Berechnung der Geschwindigkeit einer elliptischen Umlaufbahn

Question

Berechnung der Geschwindigkeit einer elliptischen Umlaufbahn

ODP

Ich brauche eine Erklärung, warum meine Lösung für dieses Problem nicht funktioniert (bitte geben Sie mir keine Antwort oder sagen Sie mir genau, wie es geht, da dies eine Hausaufgabe ist, die ich selbst erledigen muss, Hinweise sind jedoch erlaubt) .

Ich erhalte die Geschwindigkeit für einen bestimmten Abstand von der Sonne in einer elliptischen Umlaufbahn und muss die Geschwindigkeit in einem anderen bestimmten Abstand berechnen.

Also dachte ich, die Tatsache zu nutzen, dass

$T\propto r^{\frac{3}{2}}$

$T^2\propto r^3$

$\therefore \frac{T^2}{r^3}=k$ ,

Wo $k$ ist etwas konstant.

Das bedeutet, dass

$\frac{T_1^2}{r_1^3}=\frac{T_2^2}{r_2^3}$ .

Ersetzen $T=\frac{2\pi r}{v}$ gibt

$\frac{4\pi^2r_1^2}{v_1^2r_1^3}=\frac{4\pi^2r_2^2}{v_2^2r_2^3}$

$\frac{r_1^2}{v_1^2r_1^3}=\frac{r_2^2}{v_2^2r_2^3}$

$v_2=\sqrt{\frac{v_1^2r_1}{r_2}}$ .

Wenn ich meine Werte einstecke und meine Antwort eingebe, heißt es, dass sie falsch ist.

Warum ist diese Lösung falsch?

Ich habe dies jetzt mit Impulserhaltung abgeschlossen, aber warum ist diese Lösung trotzdem falsch?

BowlOfRed

Sie brauchen nicht die Masse des Kometen. Die potenzielle Gravitationsenergie und die kinetische Energie haben beide a

m

$m$ Begriff, der sich aufhebt.

ODP

Natürlich dumm von mir

HDE226868

Wenn Sie die Winkelgeschwindigkeit finden müssen, können Sie immer diese Gleichung verwenden:

R = \frac{l^{2}}{M^{2} γ} \frac{1}{1 + e \cos θ}

$r=\frac{l^2}{m^2 \gamma}\frac{1}{1+e \cos \theta}$ Aber ich denke, das macht die Sache zu kompliziert.

HDE226868

Mein einziger Gedanke ist, dass Keplers drittes Gesetz vielleicht nicht für die Verwendung in verschiedenen Teilen einer Umlaufbahn gültig ist, sondern einfach nur zwei Umlaufbahnen vergleicht.

Antworten (3)

Berechnung der Geschwindigkeit einer elliptischen Umlaufbahn

Sie brauchen nicht die Masse des Kometen. Die potenzielle Gravitationsenergie und die kinetische Energie haben beide a $m$ Begriff, der sich aufhebt.
Wenn Sie die Winkelgeschwindigkeit finden müssen, können Sie immer diese Gleichung verwenden: $R = \frac{l^{2}}{M^{2} γ} \frac{1}{1 + e \cos θ}$ $r=\frac{l^2}{m^2 \gamma}\frac{1}{1+e \cos \theta}$ Aber ich denke, das macht die Sache zu kompliziert.
Mein einziger Gedanke ist, dass Keplers drittes Gesetz vielleicht nicht für die Verwendung in verschiedenen Teilen einer Umlaufbahn gültig ist, sondern einfach nur zwei Umlaufbahnen vergleicht.

BowlOfRed · Answer 1

Ihre Gleichung bezieht die Periode der Umlaufbahn auf die Länge der großen Halbachse, nicht auf die absolute Entfernung an irgendeinem Punkt. Sie können die Vis-viva-Gleichung verwenden , wenn Sie mehr Informationen haben. Aber Sie haben nicht die Länge der großen Halbachse oder andere Details über die Umlaufbahn.

Wie Sie vorschlagen, ist die Energieeinsparung der einfachere Weg nach vorne.

Floris · Answer 2

Es scheint mir, dass Sie das Problem wie angegeben falsch verstehen. Sie gehen davon aus, dass Sie nach zwei verschiedenen Objekten (Planeten?) in verschiedenen Umlaufbahnen gefragt werden; aber ich denke, wenn ich die Frage lese, dass Sie an verschiedenen Punkten seiner elliptischen Umlaufbahn nach demselben Objekt gefragt werden.

Für ein Objekt in einer elliptischen Umlaufbahn sagt Ihnen die Erhaltung des Drehimpulses, wie die Tangentialgeschwindigkeit als Funktion der Entfernung sein muss; und wenn die Exzentrizität der Bahn klein ist, also die Radialgeschwindigkeit vernachlässigt werden kann, dann findet sich die Lösung trivial.

Wenn Sie die Radialgeschwindigkeit nicht ignorieren können, müssten Sie eigentlich wissen, an welchem Punkt der Umlaufbahn Sie sich befinden, um die Berechnung abzuschließen - denn wenn Sie die Exzentrizität der Umlaufbahn nicht kennen, können Sie nicht einfach das Verhältnis der Geschwindigkeiten berechnen an zwei verschiedenen Punkten in einer Umlaufbahn, wenn Sie nur die Radien haben. Für Umlaufbahnen wo $r_1$ Und $r_2$ entsprechen dem Perigäum und Apogäum (am weitesten entfernter und am nächsten gelegener Punkt) die Radialgeschwindigkeit ist an beiden Punkten Null und die Erhaltung des Drehimpulses kann trivial verwendet werden; Wenn Sie jedoch eine andere Umlaufbahn mit demselben Perigäum, aber einer anderen Exzentrizität hätten (und somit eine radiale Geschwindigkeitskomponente bei $r_2$ ) dann MUSS das Verhältnis der Geschwindigkeiten unterschiedlich sein.

Die Energieerhaltung sollte Ihnen hier helfen können - summieren Sie die potentiellen und kinetischen Energien an den beiden Punkten.

Der Grund, warum Ihr erster Versuch nicht funktioniert, ist, dass Sie das Keplersche Gesetz unangemessen anwenden - Sie verwenden die sofortige Entfernung $r$ als ob es gleich der großen Halbachse ist. Was in diesem Fall nur (im Allgemeinen) für eine kreisförmige Umlaufbahn gilt $r_1=r_2$ und dein Ausdruck sagt, dass die Geschwindigkeiten gleich bleiben ...

Mike Victor · Answer 3

In einfachen Worten, da die Umlaufbahn elliptisch ist, müssen Sie wissen, dass die Geschwindigkeit an keinem Punkt der Umlaufbahn konstant ist. Es ändert sich ständig.

T=2πr/v gilt nur für eine kreisförmige Umlaufbahn, bei der die Geschwindigkeit an jedem Punkt der Umlaufbahn konstant ist.

Energieerhaltung: (v^2 / 2) - (GM/r) = -(GM/2a) wobei G = Gravitationskonstante M = Masse der Erde m = Masse des Planeten (oder was auch immer umkreist) a = Länge der großen Halbachse der Ellipsenbahn v = Geschwindigkeit an einem Punkt, der im Abstand r von der Sonne liegt

Stattdessen sollten Sie zuerst die Energieerhaltungsformel verwenden, um die Länge der großen Halbachse zu ermitteln, und dann erneut die Energieerhaltungsformel verwenden, um die erforderliche Geschwindigkeit (oder vielmehr Geschwindigkeit) zu ermitteln.

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ODP

BowlOfRed

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HDE226868

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Floris

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