So lösen Sie die Bewegungsgleichung des Abstandsquadrats

Aber ich frage mich, ob es möglich ist, die beiden Gleichungen von r in Bezug auf t und θ in Bezug auf t zu lösen.

Ja, du kannst. Im Fall einer elliptischen Umlaufbahn mit einem Drehimpuls ungleich Null müssen Sie die Konzepte der exzentrischen Anomalie , der mittleren Anomalie und der mittleren Bewegung einführen .

Die exzentrische Anomalie ist mit der wahren Anomalie (Ihr Theta) über verbunden

Wo$\varepsilon$ist die Exzentrizität der Umlaufbahn.

Die exzentrische Anomalie ist über die Kepler-Gleichung mit der mittleren Anomalie verbunden .

Die mittlere Anomalie ist eine lineare Funktion der Zeit mit der mittleren mittleren Bewegung$n$Angabe der Zeitkonstante:

Schließlich die mittlere mittlere Bewegung$n$ist eine Konstante, die durch die Massen der umkreisenden Körper und den Abstand, in dem sie einander umkreisen, bestimmt wird:

Wo$a$ist die große Halbachse der Umlaufbahn, und$\mu_1$Und$\mu_2$sind die Gravitationsparameter der umlaufenden Körper:$\mu_k = GM_k$, Wo$G$ist Newtons Gravitationskonstante und$M_k$ist die Körpermasse$k$. (Aber in der Praxis verwendet man typischerweise eher den Gravitationsparameter als Masse und$G$. Der Gravitationsparameter ist gut beobachtbar. Masse und Gravitationskonstante nicht.)

Im Fall einer parabolischen oder hyperbolischen Flugbahn müssen Sie die parabolische oder hyperbolische Anomalie anstelle der elliptischen Anomalie verwenden. Im Fall eines Drehimpulses von Null müssen Sie das radiale Kepler-Problem lösen.

Finden$\theta(t)$, benötigen Sie die mittlere Bewegung$n$, die Exzentrizität$\varepsilon$, und der Wert von$\theta$zu irgendeiner Epochenzeit$t_0$,$\theta_0$. Mit den obigen Gleichungen können Sie die anfängliche mittlere Anomalie berechnen$M_0$angesichts dieser anfänglichen wahren Anomalie$\theta_0$und die Exzentrizität. Die mittlere Anomalie irgendwann$t$ist trivial, da die mittlere Anomalie eine lineare Funktion der Zeit ist. Der knifflige Teil besteht darin, die exzentrische Anomalie zu diesem Zeitpunkt zu finden.

Die Kepler-Gleichung ist eine transzendente Gleichung. Sie hat sicherlich eine Umkehrung, aber diese Umkehrung kann nicht in Begriffen der elementaren Funktionen ausgedrückt werden. In den vier Jahrhunderten, seit Kepler herausfand, dass Planetenbahnen Ellipsen sind, wurden viele hundert Artikel geschrieben, um das inverse Kepler-Problem zu lösen. Der am weitesten verbreitete Ansatz ist die Verwendung eines Newton-Raphson-Iterators. Das funktioniert großartig, solange die Exzentrizität nicht groß ist ($\varepsilon < 0.8$). Für stark exzentrische Umlaufbahnen sind spezielle Techniken erforderlich.

Alternativ kann man auch ganz auf den keplerschen Ansatz verzichten und die Bewegungsgleichungen numerisch integrieren. Keplersche Umlaufbahnen sind eine nette Fiktion. Sie existieren nur bei einem Zweikörperproblem, das dem Newtonschen Gravitationsgesetz folgt. Unser Sonnensystem hat eine zentrale Masse (die Sonne), acht Planeten (Merkur, Venus, ... Neptun) und einen Haufen kleinerer Körper (Pluto, Ceres usw.). Umlaufbahnen in unserem Sonnensystem sind nur annähernd elliptisch. Außerdem ist das Newtonsche Gravitationsgesetz nur annähernd richtig. Die Allgemeine Relativitätstheorie beschreibt die Orbitalbewegung genauer als die Newtonsche Mechanik.

Es gibt keine Möglichkeit, dies einfach oder sogar iterativ zu lösen. Der einzige Weg, dieses Durcheinander zu umgehen, ist die Verwendung numerischer Integrationstechniken. Jetzt geht es nicht nur um Hunderte von Fachartikeln, sondern um viele Tausende von Artikeln, von denen einige bis heute veröffentlicht werden.

Es ist möglich zu finden$t(r)$Und$t(\theta)$leicht, aber invertierend zu finden$r(t)$Und$\theta(t)$ist im Allgemeinen schwer zu tun (es sei denn, Sie verwenden Fourier-Reihen usw.)

Wie @David Hammen bemerkte, können Sie einige Hilfsvariablen definieren, um Ihre Ausdrücke zu vereinfachen, aber am Ende bleibt die Beziehung zu invert transzendent und Sie können nur haben$r(t)$implizit.