Wirkungsquerschnitt im relativistischen Limes: Fermis goldene Regel noch gültig?

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Wirkungsquerschnitt im relativistischen Limes: Fermis goldene Regel noch gültig?

Physik
Relativität
Teilchenphysik
fermis-goldene-regel
Quantenfeldtheorie
Streuquerschnitt

Chris

Um den Wirkungsquerschnitt eines Wechselwirkungsprozesses zu berechnen, wird in erster Näherung oft folgende Formel verwendet:

σ = \frac{2 π}{ℏ v_{ich}} {| M_{f ich} |}^{2} ϱ (E_{f}) v

$\sigma = \frac {2\pi} {\hbar\,v_i} \left| M_{fi}\right|^2\varrho\left(E_f\right)\,V$

M_{f ich} = ⟨ ψ_{f} | H_{ich n t} | ψ_{ich} ⟩

$M_{fi} = \langle\psi_f|H_{int}|\psi_i\rangle$

Sehr oft werden für den Endzustand ebene Wellen angenommen und damit die Zustandsdichte durch gegeben

ϱ (E_{f}) = \frac{d n (E_{f})}{d E_{f}} = \frac{4 π {p_{f}}^{2}}{{(2 π ℏ)}^{3}} \frac{v}{v_{f}}

$\varrho\left(E_f\right) = \frac{\mathrm d n\left(E_f\right)}{\mathrm d E_f} = \frac{4\pi {p_f}^2}{\left(2\pi\hbar\right)^3}\frac V {v_f}$

Ich verstehe die Herleitung dieser Gleichung im Kontext der nichtrelativistischen Schrödinger-Gleichung. Aber warum kann ich diese Formel im relativistischen Limes weiterverwenden: $v_i, v_f \to c\,,\quad p_f\approx E_f/c$ .

Sehr oft verwenden Bücher diese Gleichung einfach mit Matrixelementen, die aus einer relativistischen Theorie abgeleitet sind, z. B. Kopplungsfaktoren und Propagatoren aus der Dirac-Gleichung oder der elektroschwachen Wechselwirkung. Wie wird das begründet?

Spezifische Bedenken:

Gilt die goldene Regel von Fermi im relativistischen Limes noch?
Muss im relativistischen Limes nicht die Dichte der Endzustände angepasst werden?

Antworten (1)

Wirkungsquerschnitt im relativistischen Limes: Fermis goldene Regel noch gültig?

jdm · Answer 1

Fermis goldene Regel gilt immer noch in der relativistischen Grenze und kann auf Lorentz-invariante Weise umgeschrieben werden. Beginnend mit der Übergangswahrscheinlichkeit

W_{ich \to f} = \frac{2 π}{ℏ} | m_{ich f} |^{2} ρ (E),

$W_{i\rightarrow f} = \frac{2\pi}{\hbar} |m_{if}|^2 \rho(E) \,,$ haben

W

$W$ Lorentz-Invariante möchten wir sowohl das Matrixelement

| m_{i f} |^{2}

$|m_{if}|^2$ und die Dichte der Endzustände

ρ (E)

$\rho(E)$ unveränderlich sein.

Dies kann durch Verschieben einiger Terme erreicht werden. Ein bisschen Handwinken zur Motivation: Die Wellenfunktion $\psi$ (das im Matrixelement steht) muss durch normalisiert werden $\int |\psi|^2 dV = 1$ , was uns eine Dichte (der Wahrscheinlichkeit, einem Teilchen zu begegnen) von gibt $1/V$ . Nun erfährt ein aufgeladener Beobachter eine Längenkontraktion von $1/\gamma$ , was die Dichte zu ändert $\gamma/V$ . Um wieder die richtige Wahrscheinlichkeit zu erhalten, sollten wir die Wellenfunktion erneut auf normieren $\psi' = \sqrt{\gamma}\,\psi$ indem man den Lorentzfaktor herauszieht.

Wir führen also ein neues Matrixelement ein

| M_{ich f} |^{2} = | m_{ich f} |^{2} \prod_{ich = 1}^{n} (2 γ_{ich} m_{ich} c^{2}) = | m_{ich f} |^{2} \prod_{ich = 1}^{n} (2 E_{ich})^{2}

$|{\cal M}_{if}|^2 = |m_{if}|^2 \prod_{i=1}^n (2 \gamma_i m_i c^2) =|m_{if}|^2 \prod_{i=1}^n (2E_i)^2$ (Dies ist für eine

n

$n$ -Körperprozess). Nun wird die Übergangswahrscheinlichkeit (hier in Differentialform) zu:

d W = \frac{2 π}{ℏ} \frac{| M_{ich f} |^{2}}{(2 E_{1})^{2} (2 E_{2})^{2} \dots} \cdot \frac{1}{(2 π ℏ)^{3 n}} d^{3} p_{1} d^{3} p_{2} \dots δ ({p_{1}}^{μ} + {p_{2}}^{μ} + \dots - p^{μ})

$dW = \frac{2\pi}{\hbar} \frac{|{\cal M}_{if}|^2}{ (2E_1)^2 (2E_2)^2 \cdots} \cdot \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3n}} \, d^3p_1 \, d^3p_2 \, \cdots \delta({p_1}^\mu + {p_2}^\mu + \ldots - {p}^\mu )$ Die Delta-Funktion dient dazu, die Erhaltung von Impuls und Energie sicherzustellen. Jetzt können wir die Begriffe umgruppieren:

\Rightarrow d W = \frac{2 π}{ℏ} \frac{| M_{ich f} |^{2}}{2 E_{1} 2 E_{2} \cdot \dots} \cdot d_{L ich P S}

$\Rightarrow \quad dW = \frac{2\pi}{\hbar} \frac{|{\cal M}_{if}|^2}{ 2E_1 2E_2 \cdot \ldots} \cdot d_\mathrm{LIPS}$ Die Zustandsdichte/"Phasenraum"

d ρ

$d\rho$ wird durch eine relativistische Version ersetzt, die manchmal als Lorentz-invarianter Phasenraum bezeichnet wird

d_{L I P S}

$d_\mathrm{LIPS}$ , die gegeben ist durch

d_{L ich P S} = \frac{1}{(2 π ℏ)^{3 n}} \prod_{ich = 1}^{n} \frac{d^{3} p_{ich}}{2 E_{ich}} δ (\prod_{ich = 1}^{n} {p_{ich}}^{μ} - p^{μ}) .

$d_\mathrm{LIPS} = \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3n}} \prod_{i=1}^n \frac{d^3p_i}{ 2E_i } \delta\left(\prod_{i=1}^n {p_i}^\mu - {p}^\mu \right) \,.$ Das Schöne an der relativistischen Formel für

d W

$dW$ Wenn Sie Teilchen aneinander streuen, zeigt uns dies sofort drei wichtige Beiträge: nicht nur das Matrixelement und den Phasenraum, sondern auch den Flussfaktor

1 / s

$1/s$ (wo

s = ({p_{1}}^{μ} + {p_{2}}^{μ})^{2}

$s = ({p_1}^\mu + {p_2}^\mu)^2$ ist die Mandelstam-Variable, und falls die Massen vernachlässigbar sind,

s \approx 2 E

$s \approx 2 E$ ). Dieser Flussfaktor ist für die allgemeine verantwortlich

1 / Q^{2}

$1/Q^2$ fallende Steigung, wenn Sie den Querschnitt über der Impulsübertragung zeichnen

Q = \sqrt{s}

$Q = \sqrt{s}$ , die vollständig aus der relativistischen Kinematik stammt.

Hoffe das beantwortet deine Fragen. Hier ist eine Präsentation (PDF) , die es zusammenfasst, mit einem expliziten Beweis, dass es Lorentz-invariant ist.

Wirkungsquerschnitt im relativistischen Limes: Fermis goldene Regel noch gültig?

Chris

Spezifische Bedenken:

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jdm

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