Wie stellt man sicher, dass effektives Handeln alle möglichen Quantenkorrekturen des klassischen Handelns beinhaltet?

Betrachten Sie eine klassische Skalarfeldtheorie für ein reelles Skalarfeld$\phi$gegeben von

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-V(\phi)$$ Wo $V(\phi)$ist das klassische Potential. In der Quantenfeldtheorie definiert man ein effektives Potential $V_{eff}(\phi)$. Und im Gegensatz zur klassischen Feldtheorie, wo das spontane Symmetriebrechen (SSB) durch Minimierung analysiert wird $V(\phi)$, SSB in der Quantenfeldtheorie wird durch Minimierung analysiert $V_{eff}(\phi)$.

Dazu definiert man ein neues Funktional$\Gamma[\phi]$, genannt die effektive Aktion . Intuitiv deutet der Name darauf hin$\Gamma[\phi]$muss eine Modifikation der klassischen Aktion sein$S[\phi]$wenn man Quantenkorrekturen berücksichtigt. Allerdings, wenn man rechnet$\Gamma[\phi]$, Man erhält

$$\Gamma[\phi]=S[\phi]+\text{quantum corrections of O($\hbar$)}.$$ Aber das kann oder kann nicht alle möglichen Korrekturen enthalten.

Jedoch,$\Gamma[\phi]$ist nicht definiert als

$$\Gamma[\phi]=S[\phi]+\text{all possible quantum loop corrections}\tag{1}$$ aber $$\Gamma[\phi]=W[J]-\int d^4x j(x)\phi(x).$$

Wie kann man sich bei dieser Definition im Allgemeinen so sicher sein, dass die Bewertung von$\Gamma[\phi]$gibt alle möglichen Quantenkorrekturen an$S[\phi]$in Potenzen von$\hbar$und nichts wird ausgelassen? Mit anderen Worten, gibt es eine Möglichkeit, das zu zeigen / zu sehen?$(1)$gilt für ein generisches Potential$V(\phi)$?