Einpunktfunktion und Vakuumerwartungswert in der ϕ4ϕ4\phi^4-Theorie

Sie sollten den minimalen Energiezustand Ihres Systems (klassisch) berechnen, um den Vakuumerwartungswert zu finden. Ich nehme an, du arbeitest mit dem Standard$\phi^4$-Lagrange

$$\mathcal L=\frac{1}{2}(\partial \phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2-\frac{\lambda}{4}\phi^4$$ was dem Hamiltonoperator entspricht $$\mathcal H=\frac{1}{2}\dot\phi^2+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+\underbrace{\frac{1}{2}m^2\phi^2+\frac{\lambda}{4}\phi^4}_{=: V}$$ Es ist leicht zu sehen, dass die Lösung mit der niedrigsten Energie beliebig ist $V(\phi)$ist immer $\phi=\text{constant}$, und in diesem Fall wird das Potential minimiert durch $\phi=0$. Damit ist das wahre Vakuum der Theorie tatsächlich angesiedelt $\phi=0$(dies ergibt ja auch die Einpunktfunktion $\langle \phi\rangle$).

Um nun den Unterschied zur spontanen Symmetriebrechung zu sehen, braucht man sich eigentlich nur den entsprechenden Lagrange-Operator anzusehen: Er hat ein anderes Potenzial. Normalerweise hat das Potenzial für etwas Ähnliches wie das abelsche Higgs-Modell die Form

$$V(\phi)=-\frac{1}{2}m^2\phi^2+\frac{\lambda}{4}\phi^4$$ die wir leicht minimieren können, um herauszufinden, dass der niedrigste Energiezustand entspricht $$\phi^2=\frac{m^2}{\lambda}$$ so dass wir sehen, dass das wahre Vakuum der Theorie nicht am „Ursprung“ liegt, dh wir finden einen Vakuumerwartungswert ungleich Null.