Wurde die Mathematik erfunden oder entdeckt?

„ Intuitionisten “ glauben, dass die Mathematik nur eine Schöpfung des menschlichen Geistes ist. In diesem Sinne kann man argumentieren, dass die Mathematik von Menschen erfunden wurde. Jedes mathematische Objekt existiert nur in unserem Kopf und hat als solches keine Existenz.

„ Platoniker “ hingegen argumentieren, dass jedes mathematische Objekt existiert und wir es nur durch unseren Verstand „sehen“ können. Daher würden Platoniker in gewisser Weise dafür stimmen, dass die Mathematik entdeckt wurde.

Mein persönlicher Standpunkt ist, dass Mathematiker die Axiome und die Betriebsregeln erfunden haben, der Rest wird entdeckt . Mathematiker erfanden die Notationen zum Aufschreiben der Konzepte, die im Universum eines Axioms entdeckt wurden.

Das Konzept der Zahlen existiert, aber wir erfinden die Notation, dass sich die Glyphe „1“ und der Ton /wʌn/ auf das Konzept des singulären Objekts beziehen, das wir entdeckt haben. Wir haben die Regeln der Matrizenmultiplikation erfunden, aber die Folgen der Art und Weise, wie wir Matrizenmultiplikationen durchführen, werden entdeckt.

Meistens erfinden wir absichtlich eine Reihe von Axiomen, die uns dazu bringen, eine Reihe von Tatsachen zu entdecken, von denen wir glauben, dass sie wahr sind. Dies gilt sicherlich für imaginäre Zahlen, wir haben sie erfunden, damit wir die Lösungen für Probleme finden können, die wir zuvor nicht oder nur schwer lösen konnten.

Es gibt Dinge, die entdeckt werden, und Dinge, die erfunden werden. Die Grenze wird von verschiedenen Personen an verschiedenen Stellen gesetzt. Ich habe mich auf die Liste gesetzt und glaube, dass meine Position sachlich gerechtfertigt ist und andere nicht.

Definitiv entdeckt: endliches Zeug

Durch Wahrscheinlichkeitsüberlegungen bin ich mir sicher, dass niemand in der Erdgeschichte jemals die folgende Multiplikation durchgeführt hat:

9306781264114085423 x 39204667242145673 = ?

Wenn ich es dann berechne, erfinde ich dann seinen Wert oder entdecke ich den Wert? Die Bedeutung der Wörter „erfinden“ und „entdecken“ ist ein wenig unklar, aber normalerweise sagt man „entdecken“, wenn es bestimmte Eigenschaften gibt: Hat der Wert unabhängige einzigartige Eigenschaften, die wir im Voraus kennen (z. B. seltsam zu sein)? Ist es möglich, zwei verschiedene Antworten zu erhalten und beide als richtig zu betrachten? usw.

In diesem Fall würde jeder zustimmen, dass der Wert entdeckt wurde, da wir die Berechnung tatsächlich durchführen können – und keine einzige (gesunde) Person denkt, dass die Antwort Unsinn ist oder dass es nicht die Anzahl der Kästchen wäre im Rechteck mit passenden Seiten usw.

Es gibt viele ungelöste Probleme in dieser endlichen Kategorie, also ist es nicht trivial:

• Ist Schach gewonnen für Weiß, gewonnen für Schwarz oder Remis im perfekten Spiel?
• Was sind die längstmöglichen Piraha-Sätze ohne Eigennamen?
• Wie lang ist der kürzeste Beweis des Primzahlsatzes in ZF? Etwa?
• Was ist die Liste der 50 Kreuzungsknoten?

Sie können endlos weitermachen, da die meisten interessanten mathematischen Probleme auch im endlichen Bereich interessant sind.

Entdeckt: asymptotische Berechnung

Betrachten Sie nun ein beliebiges Computerprogramm und ob es anhält oder nicht anhält. Dies ist das Problem der sogenannten "Pi-0-1-Arithmetiksätze" in der Logik erster Ordnung, aber ich bevorzuge die völlig äquivalente Formulierung in Bezug auf das Anhalten von Computerprogrammen, da der Logikjargon weniger zugänglich ist als der Programmierjargon.

Gegeben sei ein bestimmtes Computerprogramm P, das in C (oder einer anderen vollständigen Turing-Sprache) geschrieben und geeignet modifiziert ist, um einen beliebig großen Speicher zu ermöglichen. Gibt dieses Programm in endlicher Zeit eine Antwort zurück oder läuft es für immer? Dies beinhaltet einen großen Teil der berühmtesten mathematischen Vermutungen, ich liste einige auf:

• Die Riemann-Hypothese (in geeigneter Formulierung)
• Die Goldbach-Vermutung.
• Die Vermutung der ungeraden vollkommenen Zahl
• Diophantische Gleichungen (wie Fermats letzter Satz)
• Konsistenz von ZF (oder jedem anderen Satz von Axiomen erster Ordnung)
• Knesser-Poulson-Vermutung zur Kugelumordnung

Einem von beiden kann man glauben

• "Does P halt" ist absolut aussagekräftig , so dass man wissen kann, ob es wahr oder falsch ist, ohne zu wissen, was.
• "Hält P an" wird erst durch das Anhalten von P oder einen Beweis dafür, dass es nicht anhält, in einem geeigneten formalen System sinnvoll, so dass es sinnvoll ist, für diese Frage eine Kategorie von "unbekannt" einzuführen und das "unbekannt". "Kategorie darf nicht irgendwann leer werden, wie es im endlichen Problemfall der Fall ist.

Hier hören die Intuitionisten auf. Der berühmte Name hier ist

• LEJ Brouwer

Die intuitionistische Logik wurde entwickelt, um mit Fällen umzugehen, in denen es Fragen gibt, deren Antwort nicht als wahr oder falsch bestimmt wird, sodass man das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten nicht entscheiden kann. Diese Position lässt die Möglichkeit offen, dass einige Computerprogramme, die nicht anhalten, einfach zu schwer zu beweisen sind, dass sie anhalten, und dass es keinen Mechanismus dafür gibt.

Während Intuitionismus für Situationen mit unvollkommenem Wissen (wie wir immer) nützlich ist, ist dies nicht der Punkt, an dem die meisten Mathematiker aufhören. Es besteht die feste Überzeugung, dass die Fragen auf dieser Ebene entweder wahr oder falsch sind, wir wissen nur nicht, welche. Ich stimme dieser Position zu, aber ich halte es nicht für trivial, gegen die intutionistische Perspektive zu argumentieren.

Die meisten glauben entdeckt: Arithmetische Hierarchie

Es gibt Fragen in der Mathematik, die nicht als das Nichtanhalten eines Computerprogramms formuliert werden können, zumindest nicht ohne Modifikation des Begriffs "Programm". Diese beinhalten

• Die Zwillingsprimus-Vermutung
• Die Transzendenz von e+pi.

Um diese Fragen zu überprüfen, müssen Sie Fälle durchspielen, bei denen Sie an jeder Stelle überprüfen müssen, wo ein Computerprogramm anhält. Das bedeutet, man muss halt unendlich viele Programme kennen. Um beispielsweise zu wissen, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, müssen Sie zeigen, dass das Programm, das bei jedem gefundenen Paar nach Primzahlzwillingen sucht, beim nächsten gefundenen Paar anhält. Für die Transzendenzfrage müssen Sie alle Polynome durchlaufen, die Wurzeln berechnen und zeigen, dass sie sich schließlich von e+pi unterscheiden.

Diese Fragen befinden sich auf der nächsten Ebene der arithmetischen Hierarchie. Ihre rechnerische Formulierung ist wiederum intuitiver – sie entsprechen dem Halteproblem für einen Computer, der Zugriff auf die Lösung des gewöhnlichen Halteproblems hat.

Sie können in der arithmetischen Hierarchie nach oben gehen, und die Sätze, die die Vermutungen über die arithmetische Hierarchie auf jeder endlichen Ebene ausdrücken, sind die der Peano-Arithmetik.

Es gibt diejenigen, die glauben, dass die Peano-Arithmetik die richtige Grundlage ist, und diese arithmetisch denkenden Leute werden am Ende der arithmetischen Hierarchie aufhören. Ich nehme an, man könnte Kronecker hier platzieren:

• Leopold Kronecker: „Gott hat die natürlichen Zahlen geschaffen, alles andere ist Menschenwerk.“

Anzunehmen, dass die Sätze in der arithmetischen Hierarchie absolut sind, aber keine anderen, ist eine mögliche Position. Wenn man in diese Aussagen Induktionsaxiome einbezieht, erhält man die Theorie der Peano-Arithmetik, die eine ordinale Komplexität hat, die seit Gentzen vollständig verstanden ist, und die durch die ordinale Epsilon-Null beschrieben wird. Epsilon-naught ist sehr konkret, aber ich habe kürzlich Argumente gesehen, dass es nicht gut begründet sein könnte! Das ist völlig lächerlich für jeden, der Epsilon-Null kennt, und die Idee könnte zukünftigen Generationen genauso albern erscheinen wie die Idee, dass die Anzahl der Sandkörner in einer Kugel von der Größe der Erdumlaufbahn unendlich ist – eine Idee, die ausdrücklich widerlegt wird in „ Der Sandrechner“ von Archimedes.

Die meisten glauben entdeckt: Hyperarithmetische Hierarchie

Die hyperarithmetische Hierarchie wird oft als Arithmetik zweiter Ordnung bezeichnet, aber ich ziehe es vor, sie rechnerisch zu formulieren.

Angenommen, ich gebe Ihnen alle Lösungen für das Halteproblem auf allen Ebenen der arithmetischen Hierarchie, und Sie verketten sie zu einer unendlichen CD-ROM, die die Lösungen für alle gleichzeitig enthält. Dann definiert das Halteproblem mit dieser CD-ROM (das vollständige Halteorakel der arithmetischen Hierarchie) ein neues Halteproblem – der omega-te Sprung von 0 im Fachjargon der Rekursionstheorie oder einfach das Omega-Orakel.

Sie können die Orakel in der Ordinalliste iterieren und immer komplexere Halteprobleme erzeugen. Sie könnten glauben, dass dies für alle Ordnungszahlen von Bedeutung ist, die ein Band erzeugen.

Es gibt verschiedene Haltepunkte entlang der hyperarithmetischen Hierarchie, die normalerweise durch ihre arithmetische Version zweiter Ordnung gekennzeichnet sind (die ich nicht übersetzen kann). Diese Positionen sind für niemanden natürliche Haltepunkte.

Kirche Kleene Ordnungszahl

Ich bin hier. Alles darunter akzeptiere ich, alles darüber hinaus halte ich für objektiv erfunden. Der Grund dafür ist, dass die Church-Kleene-Ordnungszahl die Grenze aller zählbaren berechenbaren Ordnungszahlen ist. Dies ist die Position der Computergrundlagen, und es war im Wesentlichen die Position der sowjetischen Schule. Leute, die ich hier aufzählen würde, schließen ein

• Juri Manin
• Paul Kohen

Bei Paul Cohen bin ich mir nicht sicher. Die Ordnungszahlen unterhalb von Church Kleene sind alle diejenigen, die wir definitiv auf einem Computer darstellen und mit denen wir arbeiten können, und jede höhere Vorstellung ist verdächtig.

Erste nicht zählbare Ordinalzahl

Wenn Sie eine axiomatische Mengentheorie mit Potenzmenge machen, können Sie die Vereinigung aller zählbaren Ordnungszahlen definieren, und dies ist die erste überzählbare Ordnungszahl. Einige Leute hören hier auf und lehnen unzählige Mengen, wie die Menge der reellen Zahlen, als Erfindungen ab.

Dies ist eine sehr ähnliche Position wie meine, die von Menschen um die Wende des 20. Jahrhunderts vertreten wurde, die die zählbare Unendlichkeit akzeptierten, aber nicht die unzählbare Unendlichkeit. Zu den Besuchern, die hier waren, gehören viele berühmte Mathematiker

• Thorvald Skolem

Skolems Theorem war ein Versuch, Mathematiker davon zu überzeugen, dass Mathematik zählbar ist.

Ich sollte darauf hinweisen, dass die Church Kleene-Ordnungszahl erst in den 1940er Jahren definiert wurde, also war dies die Position, die der in der frühen Hälfte des 20. Jahrhunderts verfügbaren rechnerischen Position am nächsten kam.

Kontinuum

Die meisten praktisch denkenden Mathematiker hören hier auf. Sie werden misstrauisch gegenüber Konstruktionen wie der Menge aller Funktionen auf der realen Linie, da diese Räume zu groß sind, als dass die Intuition sie bequem handhaben könnte. Es gibt keine formale Grundschule, die beim Kontinuum aufhört, es ist nur ein Ort, an dem die Menschen aufhören, sich in der Absolutheit der mathematischen Wahrheit wohl zu fühlen.

Das Kontinuum hat Fragen, von denen bekannt ist, dass sie mit Methoden unentscheidbar sind, die überzeugen, dass es an diesem Punkt eine Unbestimmtheit im Mengenkonzept gibt, nicht im Axiomensystem.

Erster unzugänglicher Kardinal

An diesem Ort hören die meisten Platoniker auf. Alles darunter wird von ZFC beschrieben. Ich denke, die berühmteste Person hier ist:

• Saharon Shelah

Ich nehme an, dass dies sein platonisches Universum ist, da er dies ausdrücklich in einem Intro zu einer seiner berühmteren frühen Arbeiten sagt. Vielleicht hat er seine Meinung inzwischen geändert.

Unendlich viele Woodin Cardinals

Dies ist der Ort, an dem Leute aufhören, die projektive Determiniertheit mögen.

Es ist wahrscheinlich, dass Befürworter der Determiniertheit an die Konsistenz der Determiniertheit glauben, und dies gibt ihnen einen Beweis für die Konsistenz der Woodin-Kardinäle (obwohl ihr Argument etwas theologisch klingt, ohne die richtige rechnerische Rechtfertigung in Bezug auf eine unmöglich raffinierte zählbare berechenbare Ordnungszahl, die als Beweis dient Theorie dazu)

Das beinhaltet

• Hugh Woodin

Möglicherweise erfunden: Rang-in-Rang-Axiome

Ich habe dies von der Wikipedia-Seite kopiert , das sind die größten großen Kardinäle, die Mathematiker bisher in Betracht gezogen haben. Dies ist wahrscheinlich der Punkt, an dem die meisten Logiker aufhören, aber sie scheuen mögliche Widersprüche.

Diese Axiome sind Reflexionsaxiome, sie machen das mengentheoretische Modell an weiten Stellen auf komplizierte Weise selbstähnlich. Die Struktur der Modelle ist enorm reichhaltig, und ich habe überhaupt keine Intuition, da ich die Definition kaum kenne (ich habe sie nur im Wiki gelesen).

Erfunden: Reinhard Kardinal

Dies ist die Grenze fast aller praktizierenden Mathematiker, da sich diese als widersprüchlich erwiesen haben, zumindest wenn man das Wahlaxiom verwendet. Da der größte Teil der Struktur der Mengenlehre durch Auswahl sehr elegant gemacht wird und die Anti-Auswahl-Argumente normalerweise nicht mit den Annahmen großer Kardinäle im Gödel-Stil zusammenhängen, gehen die Leute davon aus, dass Reinhardt-Kardinäle inkonsistent sind.

Ich gehe davon aus, dass fast alle berufstätigen Mathematiker Reinhardt-Kardinäle als imaginäre Entitäten betrachten, dass sie eine Erfindung sind, und zwar eine widersprüchliche Erfindung.

Definitiv erfunden: Set aller Sets

Diese Ebene ist die höchste von allen in der traditionellen Ordnung, und hier begannen die Menschen Ende des 19. Jahrhunderts. Das intuitive Set

• Die Menge aller Mengen
• Die Ordnungsgrenze aller Ordnungszahlen

Diese Ideen wurden von Cantor mit einem einfachen Argument (betrachten Sie die ordinale Grenze plus eins oder die Potenzmenge der Menge aller Mengen) als inkonsistent gezeigt. Die Paradoxien wurden von Russell populär gemacht und verschärft, dann von Whitehead und Russell, Hilbert, Gödel und Zermelo aufgelöst, indem sie axiomatische Ansätze verwendeten, die dieses Objekt leugneten.

Alle sind sich einig, dass dieses Zeug erfunden ist.

Dies ist nur eine Teilantwort:

Als Mathematiker wird mir diese Art von Frage hin und wieder gestellt. Wie die meisten anderen Mathematiker neige ich dazu, der Frage auszuweichen, weil sie knifflig ist. Normalerweise wird die Frage in der Form gestellt: "Sind Sie ein Platoniker?"

Der Bezug hier bezieht sich auf Platons ewige Form, die wir erkennen können und die es uns erlaubt, die Welt um uns herum zu erkennen (es ist schließlich nicht offensichtlich, dass wir einen Amputierten immer noch als Menschen erkennen können, wenn wir ihn zum ersten Mal sehen ihn oder sie zum Beispiel). Wenn ich gezwungen werde, fortzufahren, antworte ich normalerweise mit „Nein“.

Ich denke, das grundlegende Problem des Platonismus ist in Brian Davies' Aufsatz mit dem treffenden Titel „Let Platonism Die“ zusammengefasst. Ich füge auch hinzu - wenn eine mathematische "Entdeckung" noch nicht entdeckt wurde, existiert sie? Ein Platoniker würde absolut sagen. Ein Intuitionist würde entweder sagen, dass es nicht existiert, oder es existiert nur in dem Sinne, dass ein aktuelles oder zukünftiges mathematisches System, das von Menschen vulgär entwickelt und formuliert wurde, zu viel mehr Theoremen führen wird – dh es existiert nur als Erweiterung dessen, was wir sind schon erstellt haben.

Aber letztendlich glaube ich nicht, dass diese Unterscheidung sehr wichtig ist, abgesehen von den theistischen oder neuralen Implikationen. Ein Platoniker würde sagen, dass wir zum Beispiel ein Dreieck erkennen, weil wir die Form eines Dreiecks erkennen, eines idealisierten, perfekten, transzendentalen Objekts. Das macht sehr viel Sinn, denn der Platonismus hat offensichtlich Platon zu seinen Wurzeln, der viel in die von Pythagoras vertretene göttliche Beziehung zwischen Mathematik und der Welt hineingelesen hat.

Als letzte Anmerkung sollte ich sagen, dass viele bekannte Mathematiker auf beiden Seiten des Zauns stehen. Der berühmteste Platoniker ist meines Erachtens Roger Penrose, der vor allem für seine Schaffung von Dutzenden nicht offensichtlicher Tessellationen und Kacheln bekannt ist.

Ich denke, die Wörter „Erfindung“ und „Entdeckung“ sind ein bisschen schlecht, um die Geburt der Mathematik zu beschreiben, falls es eine gibt. Es macht für mich keinen Sinn zu sagen, dass die Mathematik erschienen ist, als Christophe Colomb Amerika entdeckte oder als Bumerang erfunden wurde.

Das Wort Mathematik mag erfunden worden sein, die Sprache, in der die Mathematik geschrieben ist, mag erfunden worden sein, aber die Abstraktionsbewegung vom echten Wort, die strukturierte Synthese, die es unternimmt, all das verleiht der Mathematik selbst Tiefe (es kommt darauf an, was Sie Mathematik nennen ) sind Teil der Menschheit. Sie fragen nicht, ob Schönheit entdeckt oder erfunden wurde?

Meiner persönlichen Meinung nach wäre die Frage "was ist Mathematik" ernster, noch interessanter fände ich "warum machen wir Mathematik".

Ich werde postulieren, zugegebenermaßen ohne irgendwelche Nachforschungen über diejenigen, die diesen Gedanken vorangegangen sind, dass eine „Erfindung“ eine Art „Entdeckung“ ist, und dass, ob eine Sache als Erfindung qualifiziert wird – ja, Sie haben es gesehen Kommen – subjektiv .

Zum Beispiel könnten wir sagen, dass das Rad aufgrund von (1) Nichtnatürlichkeit ( Originalität ) und (2) Absicht „erfunden“ wurde . Das heißt, vor dem Rad gab es in der Natur keine Kreis-und-Achsen-Formen, und daher konnte sie natürlich niemand zur Erleichterung der Bewegung anwenden. Außerdem ist es schwer vorstellbar, dass jemand einen Kreis mit einem Loch schnitzt, dann eine Speiche schnitzt und dann die beiden zusammenfügt, ohne die Absicht zu haben, den Kreis auf der Speiche zu rollen. Diese Umstände geben uns Anlass zu sagen, dass das Rad "erfunden" wurde.

Aber es ist auch nicht unmöglich, sich vorzustellen, dass jemand einen Kreis mit einem Loch geschnitzt haben könnte, ohne dass es einen Grund für das Konzept des Rollens gibt, und dann zufällig einen Stock in das Loch gesteckt hat (wieder ohne vorsätzlichen oder relevanten Grund). ), und erkannte erst dann (oder einige Zeit später) seine Eigenschaft des Rollens. Beachten Sie, dass wir in diesem Fall eher dazu neigen, das Rad als „Entdeckung“ zu bezeichnen!

Ich denke, wir neigen dazu, neuartige Entdeckungen mit vorsätzlichen Ergebnissen „Erfindungen“ zu nennen.

Ich würde also sagen, dass die Mathematik als allgemeines notationales/deduktives System größtenteils erfunden wurde. Aber seine Konzepte wurden entdeckt. (Und sogar einige Notationen wurden tatsächlich entdeckt, während man nach Bequemlichkeit, Prägnanz und Bildgebung strebte!)

Beide.

Formale Mathematik wird von Menschen geschaffen und hat nicht unbedingt mit irgendetwas in unserer Welt zu tun.

Die Geschichte und der Fortschritt der Mathematik hängen jedoch oft mit der angewandten Mathematik zusammen, die mit unserer physischen Welt zusammenhängt.

Mit anderen Worten - die Geometrie bleibt gültig, auch wenn wir herausfinden, dass sie für unsere physische Welt nicht gilt (und tatsächlich nicht ...) - Aber es ist schwer zu glauben, dass viele Leute angefangen haben, dies zu erforschen Feld als rein abstraktes Feld, ohne Bezug zu realen Problemen des Bauens, Navigierens etc.

Mathematik ist eine Abstraktion. Als solches wurde es von Menschen erfunden, um mit konkreten Dingen praktischer umzugehen, indem sie uns generische Werkzeuge zur Verfügung stellten, um mit dem Spezifischen umzugehen.

Später wurde mehr Mathematik erfunden, um mit den Abstraktionen früherer Mathematik umzugehen, was zu immer komplexeren Abstraktionen führte, aber die Erfindung der Mathematik wurde gemacht, um mit konkreten Dingen wie Geometrie und Handel umzugehen.

Mathematik ist eine Menge Dinge: Es gibt grundlegende/komplexe Entitäten/Strukturen, Beweisstrategien, Algorithmen, formale Manipulationen ... um zu versuchen, Ihre Frage zu beantworten, sollten wir meiner Meinung nach zwischen verschiedenen mathematischen Entitäten/Aktivitäten unterscheiden, bei denen die " kreativer" Teil des Gedankens mehr oder weniger relevant ist. Darüber hinaus scheinen einige Teile der Mathematik weder entdeckt noch geschaffen zu sein, sie scheinen nur "gegeben" zu sein, eingebettet in unsere natürliche Sprachgrammatik.

Einige Beispiele für mathematische Entitäten/Aktivitäten, die:

• scheinen in unsere Grammatik eingebettet zu sein : klassische logische Operatoren, klassische Deduktionsregeln, Tautologien, natürliche Zahlen
• scheinen entdeckter zu sein : nicht triviale allgemeine Tatsachen in einer gegebenen Struktur (z. B. der letzte Satz von Fermat), das Finden allgemeiner Muster, Klassifikationen, das Finden von Gegenbeispielen
• scheinen erfundener zu sein : Definition neuer nicht-trivialer Strukturen (z. B. komplexe Zahlen, Quaternionen), Finden neuer nicht-trivialer Beweisstrategien.

Erstens, Quine: "... [Wenn sie äußerlich wahr sind] würden die Definitionen [mathematischer Gesetze] alle Konzepte aus klaren und eindeutigen Ideen generieren, und die Beweise würden alle Theoreme aus selbstverständlichen Wahrheiten generieren." "... die Wahrheiten der Logik sind alle offensichtlich oder zumindest potenziell offensichtlich ... [aber] Mathematik reduziert sich nur auf die Mengenlehre und nicht auf die eigentliche Logik." -Erkenntnistheorie eingebürgert; Kapitel 39.

Die Implikationen für die ontologische Objektivität der Mathematik sind düster. Damit eine Tatsache auf Gewissheit reduziert werden kann, muss man sensorische Beweise vorlegen (um "selbstverständlich" zu sein). Bedenke, ich sehe, dass die Dinge auf die Erde fallen und dort bleiben. Ich erkläre mir das mit Physik. Was ich sehe, ist keine Physik. Die Physik ist ein Rahmen, der erfunden wurde, um zu verallgemeinern, was ich wahrnehme.

Eine 1 und eine 1 auf einem Blatt Papier sind nicht dasselbe wie eine 2 auf einem Blatt Papier. 1 ist zum Beispiel die kleinste Primzahl#, während 2 neben unzähligen anderen Unterschieden die kleinste gerade Primzahl ist.

Ein Apfel auf einem Tisch und ein Apfel auf einem Tisch sind nicht dasselbe wie zwei Äpfel auf einem Tisch, da die Menge von zwei Äpfeln verschiedene Äpfel sein könnte. Ich kann nicht zwei Äpfel würfeln, außer um Kuchen zu machen. Aber ich kann kein Pi mit einem Apfel machen.

Der Wert eines Dollars wird mathematisch gemessen. Aber wenn der Mensch verschwindet, bleibt das Stück Papier, während der Wert mit dem Menschen verschwindet. Dinge haften an der Erde, unabhängig von unserer Existenz, aber die Theorie, die unsere Wahrnehmung der Schwerkraft beschreibt, tut dies nicht.

Die epistemische Objektivität der Mathematik ist ontologisch subjektiv. Es existiert nur in unseren Köpfen. Etwas, das nur in unserem Geist existiert, kann nur in unserem Geist entstanden sein. Etwas, das das tut, wird erfunden.

Das ist eine ernste Frage und es ist dasselbe wie zu sagen: Ist das Wissen in Mathematik universell oder ein menschliches Konstrukt?

Pi (die Zahl, unabhängig von ihrer Basis) und viele andere Dinge sind Universalien, die Mathematik wird insofern entdeckt. Dann können sie verwendet werden, um Erfindungen zu formalisieren, die sich als falsch, richtig oder paradox herausstellen können, genauso wie das (entdeckte) Wissen über Pferde und Nashörner verwendet werden kann, um über Einhörner (die nie entdeckt wurden) zu (erfinden und) zu sprechen.

Können wir sagen (wie viele Antworten hier zeigen), dass die Biologie wegen Einhörnern erfunden wurde?

Wenn durch "wurde es entdeckt?" Sie meinen "war es die ganze Zeit da?", Ich denke, die Antwort ist "Ja". Bedenken Sie, dass wir Mathematik verwenden können, um die Vergangenheit "vorherzusagen" ("Retrodiktion"). Ein ähnliches Konzept ist „hindcasting“, bei dem die Gültigkeit eines wissenschaftlichen Modells anhand von Daten getestet wird, die aufgezeichnet wurden, bevor das Modell überhaupt erfunden wurde. Vermutlich musste die Mathematik die ganze Zeit über vorhanden sein, damit die Retrodiktion / Vorausschau funktionierte, um die Entwicklung des Universums einzuschränken. Wenn Sie dieses Argument glauben, deutet dies darauf hin, dass die Mathematik die ganze Zeit da war oder „entdeckt“ wurde.

Natürlich sind auch andere Definitionen möglich.

Ich denke, es ist schwer zu sagen. Wenn Sie glauben, dass die Mathematik entdeckt wurde, müssen Sie davon ausgehen, dass "etwas" da draußen ist, etwas, mit dem wir interagieren können, dessen Existenz wir bisher nicht beweisen konnten.

Aber selbst wenn man davon ausgeht, dass es da draußen Ideen gibt, glaube ich, dass es keinen Grund zu der Annahme gibt, dass Menschen in irgendeiner Weise in der Lage sein sollten, sie zu verstehen. Wie David Deutsch berühmt sagte, ist die Tatsache, dass wir die Gesetze der Natur verstehen, so ziemlich wie zu sagen, dass Sie auf einem anderen Planeten landen und Außerirdische vorfinden, die vollständig in der Lage sind, Englisch mit Ihnen zu sprechen.

Nicht zuletzt ist es möglich, dass unsere Modelle, wie das Universum funktioniert, völlig falsch sind. Daher sprechen wir über Ideen, die von unseren Modellen abgeleitet wurden und letztendlich weit von der Wahrheit entfernt sein können.

Meine Ansicht dazu ist, dass Mathematik ein System ist, das von Menschen erfunden wurde, um Dinge darzustellen, die wir sonst wahrnehmen oder nicht wahrnehmen können. Zum Beispiel können wir ein Objekt durch das Sehen wahrnehmen und wissen, dass es ein Dreieck ist, aber unser Sehen allein sagt uns nicht die Länge der Schenkel des Dreiecks. Wir brauchen Mathematik, um das für uns darzustellen.

NUR um meinen Standpunkt zu vertiefen, betrachten Sie Calculus. Zwei Menschen, die sich auf völlig unterschiedlichen Seiten Europas befanden, Leibniz und Newton, haben ein System geschaffen, das beide das Gleiche tut. Für Newton ist f'(x) dasselbe wie Leibniz' df/dx. Beide ergeben eine Funktion, die die Steigung an einem beliebigen Punkt der ursprünglichen Funktion f(x) darstellt. Sie erfanden ein System, um etwas darzustellen, was wir sonst nicht wahrnehmen könnten (was bereits existierte - die Form eines Berges sollte ausreichen, um zu beweisen, dass der Hang natürlich existiert), der einzige Unterschied war ihre Notation.

Mathematik ist normativ. Das wird klar, wenn man Euklid und Lobatschewski nebeneinander liest, oder Euklid und Descartes, oder Euklid und Leibniz oder Newton, oder Leibniz und Newton und Dedekind, oder Dedekind und Canton, oder Canton und Gödel, etc., etc. Geometrie ist klar normativ, da wir unterschiedliche Geometrien haben (obwohl man sagen könnte, "ja, aber sie können alle ineinander transformiert werden"). Aber das Argument geht so: Es gibt keine andere Arithmetik; und so entdecken wir beim Zählen (und seinen Erweiterungen) etwas Grundlegendes für das Universum. Eine solche Antwort setzt natürlich voraus, dass Euklid und Dedekind über dieselbe Arithmetik sprechen. Ist das überhaupt möglich? Nein. In Euklids Vorstellung von Zahlen ist kein Platz (denken Sie an die Bücher V und VI der Elemente ).), für Dedekinds Schnitte, und damit kein Platz für eine ganze Reihe von Zahlen, die mit Euklids Zahlenbegriff nicht vereinbar sind. Und wenn Sie denken, dass das Konzept der Zahl grundlegend für eine Vorstellung von Arithmetik ist, dann scheint es, dass wir jedes Mal, wenn wir neue „Sorten“ von Zahlen „hinzufügen“ (die durch neue Arten von Funktionen erfunden werden), eine neue Arithmetik erschaffen . Aber jemand könnte sagen: "Das ist alles schön und gut, aber wir subsumieren diese anderen Arithmetik wirklich nur unter dem, was wir Arithmetik nennen - es gibt wirklich nur eine Arithmetik." Aber das wäre so, als würde man sagen "Wellenmechanik ist eigentlich nur gewöhnliche Mechanik subsumiert ...". Eine solche Aussage macht keinen Sinn.

In Übereinstimmung mit der Frage vieler anderer, was „erfunden“ bedeutet, können Erfindung und Entdeckung als dasselbe angesehen werden, da beide die Anwendung einer Reihe von Schritten zusammen mit verschiedenen betrachteten Objekten erfordern. Selbst wenn man beispielsweise einen Kontinent entdeckt, sind die Begriffe „Kontinent“ und „Amerika“ nichtsdestotrotz Erfindungen. Und selbst bei der Erfindung beispielsweise des Verbrennungsmotors waren die physikalischen Gesetze, die die Existenz eines solchen Geräts ermöglichten, bereits vor der Erfindung vorhanden, und somit wurde die besondere Anordnung von Teilen entdeckt, die seine Existenz bewirkt.

Wenn wir nur die Frage richtig stellen würden, könnten wir vielleicht die richtige Antwort bekommen. Das Problem ist, ist Erfindung Entdeckung oder Schöpfung? Als siebenfach patentierter Erfinder sage ich Ihnen, dass Erfindungen zumindest zu einem großen Teil Entdeckungen sind. Wie mein Patentanwalt erklärte, ist das, was erfunden wird, eine "Methode", eine Möglichkeit, eine Arbeit zu erledigen. Während des Erfindungsprozesses probiert man eine Unmenge von Methoden aus, um die Arbeit zu erledigen, die nicht funktionieren. Wenn man eine Methode entdeckt, die funktioniert, dann hat man eine Erfindung.

Der Beweis der Entdeckung gegenüber der Schöpfung ist der Beweis der Reproduktion. Wenn eine Person, die noch nie zuvor ein Rad gesehen hat, versucht, das Problem zu lösen, schwere Gegenstände in Bewegung zu versetzen, kann sie sehr wohl das Rad neu erfinden. Das passiert ständig bei Erfindungen. Man findet eine Methode zur Lösung eines Problems, nur um festzustellen, dass jemand anderes diese Erfindung vor ihm patentiert hat. Kreativität ist überhaupt nicht so. Wenn zwei Menschen wirklich unabhängig voneinander dasselbe kreative Produkt entwickeln, dann ist ihr kreatives Produkt, nun ja, einfach. Tatsächlich werden Programme verwendet, um College-Arbeiten auf Plagiate zu analysieren. Sie suchen Übereinstimmungen in einer 7-Wort-Sequenz, weil es unwahrscheinlich ist, dass zwei Personen unabhängig voneinander auf sieben kleine Wörter kommen, die auf die gleiche Weise aneinandergereiht sind.

Lassen Sie die Frage also lauten: "Ist Mathematik Entdeckung oder Schöpfung?" Bitten Sie den Anthropologen, die mathematischen Methoden anderer Kulturen zu suchen. Sicherlich wären diese Methoden extreme Teilmengen unserer Mathematik. Sie haben jedoch immer noch einige einfache Konsistenzen. Zwei plus zwei (obwohl mit unterschiedlichen Wörtern dargestellt) ergibt vier. Die Tatsache, dass zwei Kulturen unabhängig voneinander die gleichen logischen Sätze entwickeln, belegt, dass Mathematik eine Entdeckung ist, keine Schöpfung.

Ein bisschen von beidem. Man erfindet die mathematischen Konzepte und entdeckt dann die Konsequenzen dieser Konzepte. So etwas wie "Linien und Punkte über Axiome definieren und dann Dreieckseigenschaften entdecken."

Dann wünscht man sich andere Konsequenzen und erfindet neue Konzepte, so etwas wie "Ich wünschte, ein Dreieck hätte eine Winkelsumme von über 180 Grad; definieren wir Linien als Großkreise auf der Kugel anstelle von Linien auf einer Ebene und sehen, was passiert."

Und es geht weiter und weiter, Erfindung Hand in Hand mit Entdeckung.

Mein Grundlehrer für Mathematik sagt das gerne

Gott schuf die Zahl 0 und den Nachfolger . Der Rest wurde von der Menschheit erfunden.

Ich denke, in diesem Zitat ist etwas Wahres, auch wenn Sie nicht an Gott glauben. Um Ihre Frage zu beantworten: Ich würde sagen, dass die eigentliche Grundlage der Mathematik entdeckt wurde, aber der größte Teil der anspruchsvollen Mathematik wurde erfunden.

Entdeckt, wenn es erfunden wurde, dann hätte jeder, der π theoretisch erfunden hat, es einfach gleich 3 machen können, aber stattdessen entdeckten sie es und dass es eine irrationale Zahl war. Die Mathematik wurde entdeckt, aber die verschiedenen Techniken und Konventionen, die für die Berechnung verwendet wurden, wurden erfunden. So ähnlich wie Physik; Die Gesetze der Physik existierten bereits, aber der Mensch hat entdeckt, wie er sie mit seinen Erfindungen zu seinem Vorteil nutzen kann.

Ich denke, die Unterscheidung zwischen entdeckt und erfunden hängt hauptsächlich davon ab, wie man diese Wörter definiert . Meine persönliche Definition wäre: Wenn Sie vernünftigerweise davon ausgehen können, dass viele andere Menschen im Prinzip dasselbe Ding X finden können, dann kann man vernünftigerweise sagen, dass X entdeckt wurde, aber wenn X ziemlich willkürlich ist, wie eine bestimmte Notation, dann ist es erfunden. Zum Beispiel können verschiedene Menschen das Mandelbrot-Set und verschiedene Beziehungen und Figuren darin entdecken:

Im obigen Bild sind die Farben eine Erfindung, keine Entdeckung. Verschiedene Leute werden hier vielleicht eine ähnliche Farbgebung wählen, aber ich denke, es ist ziemlich viel eine künstlerische Entscheidung. Die Farben spiegeln ungefähr wider, wie schnell ein Punkt in der komplexen Ebene unter einer bestimmten wiederholten Quadrat-und-Addier-Operation ins Unendliche geht, aber sie hängen von vielen Parametern ab (einschließlich der Anzahl von Iterationen, die man für ausreichend hält, um die eigensinnige Natur von festzustellen ein Punkt), einschließlich natürlich einer bestimmten Farbpalette.

Ich denke, dies zeigt gut, dass ein und dasselbe mathematische Monster Aspekte haben kann, die entdeckt werden, und Aspekte, die erfunden werden. ;-)

Die Black-Scholes-Gleichung beschreibt den Preis einer Aktienoption im Laufe der Zeit. Da das Konzept der Aktienoptionen, Finanzmärkte und so weiter erfunden, nicht von Menschen entdeckt wurde, reicht das als Argument dafür, dass die Mathematik erfunden wurde? Wenn es so etwas wie eine Aktienoption nicht gäbe, würde es mit ziemlicher Sicherheit auch nicht die Black-Scholes-Gleichung geben. Die Black-Scholes-Gleichung würde niemals da draußen sein und darauf warten, dass wir sie entdecken, wenn es keine Aktienoption gäbe.

Wenn man behauptet, dass, obwohl eine Aktienoption erfunden wurde, die Black-Scholes-Gleichung als entdeckt gelten kann, wie viele weitere mathematische Theoreme, Gleichungen, Modelle usw. gibt es da draußen, die darauf warten, entdeckt zu werden, abhängig von unserer Zukunft " Erfindungen und Kreationen"?

Die Mathematik wurde erfunden, um Zahlen, Beziehungen usw. auszudrücken, während die Gesetze der Mathematik entdeckt wurden.

Pi ist Pi, ob es dir gefällt oder nicht. Sein Wert wurde entdeckt . Pi in Dezimalschreibweise zur Basis 10 als 3,14* (oder 22/7, wenn Sie diese Art von Person sind) auszudrücken, ist jedoch eine Erfindung des menschlichen Geistes, während das tatsächliche Verhältnis von Anfang an so war.

Kurz gesagt, die Mathematik ist eine menschliche Erfindung, um besser zu verstehen und zu entdecken, wie die natürliche Welt auf einer rein logischen Ebene funktioniert. Man muss die Methode vom Beobachteten trennen.

Mathematik ist ein System, das entwickelt wurde, um Dinge durch mathematische Beweise , Logik, analytisches Denken und gemeinsames Verständnis zu quantifizieren, zu messen, zu verstehen und zu bestimmen . Es ist auch eine Abstraktion, da die tatsächliche theoretische Grundlage für die Implementierung des Etwas in der Praxis normalerweise atomar usw. abweichen wird.

Mathematik ist ein endloses Studium von Vermutungen, auf das sich Menschen einigen, die ein solches Phänomen abonnieren. Mathematik wird seit Jahrhunderten verwendet, um Dinge im Auge zu behalten, Eigenschaften von Dingen zu messen und in der heutigen Zeit hochkomplexe Vermutungen, Theorien und Erklärungen von allem um uns herum zu analysieren und zu interpretieren.

Wurde es erfunden oder entdeckt? Wird, philosophisch gesprochen, jemals etwas wirklich gemessen oder entdeckt?

Dinge sind einfach, und nach unserem besten Wissen haben wir ein System, Mathematik , um Dinge zu quantifizieren und zu analysieren.

Mathematik „war“ nie etwas, bis es vereinbart, zur Anwendung gebracht und implementiert, vereinbart und verstanden wurde. Solche hochkomplexen Systeme wurden von den biologischen Lebewesen weit vor uns nie benutzt, zB Fische, Bakterien. Quantität ist nur Masse ohne Zahlen, und Qualität ist nur Zufall ohne Beobachtung.

Eine Antwort auf eine andere Frage, die ich hier gefunden habe und die mein Interesse geweckt hat:

Warum existiert der Zahlenbegriff, aber der Begriff der komplexen Zahl wurde erfunden?

Das Konzept von allem Greifbaren und/oder Immateriellen existiert nur, um es auf der Grundlage der Realität und Beobachtung des Phänomens um es herum zu verstehen, wie diese Phänomene es wahrnehmen, sich darauf einigen, es zu verstehen, und wie gut dieses System die zugrunde liegende Realität genau modellieren kann . Für einen Menschen ist ein Ball etwas, das man tritt, wirft, fängt, Form, Masse, Volumen hat; für einen Hund ist es etwas im Weg. Die Realität ist, dass, wenn es eine Realität unter den zugrunde liegenden Konzepten gibt, die wir zu ergründen versuchen, nur ein solches erfundenes System versuchen wird, den Prozess des Verstehens immer mehr nachzuahmen.

Die Frage berührt auch den Grund von allem um uns herum und seiner Gesamtheit. Lassen Sie mich Ihnen eine Vorstellung davon geben, warum ich behaupte, dass Mathematik eine Erfindung ist:

Bevor die Menschen überhaupt zählen konnten oder überhaupt existierten, gab es immer viele verschiedene biologische Strukturen, Massen, Gase, unbelebte Objekte und kollektive Existenzen außerhalb eines einzelnen Modells, einer einzelnen Wahrnehmung des sichtbaren Lichts elektromagnetischer Strahlung, Augäpfeln, Gehirnen oder der Klassifizierung selbst. Haben Dinosaurier vor unserer Evolution die Welt um sie herum gezählt und klassifiziert, vorausgesetzt, Sie glauben, dass sie existierten? Wahrscheinlich nur in begrenztem Umfang, aber nicht annähernd so, wie die meisten Leute darüber denken würden. Alle biologischen Kreaturen, die sich über die Bakterien hinaus entwickelt haben, haben Wahrnehmung, analytischen Verstand und die Fähigkeit zu komplexem Denken erlangt, um sich besser an die Existenz um sie herum anzupassen. Keiner von ihnen kam jemals auch nur in die Nähe moderner Menschen.

Ich bezweifle, dass die Fische im Meer mehrere Wahrnehmungen von sichtbarem Licht auf Massen genau modellieren und ihr Gehirn verwenden können, um dies als zwei separate Objekte zu visualisieren und so die Abstraktion von Gegenständen, Wesen oder Existenzen um sie herum zu manipulieren. Wir betrachten jedoch zwei Dinge und sind uns einig, dass dies zwei Dinge sind. Wir sehen zwei Gummibälle auf dem Boden und kommen sofort zu dem Schluss, dass es sich um zwei unterschiedliche Objekte handelt. Aber sind das wirklich zwei Dinge, oder haben Sie sich gerade einer gemeinsamen Methode angeschlossen, um Objekte basierend auf von Menschen entwickelten, gebildeten oder durch das Gehirn begrenzten Regeln zu trennen?

Der Punkt ist, dass Sie zwei nicht zusammenhängende Elemente sehen und sie als zwei klassifizieren/kennzeichnen. Sie stellen sich den Ball in den meisten Fällen nicht als synthetische Basis aus Polymeren, Isopren und anderen chemischen Elementen und Massen vor, die seine Existenz innerhalb elektromagnetischer Strahlung in einer Atmosphäre ausmachen. Daher haben Sie die Existenz von zwei Bällen basierend auf der Trennung von Lichtinstanzen klassifiziert, aber Sie verwenden dazu nur ein System, das zu 100% auf das Verständnis Ihres Gehirns beschränkt ist.

Ohne ein System, ein Verständnis oder eine Methode der Wahrnehmung würde alles existieren, aber nicht berechnet, beobachtet oder manipuliert werden.

Auch nicht, es wird verstanden. Du bist Mathematik, alles, was du erlebst, ist Mathematik, alles, was du zu wissen glaubst, ist Mathematik. Ihr Gehirn ist eine kompliziert vernetzte Rechenmaschine, die all Ihre Erfahrungen und Ihr Selbstgefühl hervorbringt. Mathematik ist die Fähigkeit, die Zukunft vorherzusagen; es ist die Fähigkeit, sich an die Vergangenheit zu erinnern.

Ich halte eine Antwort für zu einfach, wenn sie nur eine der Alternativen bejaht und die andere verneint.

Um nur einige herausragende Beiträge zur Mathematik zu nennen: Komplexe Zahlen, Mengenlehre, Theorie der Schemata. Das Konzept einer Menge wurde zB von Cantor erfunden, es gab es vorher nicht. Nachdem die grundlegenden Konzepte wie Menge, Potenzmenge, Kardinalität usw. erfunden waren, wurde das Kontinuumsproblem entdeckt, das tief in diesen Konzepten verborgen war.

Deshalb vergleiche ich Mathematik mit einem Spiel wie Schach: Das Erfinden neuer mathematischer Konzepte ist wie das Erstellen neuer Spielregeln. Ein Spiel zu spielen bedeutet, die Konsequenzen der Regeln zu entdecken und die Probleme zu lösen, die sich aus den Regeln ergeben.

Mein Fazit: Die Spielregeln der Mathematik sind erfunden . Nach den Regeln entdecken die Mathematiker dann einige herausfordernde Übereinstimmungen.

Aus einer neo-intuitionistischen Perspektive wird die Mathematik bis zu dem Grad erfunden, an dem sie immer noch entdeckt wird.

Haben wir den Konsonanten „t“ erfunden oder entdeckt? Wir entdeckten, dass unsere Münder dieses Geräusch vernünftigerweise über einen weiten Teil unserer Spezies machen. Aber wir haben entschieden, dass dies eine wichtige Sache ist, und dabei haben wir die Idee des „t“ erfunden. Wir haben einen Konsonanten erfunden, indem wir eine Tatsache über uns selbst entdeckt haben.

Aus dieser Perspektive ist Mathematik eine Reihe von Ideen, zu denen sich Menschen auf natürliche Weise auf eine bestimmte Weise hingezogen fühlen. Aber diese Ideen selbst sind ein Produkt des menschlichen Geistes, so wie der Konsonant „t“ ein natürliches Produkt des menschlichen Stimmapparates ist. Diese Ideen stammen von einzelnen Menschen, von denen man annehmen kann, dass sie sie erfunden haben. (Jemand hat zuerst den Laut von t ausgesprochen. Jemand hat zuerst gefragt, ob -1 eine Quadratwurzel hat oder ob die Unendlichkeit in verschiedenen Größen vorkommt.)

Aber die Mathematik wählt diejenigen aus, die sich auf eine bestimmte Weise anfühlen, und isoliert diejenigen, die allgemein eine bestimmte emotionale Reaktion ansprechen. In diesem Sinne ist es ein Zweig der Psychologie, der Dinge über das menschliche Denken entdeckt.

Es arbeitet diese Ideen bis zu einem Grad aus, der den Anschein erweckt, als würde es Dinge erschaffen, aber in Wirklichkeit durchsucht es unseren gemeinsamen Fundus an Ideen nach solchen, die rein symbolisch erscheinen und es nicht wert sind, in Frage gestellt zu werden, und sieht, wie ihre Konsequenzen zusammenpassen.

Dies ist eine Beobachtung, an die ich mich nicht erinnern kann, wo ich sie gehört habe, also wäre ich sehr dankbar, wenn jemand anderes sie wüsste. Aber ich denke, es ist eine mörderische Argumentation.

Bedenken Sie, dass irgendwo in der Menge aller rationalen Zahlen die Antwort auf jede Frage ist, die Sie stellen könnten (wobei die Zahlen zB als ASCII-Codes genommen werden). Doch das zu wissen, gibt euch diese Antworten nicht. Es würde die Aufzählung einer Zahl und dann einen relationalen Prozess erfordern, um sie zu überprüfen und zu bestätigen, dass sie korrekt ist.

Nach diesem Modell sind Aufzählung und Überprüfung von Beziehungen also nicht auf magische Weise außerhalb der Eigenschaften einer Zahl, sondern grundlegend für sie. Erfunden nicht entdeckt, QED.

Eine Erfindung ist etwas, das es vorher nicht gab. Es wird etwas entdeckt, das bereits existiert. Daher wurde die Mathematik erfunden, da sie nicht existierte, bevor jemand sie erschuf. Zum Beispiel existiert die Zahl 1 nur insofern als eingebildet und nicht in der Natur.

Jeder Mathematiker kann nur die Mathematik entdecken.

Doch Mathematik ist eine Erfindung.

Und das ist kein Widerspruch.

Die Mathematik ist grundlegend abhängig vom menschlichen Verstand und insbesondere von der menschlichen deduktiven Logik und der menschlichen Wahrnehmung der realen Welt, also ist sie eine Art Erfindung der Gattung Homo sapiens, nicht die eines einzelnen Mathematikers. Menschliche Mathematiker können nichts Logisches erfinden, was nicht logisch aus der menschlichen Natur folgt.

Daher kann jeder Mathematiker nur das entdecken, was bereits in der menschlichen Natur enthalten ist, und da die Mathematiker, die wir kennen, alle Menschen sind, werden sie dieselben Dinge entdecken oder wiederentdecken.

Aus diesem Grund glauben Mathematiker, dass es eine Gegebenheit ist, daher die platonische Sichtweise.

Die platonische Sichtweise ist falsch, denn obwohl die Mathematik jedem Mathematiker gegeben ist, ist sie nicht der menschlichen Spezies gegeben. Es kommt sozusagen mit seiner eigenen Natur oder ist Teil davon. Menschliche Mathematik existiert nicht außerhalb des menschlichen Geistes.

Die menschliche Spezies selbst ist in der Natur enthalten, also ist die menschliche Mathematik in der Natur enthalten, aber sie ist gemäß der menschlichen Logik und der menschlichen Wahrnehmung der realen Welt aufgebaut. Die platonische Welt ist also bestenfalls die Natur selbst. Dies ist eindeutig nicht das, was Mathematiker mit „Platoniker“ meinen, aber dies ist die einzig vernünftige Option.