Lagrange-Invarianz des freien Fermions unter chiraler Symmetrie

Ich möchte diese Transformation auf einen Lagrangian mit freiem Fermion anwenden:

L = ψ ¯ ( γ μ ∂ μ − M ) ψ
ψ ' = ψ e ich a γ 5
ψ ¯ ' = ψ ¯ e − ich a γ 5
Der Lagrangian sollte nur dann invariant sein, wenn die
M = 0
Ich verstehe nicht warum, wie wirkt sich diese Transformation auf den Massenbegriff aus?

Sie verstehen die Transformation von falsch ψ ¯ . Da ist ein γ 0 Faktor, der das Vorzeichen von ändert a Parameter, da er mit antikommutiert γ 5 . Am Ende sollten Sie bekommen ψ ¯ ' = ψ ¯ e ich a γ 5 . Das heißt, der Massenterm geht zu M ψ ¯ e 2 ich a γ 5 ψ , was nicht invariant ist, wenn M ≠ 0

Antworten (1)

Die Verwandlung für ψ ¯ das ist nicht richtig.
Seit ψ ¯ = ψ † γ 0 , und die Transformation für ψ Ist ψ ' = e ich a γ 5 ψ , die richtige Identität ist

ψ ¯ ' = ψ † e − ich a γ 5 γ 0 = ψ ¯ e ich a γ 5 ,
Wo { γ μ , γ 5 } = 0 , μ = { 0 − 3 } .
Daraus folgt, vorausgesetzt ∂ X a = 0 ,
L ' = ψ ¯ ' ( γ μ ∂ μ − M ) ψ ' = ψ ¯ ( γ μ ∂ μ − M e 2 ich a γ 5 ) ψ
und das
L ' = L ↔ M = 0

Lagrange-Invarianz des freien Fermions unter chiraler Symmetrie
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