Wie werden die Lagrange-Punkte bestimmt?

Skizzierter Beweis aller möglichen Lagrange-Punkte :

1. Betrachten Sie zunächst das 2-Körper-Problem . Schließen Sie daraus, dass mögliche Lagrange-Punkte in der Orbitalebene liegen müssen (weil eine Sonde immer gravitativ von der Orbitalebene angezogen wird). Von nun an beschränken wir unsere Aufmerksamkeit auf die Orbitalebene, die wir mit der komplexen Ebene identifizieren$\mathbb{C}$.

2. Betrachten Sie der Einfachheit halber das 2-Körper-Problem mit Kreisbahnen. Lassen$R$sei der feste Abstand zwischen den 2 Punktmassen$m_1$Und$m_2$. Wechseln Sie zum Koordinatensystem des rotierenden Massenschwerpunkts (CM), in dem sich die Punktmassen befinden$m_1$Und$m_2$sind an Positionen fixiert

   $$r_1~=~-\epsilon_2 R ~<~0\qquad\text{and}\qquad r_2~=~\epsilon_1 R~>~0 \tag{1}$$ entlang der reellen Achse, wo $$\begin{align} \epsilon_1~:=~&\frac{m_1}{m_1+m_2}~>~0,\cr \epsilon_2~:=~& \frac{m_2}{m_1+m_2}~>~0, \cr \epsilon_1+\epsilon_2~=~&1.\end{align}\tag{2}$$

         m_1           CM               m_2
    ------|-------------|----------------|-----------> z
         r_1            0               r_2
          |                              |
          |<--------------R------------->|
   

   $\uparrow$Abb. 1: Die Positionen$r_1$Und$r_2$der Massen$m_1$Und$m_2$.

3. Die Gravitationskraft auf$m_2$muss sich die Fliehkraft aufheben$m_2$:

   $$\frac{Gm_1m_2}{R^2} ~=~ m_2\Omega^2 r_2 \qquad\Rightarrow\qquad \Omega^2~=~\frac{G(m_1+m_2)}{R^3}.\tag{3}$$ Dadurch wird die Winkelgeschwindigkeit bestimmt$\Omega$des Koordinatensystems.

4. Daraus leiten Sie ab, dass sich eine Testmasse in Position befindet$z\in\mathbb{C}$erfährt eine Beschleunigung

   $$a~=~ -\frac{Gm_1z_1}{|z_1|^3} -\frac{Gm_2z_2}{|z_2|^3}+\Omega^2 z,\tag{4}$$ aus der Schwerkraft und der Zentrifugalkraft, wo wir die relativen Positionen definiert haben $$z_1~:=~ z-r_1~\neq~0\qquad\text{and}\qquad z_2~:=~ z-r_2~\neq~0.\tag{5}$$

5. Leiten Sie daraus die Gleichung ab

   $$a~=~0\tag{6}$$ für Lagrange-Punkte ist $$\frac{z}{R^3} ~\stackrel{(2)+(3)+(4)+(6)}{=}~\frac{\epsilon_1z_1}{|z_1|^3} +\frac{\epsilon_2z_2}{|z_2|^3} ,\tag{7}$$ oder gleichwertig, $$\begin{align}z~&\overbrace{\left(\frac{\epsilon_1}{|z_1|^3}+ \frac{\epsilon_2}{|z_2|^3}-\frac{1}{R^3}\right)}^{\in~\mathbb{R}} \cr ~\stackrel{(1)+(5)+(7)}{=}& \underbrace{\epsilon_1\epsilon_2R \left(\frac{1}{|z_2|^3}-\frac{1}{|z_1|^3} \right)}_{\in~\mathbb{R}}. \end{align}\tag{8}$$

6. Der einzige Weg das$z$auf der linken Seite. von Gl. (8) könnte eine nicht reelle Zahl sein, wenn die beiden Klammern in Gl. (8) sind beide Null. Dies ist die Bedingung, dass die 3 Körper ein gleichseitiges Dreieck bilden

   $$|z_1|~=~R~=~|z_2|. \tag{9}$$ Gl. (9) hat 2 Lösungen, nämlich die Lagrange-Punkte$L_4$Und$L_5$: $$\begin{array}{rcccl} z_1~&=&~R\exp\left\{\pm \frac{i\pi}{3} \right\} ~&=&~\frac{R}{2}\pm\frac{\sqrt{3}iR}{2}, \cr z_2~&=&~-R\exp\left\{\mp \frac{i\pi}{3} \right\} ~&=&~-\frac{R}{2}\pm\frac{\sqrt{3}iR}{2} . \end{array}\tag{10}$$

7. Daher dürfen (und werden) wir von nun an davon ausgehen$z\in\mathbb{R}$reell ist, dh dass die 3 Körper kollinear sind. Dann Gl. (7) wird zu einer Gleichung 5. Ordnung , deren Wurzeln im Allgemeinen keine geschlossene exakte Formel haben . Da die Ableitung

   $$\frac{da}{dz}~\stackrel{(4)}{=}~\frac{2Gm_1}{|z_1|^3} + \frac{2Gm_2}{|z_2|^3}+\Omega^2 ~>~0\tag{11}$$ ist positiv für$z\in\mathbb{R}\backslash\{r_1,r_2\}$, kann es in jedem der stetigen Intervalle höchstens eine Wurzel geben $$]-\infty,r_1[, \qquad ]r_1,r_2[ \qquad\text{and}\qquad ]r_2,\infty[.\tag{12}$$ Daher die Gleichung$a=0$hat höchstens 3 echte Wurzeln. Das Verhalten der Funktion$a$in der Nähe der Singularitäten$z\in\{-\infty,r_1,r_2,\infty\}$zeigt, dass die Gleichung$a=0$hat genau 3 echte Wurzeln$L_1$,$L_2$&$L_3$, vgl. Abb. 2. Siehe z. B. Lit. 1 und Wikipedia für weitere Details.

   

   $\uparrow$Abb. 2: Ein Beispiel für die Beschleunigung$a$als Funktion (4) der Position$z$. Die Funktion$a$hat Singularitäten an den Positionen$z\in\{-\infty,r_1,r_2,\infty\}$. Die Steigung (11) ist überall positiv. Es gibt immer genau 3 reelle Wurzeln$L_1$,$L_2$&$L_3$.

8. Zur Stabilitätsfrage siehe zB this und this Phys.SE posts.$\Box$

Verweise:

1. J. Binney & S. Tremaine, Galactic Dynamics, 2. Auflage (2008); P. 676.

Die Lagrange-Punkte sind Positionen, an denen ein anderes Objekt die Sonne mit der gleichen Periode wie die Erde umkreisen kann. (L1 wäre ein guter Ort, um einen Asteroiden zu parken, um einen Teil der Wärme von der Sonne zu blockieren.) Nehmen wir an, dass Erde und Mond im Massenzentrum wie eine einzige kombinierte Masse wirken. Man könnte annehmen, dass sich ein Objekt auf L1 (einer kleineren Umlaufbahn um die Sonne) schneller bewegen würde als die Erde, aber solange es in einer Linie mit der Erde bleibt, gleicht die Schwerkraft der Erde die zusätzliche Anziehungskraft der Sonne aus. In ähnlicher Weise arbeitet bei L2 und L3 die Anziehungskraft der Erde mit der von der Sonne zusammen. Bei L4 und L5 bestimmt die Vektorsumme der beiden Kräfte die Umlaufbahn. (Siehe die Antwort von Qmechanic für Formeln.)