Wie wird der Gitterkonstante in einer bcc-Einheitszelle abgeleitet?

Ich habe einen Text, der besagt:

Die Atome berühren sich entlang a ⟨ 111 ⟩ Richtung und dies wird als dicht gepackte Richtung bezeichnet. Der Gitterparameter A = 4 R / 3 und der Abstand der Atome entlang ⟨ 110 ⟩ Wegbeschreibung ist A 2 .

Ich versuche, diese Gitterkonstante zu überprüfen A . Auf dem Bild unten A wird gezeigt. Das linke Bild ist die bcc-Einheitszelle und das rechte a ( 110 ) Flugzeug (links grün markiert).

Rechts ist ein Pfeil, der eine dicht gepackte Richtung zeigt, in der sich die Atome treffen, wie der Text sagt.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Beim Ableiten A , nehme ich ein rechtwinkliges Dreieck wie das oben blau markierte. A ist die Hypetenuse, und da sich die Atome (laut Text) entlang der Katheten (jeweils der anderen beiden Schenkel) treffen, wären diese jeweils 2 mal so groß wie der Radius, 2 R .

Von Pythagoras:

A 2 = ( 2 R ) 2 + ( 2 R ) 2 ⇔ A = 4 R 2 + 4 R 2 = 8 R 2 = 8 R ≈ 2.83 R

Also nicht die gleiche Antwort wie A = 4 R / 3 ≈ 2.30 R .

Verwechsle ich die Richtungen? Oder wo liegt der Fehler?

Antworten (2)

Der Punkt der Berechnung besteht darin, eine Beziehung zwischen der Gitterkonstante herzuleiten A und der Atomradius R ; man kann sie auch nicht "ableiten", aber man kann sie zueinander in Beziehung setzen.

Der Schlüssel zu der Beziehung ist die Diagonale, die gegenüberliegende Eckpunkte der Einheitszelle verbindet und durch den Mittelpunkt geht, dessen Länge durch den (dreidimensionalen) Satz des Pythagoras gegeben ist

L = A 2 + A 2 + A 2 = 3 A .
Diese Länge kreuzt die Hälfte des Atoms in einem Scheitelpunkt, die volle Länge des Mittelpunktatoms und die Hälfte des Atoms im anderen Scheitelpunkt, und da ist garantiert, dass sich die Atome berühren ⟨ 111 ⟩ Richtung dann deckt dies die Länge der Diagonale vollständig ab und gibt Ihnen
L = R + 2 R + R = 4 R .
Setzt man die beiden zusammen, erhält man A = 4 R / 3 .

Ich verstehe, das ist eine klare Ableitung, danke. Siehst du zufällig den Fehler in meinem Versuch?
@Steeven Um ehrlich zu sein, kann ich in der Frage weder Kopf noch Zahl machen.

Ihr Fehler besteht darin anzunehmen, dass das blaue Dreieck einen rechten Winkel hat. Das Dreieck liegt nicht in der horizontalen Ebene. Das rechte Atom ist über den anderen beiden. Die beiden blauen Linien, die Sie als Seiten eines rechten Winkels betrachten, sind eigentlich Segmente der Körperdiagonalen. Der Winkel zwischen ihnen beträgt etwa 109 Grad.

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Wie wird der Gitterkonstante in einer bcc-Einheitszelle abgeleitet?
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