Wie lautet die Bewegungsgleichung des angetriebenen Pendels für Amplituden jenseits der Kleinwinkelnäherung?

Wenn wir die Periode eines Pendels jenseits der Näherung für kleine Winkel finden, müssen wir die Integration für ein kleines Intervall von verwenden θ und elliptische Integration.

Ich habe versucht, diese Situation für das angetriebene Pendel anzuwenden. Bei Verwendung der Kleinwinkelnäherung würde die Bewegungsgleichung wie folgt aussehen.

ICH X ¨ ( T ) + B X ˙ ( T ) + M G l X ( T ) = F cos ⁡ ( ω T )

  • ICH : Trägheitsmoment
  • B : Dämpfungskoeffizient
  • M : Masse
  • G : Erdbeschleunigung
  • l : Abstand zwischen CM des Systems und dem Rotationsursprung
  • F : Amplitude der äußeren Kraft
  • ω : Kreisfrequenz der äußeren Kraft
  • X : Winkelverschiebung
  • T : Zeit

Wenn keine Kleinwinkelnäherung verwendet wird, würde die obige Gleichung geändert werden.

ICH X ¨ ( T ) + B X ˙ ( T ) + M G l Sünde ⁡ ( X ( T ) ) = F cos ⁡ ( ω T ) cos ⁡ ( X ( T ) ) .
Wie löse ich dann diese Differentialgleichung? Ich habe versucht, das Ergebnis mit DSolve von Mathematica zu simulieren, aber es zeigte nicht die Lösung. Obwohl ich den Graphen mit NDSolve gezeichnet habe, möchte ich wissen, wie man diese Differentialgleichung löst.

Der Grund, warum man die Kleinwinkelnäherung verwendet, ist, dass die Gleichung analytisch leicht zu lösen ist. Ich vermute, dass der allgemeinere Fall keine analytische Lösung hat, also sind Ihre Diagramme in gewisser Weise am nächsten, was Sie einer Lösung erreichen können.
Beachten Sie, dass nicht jede ODE analytisch gelöst werden kann ; Numerische Methoden sind attraktive Alternativen zu denen ohne analytische Lösungen.
Siehe dieses PDF . Selbst für den einfachsten ungedämpften nicht angetriebenen Fall gibt es keine analytische Lösung der Bewegungsgleichungen. Bei einem angesteuerten gedämpften nichtharmonischen Oszillator hat man keine Chance!
Danke für deine Kommentare. Ich sollte besser die numerischen Lösungen verwenden.
@YeongWooSong Wenn Sie Mathematica verwendet haben, versuchen Sie, einige der Bilder neu zu erstellen, die auftauchen, wenn Sie in Google-Bildern nach "Damped Driven Pendulum" suchen: google.com/search?q=driven+damped+pendulum&tbm=isch Hoffentlich werden Sie am Ende überzeugt dass Ihre Lehrer Recht hatten, den nichtlinearen Begriff wegzulassen! (Die meisten dieser Bilder haben wahrscheinlich eine Kraft von F cos ⁡ ( ω T ) anstatt F cos ⁡ ( ω T ) cos ⁡ ( X ( T ) ) , also sollten Sie nicht erwarten, sie genau zu reproduzieren)
Sind die Winkel aus dem natürlichen Gleichgewicht (das Pendel baumelt einfach nach unten und bildet eine vertikale Linie) oder stammen sie aus der hochgezogenen Position (das Pendel bildet eine horizontale Linie)

Antworten (2)

Wie in den Kommentaren erwähnt, ist die von Ihnen angegebene Differentialgleichung nicht analytisch lösbar. Was man tun kann, ist, dass man auf kontrollierte Weise über die Kleinwinkelnäherung hinausgehen kann, indem man die Sinus- und Cosinusfunktion durch Taylor erweitert und findet (z. B. Erweiterung bis zur Ordnung X 3 )

ICH X ¨ + B X ˙ + M G l ( X − X 3 6 ) = F cos ⁡ ( ω T ) ( 1 − X 2 2 )

Dies ist immer noch eine nichtlineare Differentialgleichung und möglicherweise auch nicht lösbar, aber sie öffnet die Tür für die Störungstheorie , die das wichtigste Werkzeug ist, das verwendet werden muss, wenn man über lineare Näherungen hinausgeht.

Aha. Ich habe nicht daran gedacht, dass der Taylor expandiert. Danke für deine Idee.
@YeongWooSong Ich finde das überraschend, da man mit der Taylor-Erweiterung überhaupt erst die Kleinwinkelgleichung erhält.
@Danu: Ist es ?
@Danu Ich habe nur an das erste Semester oder die Erweiterungen gedacht. Habe nicht über die zweite, dritte Potenz nachgedacht.
@Danu: Hast du es bemerkt und auf den Link in meinem Kommentar geklickt? Die lineare Annäherung hängt nicht von der Taylor-Reihe ab, sondern die Taylor-Reihe kombiniert die lineare Annäherung mit der Annäherung höherer Ordnung ... Ich habe das Gefühl, dass es rückwärts ist, um es anders auszudrücken.
@ Danu: Ich bin mir nicht sicher, was du meinst. Die Taylor-Reihe erhält man, indem man die ursprüngliche Funktion differenziert und ihre Ableitungen mit denen eines Polynoms abgleicht ... es ist nicht so, als ob die unendliche Reihe aus heiterem Himmel kommt und man dann die Linearisierung als die ersten beiden Terme der unendlichen Reihe definiert. Sie leiten die Linearisierung ab, ohne jemals an die Terme höherer Ordnung denken zu müssen, es ist nicht so, als müssten Sie sie zuerst berechnen und dann plötzlich fallen lassen.
@Mehrdad Ich denke, das ist Geschmackssache und nicht mehr als das. Ich verstehe, was Sie sagen, aber es ist einfach nicht die Art, wie ich gerne darüber nachdenke. Ich werde meine Kommentare bald löschen, da diese Diskussion für zukünftige Leser weitgehend irrelevant ist
@Danu: Okay, lass es mich wissen, wenn du deinen ersten Kommentar gelöscht hast, und ich werde auch meine Kommentare löschen.

Die Lösungen für ein erzwungenes / angetriebenes Pendel können im Sinne der Chaostheorie chaotisch sein , sodass die Periode möglicherweise gar nicht existiert! Ein Tutorial dazu finden Sie zum Beispiel in diesen Kursnotizen . Was Sie mit einem erzwungenen / angetriebenen Pendel tun können, ist, es zu simulieren und die verschiedenen Parameter der Chaostheorie zu berechnen: Lyapunov-Exponenten, Poincare-Karte usw. Dafür gibt es zahlreiche Ressourcen im Internet. Hier sind einige solcher Ressourcen:

  • Ein Mathematica CDF , das einige [Fuß]noten zur Implementierung enthält.
  • Es gibt auch diverse (mehr oder weniger lästige) Applets im Web mit einer ähnlichen Simulation. Im Wesentlichen basieren sie alle auf numerischen Runge-Kuta-Lösungen. Prägnanteren/verständlicheren Java-Quellcode finden Sie in Tao Pang An Introduction to Computational Physics , S. 92-93
  • Ein kurzes Papier über eine Python-Scipy-Implementierung.
  • Eine Frage hier zu Lyapunov-Exponenten für die getriebene Pendelgleichung.

Etc. Wenn Sie nur die Periode für nicht kleine Winkel für ein ungezwungenes Pendel berechnen möchten, hat Wikipedia einige Antworten , insbesondere die ziemlich schnelle (in der Praxis) Carvalhaes- und Suppes-Näherung .

Nachtrag für mathematisch Interessierte: Die Störungsmethode funktioniert nicht immer für die erzwungene Pendelgleichung. Insbesondere funktioniert es nicht für Hubbards Pendelgleichung, die eine Instanz der allgemeinen erzwungenen Pendelgleichung ist. Es gibt einen relativ neuen (2008) computergestützten Beweis für chaotisches Verhalten in diesem Fall.

Wie lautet die Bewegungsgleichung des angetriebenen Pendels für Amplituden jenseits der Kleinwinkelnäherung?
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