Die potentielle Energie geht beim N-Körper-Problem gegen unendlich

Ich brauche Hilfe, um dieses Problem im Zusammenhang mit dem N-Body-Problem zu lösen. Ich verstehe nicht ganz genau, was ich definieren oder ausdrücken muss, um es zu lösen.

Wir gehen für alle von einer bestimmten Lösung des N-Körper-Problems aus$t>0$, Und$h>0$, Wo$h$die Gesamtenergie der N-Körper ist, zeigen Sie das$U\rightarrow \infty$als$t\rightarrow \infty$. Das heißt, der Abstand zwischen einem Teilchenpaar geht ins Unendliche? (NEIN.)

Beim N-Body-Problem$U$wird von gegeben$U=\sum_{1\leq i< j\leq N}\frac{Gm_{i}m_j}{\left \| q_i-q_j \right \|}$, Wo$G$ist die Gravitationskonstante. Die kinetische Energie ist$T=\sum_{i=1}^{N}\frac{\left \| p_i \right \|^2}{2m_i}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}m_i{\left \| \dot{q}_i \right \|^2}$

Der Vektor$q_{i}$Definieren Sie den Positionsvektor der$i$Partikel. Also im Grunde genommen$U$ist wie die Summe aller potentiellen Energien zwischen allen$N$Partikel. Auch durch die Lagrange-Jacobi-Formel haben wir das$I$ist das Trägheitsmoment,$T$die kinetische Energie, damit wir ausdrücken können:

Wo$h$ist eine Erhaltungsgröße.

Ich denke, wenn$U\rightarrow \infty$, Dann$T\rightarrow \infty$(Weil$h$ist konstant), das Problem ist, dass der einzige Weg, den ich sehe$U\rightarrow \infty$ist, wenn der Abstand zwischen allen Teilchen$\left \| q_i-q_j \right \| \rightarrow 0$, aber es bedeutet, dass es eine Kollision geben wird, also wenn wir dann eine Kollision haben$t\rightarrow t_1$und nicht zu$\infty$, weil eine Kollision eine endliche Zeit dauert (Sundmanns Theorem des totalen Zusammenbruchs) , wie gesagt, ich weiß nicht, was ich definieren muss, um das zu zeigen$U\rightarrow \infty$als$t\rightarrow \infty$, oder vielleicht muss ich a definieren$q_i(t)$das irgendwie das$\left \| q_i-q_j \right \|$geht sehr nahe an Null, aber niemals Null, also$t$dürfen$t\rightarrow \infty$?

Was ist auch mit der Frage eines Teilchenpaares, das ins Unendliche geht? Es ist klar, dass sie nicht gehen sollten$\infty$weil dann$U\rightarrow 0$, und wir versuchen den anderen Fall zu beweisen.