Woher kommen die Freiheitsgrade des Goldstone-Bosons?

Nun, das Sombrero-Potential-Modell von Goldstone aus dem Jahr 1961 veranschaulicht ausführlich die Grundlagen. Lassen Sie mich sie vulgarisieren.

In der O(2)-Sprache denkt er unbekümmert über Normalisierungen an eine komplexe Skalarfeldtheorie, deren reale und imaginäre Komponenten sich in ein Skalar-DOF-System mit zwei reellen Werten auflösen, mit Prototypenpotential

$$\frac{\lambda}{4} (A^2 + B^2 +\epsilon v^2)^2 .$$ Die O(2)-Isorotationssymmetrie sendet A an $A\cos \theta- B \sin \theta$; und B zur orthogonalen Kombination. Der Erhaltungsstrom ist $J_\mu = A\partial _\mu B - B\partial_\mu A$, dh $\partial \cdot J=0$, Und $i\theta [Q, A]=\delta A ~,$und ebenso für B , also dann $$\delta A =- \theta B, ~~~~\delta B=\theta A ~.$$

Schieben Sie den Parameter ε von 1 (generisch für nicht verschwindendes Positiv) ; auf 0; bis -1 (allgemein für nicht verschwindendes Negativ) und überwachen Sie das qualitative Schicksal der beiden Felder entlang dieser drei Fälle.

Für ε=1 sind A und B Zwillinge. Sie haben die gleiche Masse,$\sqrt{\lambda} v$, da das Minimum des Potentials bei liegt$\langle A\rangle =\langle B\rangle = 0$, und so$\langle \delta A\rangle= \langle \delta B\rangle= 0$, das ist,$Q|0\rangle=0$, also ist das Vakuum bei Isorotation invariant,$e^{i\theta Q}|0\rangle=|0\rangle$. Das Potenzial sieht so aus:

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Wenn ε auf 0 verringert wird , nimmt die Masse von A und B auf 0 ab, aber sie bleiben Zwillinge, und ihre Drehung ineinander ist immer noch linear, und das Vakuum ist immer noch symmetrisch – alle obigen Beziehungen (mit Ausnahme der verschwundenen Masse) sind die das gleiche wie oben.

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Sobald ε negativ wird, passiert etwas katastrophal, qualitativ anderes : SSB. Nehmen Sie ε der Einfachheit halber mit -1 an. Jetzt verwandelt sich das quartische Potential in den ikonischen Goldstone-Sombrero, und das Minimum ist dieser gesamte flache Kreis auf der AB- Ebene. Die Symmetrie gleitet ohne Widerstand um diesen degenerierten Boden (Umlaufbahn).

Somit wird für den Grundzustand eine Wahl erzwungen: Angenommen, Sie wählen willkürlich$\langle B\rangle=0$Und$\langle A\rangle =v$. Da Sie an Anregungen rund um dieses Vakuum interessiert sind, wechseln Sie zu Bequemlichkeitsvariablen,$A\equiv v+h$, also ist h die Anregung um dieses Vakuum herum mit$\langle h\rangle=0$.

Das quartische Potential dehnt sich nun zu aus

$$\frac{\lambda}{4} \left ( B^4+ h^4 +2h^2B^2 +4vh(B^2+h^2) +4v^2 h^2 \right).$$ Es gibt keinen Massenbegriff für B , aber eine kräftige Masse für h (früher bekannt als A ; Sie könnten diese Masse, wenn Sie dazu geneigt sind, ins Unendliche bringen, indem Sie λ dorthin senden), ähnlich der Masse, die es früher vor dem SSB hatte.

• Der entscheidende Teil ist$\langle B \rangle= \langle h \rangle= \langle \delta A \rangle=0$, aber $\langle \delta B \rangle= \theta v$, nicht verschwindend : das Markenzeichen des Goldstone-Bosons , da$\delta B= \theta v+ \theta h$; Rufen Sie v den Auftragsparameter auf. Diese Verschiebungs-Nichtlinearität in der Goldston-Transformation schließt die Existenz eines Massenterms dafür aus, da dieser Term unter der Symmetrie nicht unveränderlich wäre, immer noch allmächtig, aber ein bisschen versteckt (wen täuschen wir uns? Dies wird Nambu-Goldstone genannt). Realisierung).

Die jetzige$J_\mu = v\partial_\mu B+ h\partial _\mu B - B\partial_\mu h$, ist natürlich noch erhalten, aber überprüfen Sie das jetzt$Q|0\rangle\neq 0$: Die Symmetrie verschiebt das Vakuum um den Boden des Sombrero herum, was aufregende B s aus ihm herausschwappt – es klopft mit einem Löffel auf die Schüssel mit Wackelpudding.$|B(p=0)\rangle$ist degeneriert mit$|0\rangle$, als$\langle B(p)| J_\mu (x)|0\rangle\sim e^{ip\cdot x} v p_\mu$.

Prüfe das$[Q,H]=0$, So$H (Q|0\rangle)= Q(H|0\rangle)= QE_0|0\rangle= E_0(Q|0\rangle)$.

Im Gegensatz dazu entsprechen Schwingungen des massiven h (das σ oder "Higgs") dem Auf- und Abrollen der Wände des Tals des Sombrero quer zur Talachse.

• Das Mitnehmen : Wenn ε von 1 über 0 auf -1 rutscht, nimmt die Masse der "Higgs", A/h , auf 0 ab und dann wieder über ihren früheren Wert; im Gegensatz dazu nimmt die Masse von B auf 0 ab und bleibt dort: aber plötzlich verwandelt es sich für ε<0 in einen Goldston.