicht, sie pendeln! Um dies explizit zu sehen, erweitern Sie das Exponential in
[ X , exp ⁡ X ]
und nutzt die Linearität aus
[ X , ( j + z ) ] = [ X , j ] + [ X , z ]
. Deutlich, X pendelt mit Identität, mit X , mit X 2 , usw. :)
Und @Hindsight, danke für den Folgeauftrag. Ja, chirale Symmetrie gilt nur in der M = 0 Grenze. Endliche Masse bricht explizit die chirale Symmetrie. Aber wenn diese Massenbegriffe klein sind, wie u Und D Quarks (die S U ( 2 ) Fall) kann die chirale Symmetrie als ungefähre Symmetrie der starken Wechselwirkungen angesehen werden. :)
@Hindsight Spielt es eine Rolle, ob die 5 ein oberer Index oder ein niedrigerer Index in der Gammamatrix ist? Weil ich in meinem Kommentar nachlässig geworden bin und den Index verlegt habe, habe ich ihn versehentlich oben platziert, anstatt ihn unten zu platzieren, da er auf ein Exponential angehoben wurde
@Fluktuationen gibt es nicht γ 5 .
Wenn Sie in der Frage sehen, steht es als solches im Exponential. Warum steht nicht da γ 5 Ich habe in Zees Buch gelesen, dass es keine Rolle spielt, wann Sie den Index von Pauli-Matrizen umdrehen, aber es spielt eine Rolle, wenn Sie die von Gamma-Matrizen umdrehen. Habe ich etw verpasst?
@Fluctuations - AFAIK, wenn Sie (wie üblich) einen metrischen Tensor verwenden, um zwischen kovarianten und kontravarianten Versionen der Gammamatrizen umzuschalten, γ μ = G μ v γ v , dann unter Verwendung der Metrik ( + , − , − , − ) , du erhältst γ 0 = γ 0 Und γ ich = − γ ich , wo der Index ich = 1 , 2 , 3 und deckt nicht ab 0 . Die Verwendung scheint mir zu geben γ 5 = − γ 5 . Also pinge ich Hindsight an und wiederhole „ Habe ich etwas verpasst? “ :)
@Hindsight - Bitte lesen Sie den obigen Kommentar und korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege.
@Fluctuations - Aber ich denke, der Punkt ist - definiere deine γ 5 wenn Sie selbst anfangen. Entweder γ 5 oder γ 5 . Es ist jedoch ratsam, nicht mitten in der Berechnung zwischen ihnen umzuschalten, da dies zu Verwirrung führen kann.
Einige zusätzliche (verwandte) Informationen - Joshs Antwort hier scheint die Argumentation meines obigen Kommentars zu unterstützen . Nochmals, habe ich etwas verpasst?
Wie kann man wissen, ob der pseudoskalare Yukawa-Lagrangian unter chiraler Transformation invariant ist?
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