Wie manifestiert sich die Energieerhaltung quantenmechanisch?

Wir wissen das klassisch, wenn wir etwas Theorie haben L so dass die Aktion ∫ D 4 X L unter Zeitübersetzung invariant ist, können wir den Satz von Noether verwenden, um herauszufinden, dass (das räumliche Integral über)

∑ ich ∂ T ϕ ich ∂ L ∂ ( ∂ T ϕ ich ) − L

ist klassischerweise eine Erhaltungsgröße, und wir nennen sie "Energie".

Dies ist ein klassisches Ergebnis der Feldtheorie. Aber wie gehen wir vor, um ein ähnliches Erhaltungsgesetz in QFT zu zeigen?

Satz von Noether. Ein Lagrange-Operator ist ein Lagrange-Operator, egal ob klassisch oder quantenmechanisch. Es gibt sogenannte Anomalien, die bei Pfadintegralen entstehen, weil die D [ ϕ ] im Wegintegral haben eine Determinante, die ebenfalls erhalten werden kann.
@webb Teil der Ableitung des Satzes von Noether erfordert die Annahme, dass die Euler-Lagrange-Gleichung erfüllt ist. Vielleicht kann mich jemand korrigieren, wenn ich falsch liege, aber ich glaube, dies impliziert, dass jedes aus Noethers Theorem abgeleitete Erhaltungsgesetz streng klassisch ist.
Die Dirac-Gleichung, die Schrödinger-Gleichung usw. werden alle aus der Minimierung einer Aktion abgeleitet, die konservierte Ströme aufweist, die mit Symmetrien in der Aktion verbunden sind. Zum Beispiel die Invarianz der Lagrange-Gleichung der Schrödinger-Gleichung unter unitären Transformationen von ψ impliziert die Erhaltung der Norm.
Das genaue Quantenanalog zu Noethers Theorem sind die Ward-Takahashi-Identitäten .
Brückenbrenner, nun ja, nicht genau. Quantenoperatorgleichungen sehen bekanntermaßen wie klassische aus, daher ist in den meisten Fällen der Operator „Erhaltung“ vorhanden.
Die Struktur von Korrelationsfunktionen wird auch von der Energieerhaltung beeinflusst. Dies führt zu etwas, das normalerweise als Ward-Identitäten bezeichnet wird (wie von ACuriousMind erwähnt). Meiner Erfahrung nach versteht man sie am besten in Form von Pfadintegralen.

Antworten (1)

Bei der kanonischen Quantisierung konstruiert man den Hamiltonschen Formalismus. Die Energieerhaltung ist daher offensichtlich (da der Hamilton-Operator zeitunabhängig ist und mit sich selbst kommutiert).

Quantenmechanisch kann der Hamilton-Operator des Systems durch Teilchen-Erzeugungs-Vernichtungs-Operatoren ausgedrückt werden. Die Gesamtenergie des Feldes ist also auch die Gesamtenergie aller Teilchen und bleibt quantenmechanisch erhalten.

Sie können ein Gefühl für diese Erhaltung bekommen, indem Sie die Entwicklung des Wellenfunktions berechnen, indem Sie es in eine Summe von Energie-Eigenzuständen multipliziert mit Exponentialen erweitern:

Ψ ( T ) = ∑ ich e − ich E ich T / ℏ ⋅ Ψ ich .

Beachten Sie, dass E ich Und Ψ ich nicht abhängen T , also ist tatsächlich Energie erhalten (dies gilt für alle QM mit zeitunabhängigem Hamiltonoperator und nicht nur für QFT).

Wie manifestiert sich die Energieerhaltung quantenmechanisch?
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