Zeit als hermitescher Operator in der Quantenmechanik

Zeit ist in der Quantenmechanik (QM) keine Variable, sondern ein Parameter – ähnlich wie in der klassischen (Newtonschen) Mechanik.

Wenn Sie also einen Hamilton-Operator haben, zB für den harmonischen Oszillator, haben Sie ihn$\omega$als Parameter, sowie die Massen der beteiligten Teilchen, sagen wir$m$, und Sie haben auch Zeit - obwohl es nicht etwas ist, das explizit im Hamiltonian auftaucht (erinnern Sie sich an die explizite Zeitabhängigkeit aus der klassischen Mechanik: Poisson-Klammern, kanonische Transformationen usw. - tatsächlich könnten Sie Ihre Antwort direkt aus dieser Art von Argumenten erhalten ).

In diesem Sinne, genauso wie Sie kein „Transformationspaar“ dazwischen haben$m$und$\omega$, du hast auch keine zwischen Zeit und Energie.

Was sagen Sie, um sich davon zu überzeugen$\omega \neq -i\, \partial_m$? Warum können Sie nicht dasselbe Argument verwenden, um zu rechtfertigen$E \neq -i\, \partial_t$? ;-)

Ich denke, Roger Penrose illustriert in seinem Buch The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe sehr gut, wie dieser ganze Rahmen funktioniert : siehe Kapitel 17.

Das Energiespektrum ist nach unten begrenzt. Ein Zeitoperator würde dem Stone-von-Neumann-Theorem widersprechen. Das ist nicht wirklich ein Problem. Es bedeutet nur, dass wir Grenzen haben, wie genau Uhren in der Quantenmechanik sein können.

Die Zeit, zu der ein Ereignis eintritt, ist ebenso wie die Position, an der es auftritt, eine Observable. Im Allgemeinen schreibt QM vor, dass alle Observablen hermetische Operatoren sein sollten. Aber QM konstruiert eigentlich keinen Operator für Zeit.

Man kann argumentieren, dass diese Ausnahme gut begründet ist, da die Raumzeit in QM Newtonsch ist und die Zeit dort einen besonderen Status hat. Die Relativitätstheorie legt jedoch nahe, dass Zeit ähnlich wie Raum verstanden werden sollte. Das bedeutet in der relativistischen QM, dass entweder die Zeit zu einem Operator befördert werden muss oder die Position aus dem Verständnis als Observable zurückgestuft werden muss. Die erste bedeutende relativistische QM-Theorie war die Diracs-Gleichung, die ein einzelnes rotierendes Elektron modelliert. Hier wählte er die zweite Option: Zeit wird auf der gleichen Grundlage wie Position verstanden – nicht als Operatoren, sondern als Koordinaten.

Dies war für eine Ein-Teilchen-Theorie in Ordnung, aber Probleme treten erneut auf, wenn wir versuchen, die Diracs-Theorie auf zwei Teilchen zu verallgemeinern. Dyson schrieb:

Diese Art von 2-Teilchen-Dirac-Gleichung ist nicht mehr relativistisch invariant, wenn wir jedem Teilchen eine eigene Position im Raum geben, aber alle gleichzeitig . Um dies zu vermeiden, konstruierte Dirac die Vielzeittheorie, in der jedes Elektron seine eigene private Zeitkoordinate hat und seine private Dirac-Gleichung erfüllt. Diese Theorie ist im Prinzip in Ordnung. Aber es wird hoffnungslos kompliziert, wenn Paare gebildet werden und Gleichungen mit neuen Zeitkoordinaten plötzlich auftauchen und verschwinden

Die Lösung dieses Problems liegt in der QFT, wo wir nach Feynman raumähnliche Oberflächen wählen, zwischen denen wir die Quantenamplitude auf Geschichten zwischen ihnen auswerten - auch bekannt als Pfadintegral; und dann können wir nach Schwinger die problematischen Geschichten loswerden, indem wir es als Wirkungsprinzip umformulieren, aus dem - laut Dyson - die Hauptmerkmale der QFT einfach herausfallen - zum Beispiel die Vertauschungsrelationen für die Felder.