Was ist der Kösterlitz-Thouless-Übergang?

Das Berezinskii-Kosterlitz-Thouless (BKT)-Szenario ist einer der schönsten Übergänge, der in 2D-Systemen allgegenwärtig ist (obwohl er für bestimmte Arten von Modellen auch in höheren Dimensionen auftreten kann), der überraschenderweise nicht-perturbative Effekte (dh topologische Defekte) erfordert. zu realisieren. Um die ganze Aufregung (und den Nobelpreis) um diesen Übergang zu verstehen, wäre vielleicht ein bisschen Kontext hilfreich.

Es gibt ein berühmtes Theorem in der statistischen Gleichgewichtsmechanik, das Mermin-Wagner-Hohenberg-Coleman-Theorem , das uns im Wesentlichen sagt, dass eine kontinuierliche Symmetrie nicht spontan bei einer endlichen Temperatur in den Dimensionen zwei oder niedriger gebrochen werden kann. Dies liegt daran, dass die beim Brechen einer kontinuierlichen Symmetrie erzeugten Goldstone-Moden starke Schwankungen aufweisen$d=1,2$was dazu führt, dass die Symmetrie über große Entfernungen wiederhergestellt wird (z$T>0$).

Für ein 2D-Suprafluid oder einen Supraleiter ist der relevante Ordnungsparameter nun ein komplexes Skalarfeld$\psi=|\psi|e^{i\phi}$mit Phasenverschiebung$U(1)$Symmetrie. Man würde sich also sofort vorstellen, dass der 2D-Supraleitungs- oder Suprafluiditätsübergang niemals bei endlicher Temperatur auftreten würde (und daher diese Zustände niemals im thermodynamischen Limit existieren würden). Die gleiche Schlussfolgerung wird für den XY-Ferromagneten ($O(2)$klassische Spins auf einem 2D-Gitter) oder ein nematischer 2D-Flüssigkristall. Was Kosterlitz und Thouless weiter zeigten, war, dass das Theorem darin wahr war, dass keine kontinuierliche Symmetrie spontan bei endlicher Temperatur gebrochen wird, aber es gab immer noch eine kontinuierlichePhasenübergang (mit einer divergierenden Korrelationslänge) bei einer endlichen Temperatur in diesen Systemen. Dies ist eine wichtige Entdeckung, da das Landau-Ginzburg-Paradigma, das bis dahin zur Beschreibung kontinuierlicher Phasenübergänge und kritischer Phänomene verwendet wurde, immer einen spontanen Symmetriebruch mit dem Übergang in Verbindung brachte (beachten Sie, dass es jedoch ziemlich bekannt war, dass ein Übergang erster Ordnung keinen solchen erforderte Symmetriebrechung, vgl. den regulären Flüssig-Gas-Übergang). Später erweiterte Polyakov dieses Szenario, um Theorien zu messen (in der Hoffnung, den Einschluss in QCD zu beschreiben), was zu einigen sehr schönen Arbeiten führte, die beispielsweise zeigen, dass 2+1 „kompakte“ QED aufgrund topologischer Anregungen ein lückenhaftes Spektrum im IR hat ( Phys. Lett. B 59 , 1975 , Nucl. Phys. B 120, 1977 ) und die SU($N$) Thirring-Modell hat ein Fermion, das mit endlicher Masse im IR kondensiert , ohne die chirale Symmetrie der Theorie zu brechen ( E. Witten, Nucl. Phys. B 145 , 1978 ). Es wurde auch von D. Nelson und B. Halperin im Kontext des 2d-Schmelzens kristalliner Feststoffe ( Phys. Rev. B 19 , 1979 ) weiter ausgebaut, was zur Vorhersage einer neuen flüssigkristallinen hexatischen Phase führte.

Lassen Sie uns nach dieser sehr langen Einleitung nun einen Blick darauf werfen, worum es beim Übergang wirklich geht. Das einfachste Modell, das den BKT-Übergang zeigt, ist das XY-Modell. Betrachten Sie ein 2d-Gitter mit 2d-Einheitsvektoren an jeder Stelle. Jeder Vektor$\vec{S}_i$(vor Ort '$i$') in der Ebene liegt, wird durch einen einzigen Winkel angegeben$\theta_i$

$$\vec{S}_i=(\cos\theta_i,\sin\theta_i)$$ Das Modell wird nun durch den Hamilton-Operator des Systems spezifiziert, der Wechselwirkungen mit dem nächsten Nachbarn enthält, die sich bevorzugt in der Nähe von Spins ausrichten. In Ermangelung eines externen Feldes haben wir $$\begin{align} \beta\mathcal{H}&=-\dfrac{J}{k_B T}\sum_{\langle i,j\rangle}\vec{S}_i\cdot\vec{S}_j\\ &=-\dfrac{J}{k_B T}\sum_{\langle i,j\rangle}\cos(\theta_i-\theta_j) \end{align}$$ wo$J>0$die Wechselwirkungskopplungskonstante ist. Jetzt nehmen wir bei niedrigen Temperaturen, da die Schwankungen in den Winkeln bei großen Entfernungen gering sein werden, die Kontinuumsgrenze des Gittermodells unter der Annahme, dass sich das Winkelfeld langsam ändert. Deshalb schreiben$\theta_i-\theta_j=a\nabla\theta(x)\cdot\hat{e}_{ij}+O(a^2)$, wo$a\rightarrow0$ist der Gitterabstand und$\hat{e}_{ij}$der Einheitsvektor entlang der Gitterbindungs-Verbindungsstellen ist$i$und$j$, wir bekommen $$\beta\mathcal{H}_{\mathrm{cont.}}=\dfrac{\beta J}{2}\int\mathrm{d}^2x\ |\nabla\theta|^2$$ Bei kleinen Schwankungen ($\theta\ll 1$), die Tatsache, dass$\theta(x)$eine Winkelvariable ist, ist irrelevant, was es uns ermöglicht, die Zweipunkt-Korrelationsfunktion zu berechnen, da die Partitionsfunktion durch ein Gaußsches Integral gegeben ist. $$\langle|\theta(q)|^2\rangle=\dfrac{k_B T}{J\ q^2}$$ Dies ergibt eine inverse Fourier-Transformation $$\begin{gather} \langle\theta(x)^2\rangle=\dfrac{k_B T}{2\pi J}\ln\left(\dfrac{L}{a}\right)\\ \langle[\theta(x)-\theta(0)]^2\rangle=\dfrac{k_B T}{2\pi J}\ln\left(\dfrac{x}{a}\right) \end{gather}$$ $L$ist die Systemgröße (IR-Cutoff) und$a$der Gitterabstand (UV-Cutoff). Daher als$L\rightarrow\infty$,$\langle\vec{S}(x)\rangle=0$impliziert das Fehlen einer Fernordnung und $$\langle\vec{S}(x)\cdot\vec{S}(0)\rangle=\left(\dfrac{x}{a}\right)^{-\frac{k_BT}{2\pi J}}$$ Die Zwei-Punkt-Spin-Korrelation geht auf 0 as$x\rightarrow\infty$was auf das Fehlen einer Fernordnung hinweist (dies ist wieder nur das Mermin-Wagner-Theorem), obwohl der Zerfall sehr langsam ist. Es ist ein temperaturabhängiges Potenzgesetz anstelle des üblichen exponentiellen Abfalls (mit einer endlichen Korrelationslänge), der für eine ungeordnete Phase erwartet wird. Die Niedrigtemperaturphase des XY-Modells hat also eine sogenannte Quasi-Long-Range-Order (QLRO) mit unendlicher Korrelationslänge ($\xi=\infty$). Da gezeigt werden kann, dass zusätzliche Nichtlinearitäten, die von der Gradientenexpansion stammen, bei großen Entfernungen (im Sinne von RG) irrelevant sind, wird man sofort zu der Annahme verleitet, dass dieser Potenzgesetzzerfall für alle Temperaturen fortbesteht. Dies ist offensichtlich falsch, da uns der gesunde Menschenverstand (und auch Hochtemperatur-Schleifenerweiterungen des Gittermodells) sagen würde, dass die Wechselwirkung bei hohen Temperaturen irrelevant ist und jeden Spin im Wesentlichen unabhängig und zufällig lässt, was zu Dekorrelationen über einige Gitterabstände führt.

Die Auflösung wird dann erhalten, indem man feststellt, dass man die Winkelnatur von vergisst$\theta(x)$Die Kontinuums-Gaußsche "Spinwellen"-Theorie berücksichtigt nicht die Wicklungen des Winkelphasenfeldes$0$zu$2\pi$. Diese werden Vortices (und Anti-Wirbel) genannt und entsprechen topologischen Defekten in der$\theta(x)$Feld (das dann nicht im Kern des Fehlers definiert ist). Sie sind vollkommen vernünftige Konfigurationen auf dem Gitter, deren Kontinuumsgrenze Punktsingularitäten im Winkelfeld entspricht. Beachten Sie, dass diese Konfigurationen niemals in einer perturbativen Gradientenexpansion auftreten und daher von Natur aus nicht-perturbativ sind. Auf der Kontinuumsebene ist der Wirbel eine singuläre Lösung der Euler-Lagrange-Gleichung.

$$\nabla^2\theta=0\\ \oint_{\Gamma}\mathrm{d}s\cdot\nabla\theta=2\pi q$$ wo$\Gamma$ist eine geschlossene Schleife um den Ursprung und$q$ist die ganzzahlige "Ladung" des Wirbels. Dies besagt im Grunde, dass man einmal um den Ursprung herumgeht, das Phasenfeld$\theta$geht von$0$zu$2\pi q$(was das gleiche ist wie$0$für eine periodische Funktion als$q$ist eine ganze Zahl). Jetzt haben wir einen einzigen solchen Defekt$|\nabla\theta|=q/r$($r$die radiale Koordinate ist), können wir seine Energie berechnen zu: $$E_q=\pi J q^2\ln\left(\dfrac{L}{a}\right)$$ die im thermodynamischen Limes logarithmisch divergiert. Daher werden einzelne Defekte niemals angeregt, aber Defektpaare mit entgegengesetzten Ladungen (Dipole) haben eine endliche Energie und können bei endlicher Temperatur angeregt werden. Vernachlässigt man vorerst die Wechselwirkungen, so gibt es ein sehr einfaches handwinkendes Argument für die Existenz eines Phasenübergangs. Die Energie eines einzelnen freien Defekts divergiert, aber endlich$T$man muss sich die freie Energie ansehen, die auch entropische Beiträge enthält. Die Anzahl der Möglichkeiten, einen einzelnen Fehler der Größe$\sim a^2$kann in einem Bereich von platziert werden$L^2$ist ungefähr$(L/a)^2$. Wenn wir den Logarithmus nehmen, um die Entropie zu erhalten, haben wir für die freie Energie $$F=E_q-TS=(\pi J q^2-2 k_B T)\ln\left(\dfrac{L}{a}\right)$$ B. den niedrigsten Ladungsanregungen entsprechen$q=1$, wir haben für$T>T_c=\pi J/(2 k_B)$, wird die freie Energie negativ, was bedeutet, dass es eine Vermehrung freier Defekte im System gibt, wenn die Entropie die Defektenergetik besiegt. Das Einbeziehen von Fehlerinteraktionen ändert an diesem Bild nichts (sogar$T_c$Bleibt das selbe). Bei$T=T_c$, erhält man einen universellen Potenzgesetzzerfall (bis zu Log-Korrekturen) $$\langle\vec{S}(x)\cdot\vec{S}(0)\rangle=\left(\dfrac{x}{a}\right)^{-\eta}$$ mit$\eta(T_c)=1/4$. Über$T_c$, haben wir eine endliche Korrelationslänge ($\langle\vec{S}(x)\cdot\vec{S}(0)\rangle\sim e^{-x/\xi}$), die exponentiell schnell divergiert, wenn man sich der obigen Übergangsform nähert.

Hier haben wir also ein Modell, in dem sowohl Nieder- als auch Hochtemperaturphasen ungeordnet sind, aber es gibt einen endlichen Phasenübergang$T$das beinhaltet die Proliferation und Auflösung von Paaren topologischer Defekte. Betrachtet man die Defekte als elektrische Ladungen, erfolgt der Übergang dann von einer isolierenden Niedertemperaturphase zu einem leitenden Plasma mit frei beweglichen Ionen bei höherer Temperatur.

Das einfachste Modell mit einem KT-Übergang ist das klassische XY-Modell in 2D, das aus planaren klassischen Spins (d. h. zweidimensionalen Pfeilen) auf einem quadratischen Gitter besteht, die so interagieren, dass sie sich an ihren Nachbarn ausrichten möchten .

Bei Nulltemperatur sind die Zustände, die die Energie des Systems minimieren, ferromagnetische Zustände, dh alle Pfeile zeigen in die gleiche Richtung. Es gibt jedoch unendlich viele solcher Zustände, da man bei einer solchen Konfiguration (sagen wir, alle Spins zeigen in die "x"-Richtung) alle Spins um einen beliebigen Winkel drehen können und das System immer noch die minimale Energie hat durch Symmetrie möglich. Dies impliziert, dass man Anregungen mit beliebig kleiner Energie erzeugen kann (wäre Goldstone-Moden, wenn das System wirklich geordnet wäre).

Bei endlicher, aber kleiner Temperatur zerstören diese niederenergetischen Anregungen die Ordnung (die Ausrichtung der Spins), in Übereinstimmung mit dem Mermin-Wagner-Theorem. Man kann jedoch zeigen, dass das System aufgrund dieser gleichen niederenergetischen Anregungen dennoch langreichweitige Korrelationen (die algebraisch abklingen) aufweist. Dieser Analyse (als Spinwellenanalyse bezeichnet) kann bei sehr hohen Temperaturen nicht vertraut werden, wo wir erwarten, dass das System völlig ungeordnet ist, mit Korrelationen im Nahbereich.

Was bei der Spinwellenanalyse fehlt, ist die Möglichkeit von Wirbeln, dh die Möglichkeit, dass sich die Winkel der Spins auf den besuchten Gitterplätzen beim Gehen entlang einer geschlossenen Schleife auf dem Gitter zu Vielfachen von addieren$2\pi$, siehe Bild.

Diese Wirbel sind hochenergetische Spinanregungen, aber sie erweisen sich als sehr wichtig, um den Übergang von langreichweitiger Korrelation bei niedriger Temperatur zu kurzreichweitiger Korrelation bei hoher Temperatur zu verstehen. Darüber hinaus werden sie als topologische Anregungen bezeichnet, weil man einen Wirbel nicht rückgängig machen kann, indem man lokal die Ausrichtung von Spins ändert (das heißt, wenn man sich nur entscheidet, einen Spin um einen bestimmten Winkel zu drehen, bleibt der Wirbel immer noch da). Die einzige Möglichkeit, Wirbel zu zerstören, besteht darin, einen Wirbel mit einem Gegenwirbel (einem Wirbel, der sich in die entgegengesetzte Richtung dreht) zu vernichten. Ihre Entstehung geht auch paarweise.

Wir wissen, dass wir alle Zutaten haben. Bei niedriger Temperatur gibt es sehr wenige Wirbel-Antiwirbel-Paare, da ihre Erzeugung viel Energie kostet und dazu neigt, sehr nahe beieinander zu bleiben (sie sind begrenzt). Ähnlich wie ein elektrischer Dipol aus der Ferne nur neutral ist, beeinflussen diese begrenzten Paare die Korrelationen auf große Entfernung nicht allzu sehr, und diese sind immer noch weitreichend.

Mit steigender Temperatur bilden sich jedoch immer mehr Paare, und der Abstand zwischen Wirbeln und Gegenwirbeln wächst immer weiter auseinander, bis es zu einem unaufhaltsamen Übergang kommt: Alle Wirbel und Gegenwirbel können sich frei bewegen, was die Korrelationen zwischen ihnen zerstört zu weit entfernte Drehungen.

Dies ist der Kosterlitz-Thouless-Übergang.