Wiederherstellung der Positionsraum-Wahrscheinlichkeitsdichte aus QFT

In letzter Zeit habe ich versucht, mich mit der Beziehung zwischen Quantenfeldern und der Wellenfunktion der nicht-relativistischen Quantenmechanik auseinanderzusetzen. Es ist bekannt, dass QFT durch die Herabstufung von Position zu einem einfachen Label kein Positionsoperator fehlt$\hat{x}$und damit eine Positionsbasis$|x\rangle$. Eine direkte Folge davon ist, dass Sie keine Ortsraum-Wellenfunktion konstruieren können$\psi(x)=\langle x|\psi\rangle$. Trotzdem zeigen Experimente wie das Elektron-Doppelspalt-Experiment, dass es tatsächlich eine Art Orts-Raum-Wahrscheinlichkeitsdichte gibt, die man rekonstruieren kann, zumindest im nicht-relativistischen Grenzfall. Dann stellt sich natürlich die Frage: Welche Form hat die angenäherte Wahrscheinlichkeitsdichte?$|\psi(x)|^2$QFT aufnehmen?

Diese hervorragende Antwort von Chiral Anomaly hat viele meiner Zweifel bezüglich einer ähnlichen Frage im Zusammenhang mit dem Photonen-Doppelspaltexperiment ausgeräumt. Das klassische EM-Wellen-Interferenzmuster wird durch eine Überlagerung von kohärenten Zuständen realisiert, die den beiden Schlitzen entsprechen. Dieses Muster fungiert als Wahrscheinlichkeitsverteilung für lokalisierte Detektionen einzelner Photonen, die auffallend ähnlich derjenigen ist, die von einer naiven Interpretation der Born-Regel erwartet wird. So wie ich es verstanden habe, funktioniert die Lokalisierung der Photonen, weil, während die Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren streng nichtlokal sind, ihre Kommutatoren mit dem Feld schnell abnehmende Funktionen der raumartigen Trennung sind:$\left[F^\pm(\vec x,t),\,F(\vec y,t)\right] \sim |\vec x-\vec y|^{-4}$. Für eine ausreichend grobe Auflösung im Detektor können sie daher als lokal betrachtet werden.

Dieselbe Art von Lokalisierungskonzept gilt für Elektronen, nur dass der Kommutator jetzt eine exponentiell abnehmende Funktion der raumartigen Trennung ist$\left[\psi^\pm(\vec x,t),\,\psi(\vec y,t)\right] \sim e^{-m|\vec x-\vec y|}$. Das Interferenzmuster für Elektronen entsteht jedoch auf ganz andere Weise: durch Beugung und Interferenz der Elektronenwellenfunktion. Die wellenartige Natur des Lichts wird durch kohärente Zustände erklärt, aber wie wird die Positionswellenfunktion des Elektrons durch QFT erklärt?

Im Anschluss an die Arbeit von Chiral Anomaly möchte ich hier meinen ersten Versuch vorstellen, dies mathematisch zu verstehen. Bitte lassen Sie mich wissen, ob das Sinn macht oder ob ich etwas falsch verstanden habe :)

Betrachten Sie der Einfachheit halber ein massives Skalarfeld$\phi$. Wir führen den folgenden Teilchenzahloperator ein, der jedem Pixel entspricht,$i$, eines Detektors:

$$N(\beta_i,t) := \int d^3x\ \beta_i(\vec x)\phi^+(\vec x,t)\phi^-(\vec x,t)\tag*{(1)}$$ Wo$\phi^\pm(\vec x,t)$sind die Schöpfungs- und Vernichtungsteile der Felderweiterung und$\beta_i(\vec{x})$ist eine reellwertige Schmierfunktion, die außerhalb des Detektorpixels null ist$i$. Dieser Operator ist nicht lokal (zählt also genau die Partikelzahl), hat aber eine charakteristische Skala$1/m$($\hbar/mc$in nichtnatürlichen Einheiten) aus dem oben erwähnten exponentiellen Abfall des Kommutators. Solange also das Pixel größer als diese Längenskala ist, kann der Operator in guter Näherung als lokal angesehen werden.

Betrachten Sie einen beliebigen Zustand, der durch gegeben ist

$$|\psi\rangle=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_\vec{p}}\tilde{\psi}(\vec{p})|\vec{p}\rangle,\tag*{(2)}$$ Wo$\tilde{\psi}(\vec{p})$ist eine quadratintegrierbare Funktion, die wir die "Impuls-Raumwellenfunktion" nennen werden. Das haben wir dann $$\begin{align*} \phi^-(\vec{x},t)|\psi\rangle&=\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_\vec{q}}}a_\vec{q} e^{-iq_\mu x^\mu}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_\vec{p}}\tilde{\psi}(\vec{p})|\vec{p}\rangle\\ &=\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_\vec{p}\sqrt{2\omega_\vec{q}}}e^{-iq_\mu x^\mu}\tilde{\psi}(\vec{p})a_\vec{q}|\vec{p}\rangle\tag*{(3)} \end{align*}$$ verwenden$a_\vec{q}|\vec{p}\rangle=(2\pi)^3\sqrt{2\omega_\vec{p}}\delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q})|0\rangle$, dies reduziert sich auf $$\begin{align*} \phi^-(\vec{x},t)|\psi\rangle&=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_\vec{p}}e^{-ip_\mu x^\mu}\tilde{\psi}(\vec{p})|0\rangle\tag*{(4)} \end{align*}$$ Im nichtrelativistischen Limes haben wir das$|\vec{p}|\ll m$, So$\omega_\vec{p}\approx m$und wir kommen an $$\begin{align*} \phi^-(\vec{x},t)|\psi\rangle&\approx\frac{e^{-imt}}{2m}\left(\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{i\vec{p}\cdot\vec{x}}\tilde{\psi}(\vec{p})\right)|0\rangle\tag*{(5)} \end{align*}$$ Das Integral in Klammern erkennen wir als Fourier-Transformierte der Impuls-Raumwellenfunktion, die in der QM genau die Orts-Raumwellenfunktion ist$\psi(\vec{x})$. Setzt man dies in den Erwartungswert für die Teilchenzahl ein, erhält man $$\langle\psi|N(\beta_i,t)|\psi\rangle=\int d^3x\ \beta_i(\vec{x})\,\langle\psi|\phi^+(\vec x,t)\phi^-(\vec x,t)|\psi\rangle=\frac{1}{4m^2}\int d^3x\ \beta_i(\vec x)\,\psi^*(\vec{x})\psi(\vec{x}),\tag*{(6)}$$ was z$\beta_i(\vec{x})=1$innerhalb des Pixels, ist einfach die integrierte Wahrscheinlichkeitsdichte der Wellenfunktion über das Pixel wie bei gewöhnlicher QM.

Das scheint also zu funktionieren ... fast: Die Zeitabhängigkeit ist verschwunden! Ich bin mir also nicht sicher, ob ich das richtig mache (ich vermute meine Gleichsetzung mit$\omega_p$mit$m$möglicherweise nicht gültig). Meine Frage ist: Funktioniert das, und wenn nicht, was ist der richtige Weg, um die Positionsraum-Wahrscheinlichkeitsdichte in QFT wiederherzustellen?

---

Edit: Einschließlich der$p^2$Term im nichtrelativistischen Grenzfall.

Für$|\vec{p}|/m\ll 1$wir haben, bis zur zweiten bestellung in$p$,

$$\begin{align*} &\omega_p\approx m+\frac{\vec{p}^2}{2m}\tag*{(7)}\\\frac{1}{\omega_p}&\approx \frac{1}{m^2}\left(m-\frac{\vec{p}^2}{2m}\right)\tag*{(8)} \end{align*}$$ Anstelle von Gleichung 5 haben wir also $$\begin{align*} \phi^-(\vec{x},t)|\psi\rangle&\approx\frac{e^{-imt}}{2m^2}\left(m\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}e^{-i\frac{p^2}{2m}t}e^{i\vec{p}\cdot\vec{x}}\tilde{\psi}(\vec{p})-\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{p^2}{2m}e^{-i\frac{p^2}{2m}t}e^{i\vec{p}\cdot\vec{x}}\tilde{\psi}(\vec{p})\right)|0\rangle\\ &=\frac{e^{-imt}}{2m^2}\left(m\,\psi(\vec{x},t)+\frac{1}{2m}\nabla^2\psi(\vec{x},t)\right)|0\rangle\tag*{(9)} \end{align*}$$ Wo$\psi(\vec{x},t)$ist die (jetzt) ​​zeitabhängige Ortswellenfunktion und erfüllt die freie nicht-relativistische Schrödinger-Gleichung.

Das Einsetzen in das Integral für den Zahlenerwartungswert ergibt dann in zweiter Ordnung$|\vec{p}|,$

$$\begin{align*} \langle\psi|N(\beta_i,t)|\psi\rangle&=\frac{1}{4m^2}\int d^3x\ \beta_i(\vec x)\left(\psi^*(\vec{x})\psi(\vec{x})+\frac{1}{2m^2}(\psi\nabla^2\psi^*+\psi^*\nabla^2\psi)\right)\tag*{(10)} \end{align*}$$ Das ist die gewöhnliche Wahrscheinlichkeitsdichte plus ein zusätzlicher "aktueller" Term$\sim (\psi\nabla^2\psi^*+\psi^*\nabla^2\psi)$$\sim (\psi\partial_t\psi^*-\psi^*\partial_t\psi)$das scheint nicht zu verschwinden, wenn es integriert ist, soweit ich das beurteilen kann.