Wie verstößt der Kosterlitz-Thouless-Übergang nicht gegen das Mermin-Wagner-Theorem?

Das Mermin-Wagner-Theorem besagt, dass die kontinuierliche Symmetrie bei einer endlichen Temperatur in zwei Dimensionen oder niedriger nicht spontan gebrochen werden kann.

Der Kosterlitz-Thouless (KT)-Übergang ist ein Phasenübergang auf einem symmetrischen System (keine einfache Achse für magnetische Momente zum Ausrichten) in zwei Dimensionen. Ich glaube, man kann sagen, dass das Kosterlitz-Thouless-System eine kontinuierliche Symmetrie hat, bitte korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege.

Bei Nulltemperatur ist das KT-System ein ferromagnetischer Zustand, was bedeutet, dass alle magnetischen Momente in die gleiche Richtung zeigen (eine zufällige Richtung, da keine leichte Achse). Da alle magnetischen Momente bei Nulltemperatur in die gleiche Richtung zeigen (zufällig gewählt), können wir sagen, dass die kontinuierliche Symmetrie des KT-Systems spontan gebrochen ist. Dies verstößt jedoch nicht gegen das Mermin-Wagner-Theorem, da dies bei einer Temperatur von Null auftritt.

Bei kleinen endlichen Temperaturen ist das KT-System kein ferromagnetischer Zustand mehr. Stattdessen bilden sich Wirbel-Anti-Wirbel-Paare. Bedeutet dies nicht, dass die kontinuierliche Symmetrie des KT-Systems bei endlichen Temperaturen ungleich Null wieder gebrochen wird. Also Verletzung des Satzes von Mermin-Wagner?

Antworten (1)

Bei niedriger Temperatur kann die Spin-Spin-Korrelationsfunktion des 2d O(2)-Modells in der Störungstheorie berechnet werden, siehe zum Beispiel Kapitel 33 von Zinn-Justin, QFT and Critical Phenomena. Die Antwort ist

⟨ e ich θ ( 0 ) e − ich θ ( r ) ⟩ ∼ r − t / ( 2 π )
wo t ist die reduzierte Temperatur, und ich habe den Spinvektor in Bezug auf die Polarkoordinaten geschrieben θ , S → = ( cos ⁡ θ , Sünde ⁡ θ ) . Zu jedem endlichen t die Korrelationsfunktion zerfällt algebraisch (sie zerfällt als gebrochene Potenz), und es gibt keine Fernordnung.

Sie sagen also, dass das KT-System bei Nulltemperatur eine Fernordnung hat, daher wird die kontinuierliche Symmetrie des KT-Systems spontan gebrochen. Und bei endlichen Temperaturen hat das KT-System keine Fernordnung, daher wird die Symmetrie nicht spontan gebrochen. Hab ich recht? Und was meinst du mit Spinkorrelation? Meinen Sie, wie sich benachbarte magnetische Momente gegenseitig beeinflussen?
Was meinen Sie außerdem, wenn Sie sagen, dass die Korrelationsfunktion algebraisch zerfällt? Wollen Sie damit sagen, dass es nicht spontan ist, weil es algebraisch zerfällt? Wenn ja, was ist diese Korrelationsfunktion?
Habe noch ein paar Kommentare hinzugefügt. Die Spin-Spin-Korrelationsfunktion in einem Ferromagneten geht auf eine Konstante, aber im 2-d O(2)-Modell zerfällt sie als Potenz (``algebraisch''), sodass es keine Fernordnung gibt. Beachte das bei T c die Korrelationsfunktion ändert sich und darüber T c es findet eine Rasterung (exponentieller Abfall) statt.
Die Korrelationsfunktion misst die Ordnung eines Systems. Misst es, wie gut die magnetischen Momente bei einer bestimmten Temperatur aufeinander ausgerichtet sind? Zum Beispiel das Ising-Modell davor T c ist ein Ferromagnet, hat also eine Spin-Spin-Korrelation mit einer gewissen Konstante. Nach T c Das Ising-Modell wird ein Paramagnet sein, also wird seine Korrelationsfunktion 0 sein?
Geordnete Phase: Die Korrelationsfunktion geht zu einer Konstanten wie r → ∞ . Ungeordnete Phase: Korrelationsfunktion geht als auf Null r → ∞ . Lückensystem: Die Korrelationsfunktion fällt exponentiell ab.
Wie verstößt der Kosterlitz-Thouless-Übergang nicht gegen das Mermin-Wagner-Theorem?
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